高中数学 集合的运算 知识点精讲及重点题型训练（解析版）

1.3集合的运算

❽知识导图

®知识点精讲

【知识点1、并集】

i.并集的概念

一般地，由属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作

（读作"A并B"）,即/U5=e或xe5}.用Venn图表示如图所示：

由上述图形可知，无论集合A,B是何种关系，NU5恒有意义，图中阴影部分表示并集.

注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同.生活中

的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的.

2.并集的性质

对于任意两个集合A,B,根据并集的概念可得:

（1）y/U8）,此皿8）；(2)A\JA=A；

（3）A\J0=A；(4)A\JB=B\JA.

【知识点2、交集】

1.交集的概念

一般地，由的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交

B"）,即ZCI8={x|xe4且xe8}.用Venn图表示如图所示：

（1）A与B相交（有公共元素）（2）8,则2口5=2（3）A与B相离（幺口5=0）

注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元

素.（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素.

2.交集的性质

（1）卬8）［4（/门8）［8；（2）AHA=A；

（3）AQ0=0;（4）A^\B=B^A.

【知识点3、全集与补集】

1.全集的概念

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U,

是相对于所研究问题而言的一个相对概念.学+科网

说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我

们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.

2.补集的概念

对于一个集合4由全集U中集合八的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，

简称为集合A的补集，记作即2/={x|xeU,且xeZ}.用Venn图表示如图所示：

说明：(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是4是

全集。的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个

概念.

(2)若xe。，则或xegZ,二者必居其一.

3.全集与补集的性质

设全集为U,集合A是全集。的一个子集，根据补集的定义可得：

(1)20=0；(2)"0=U；(3)电(电/)=2；

(4)ZU(伪/)=0;(5)AC\(duA)=0.

©重点题蔓

(一)、集合的并集

例1.(1)、(2023春・浙江杭州•高二统考学业考试)已知集合/={4,5,6},8={3,5,7},则Nu8=()

A.0B.{5}C.{4,6}D.{3,4,5,6,7}

【答案】D

【分析】利用集合的并集运算即可得解.

【详解】因为/={4,5,6},8={3,5,7},

所以NU3={3,4,5,6,7}.

故选：D.

(2)、(2022•北京顺义•二模)己知集合/=卜卜2＜工＜1},8={x|x＜0},则力口2=.

【答案】{木＜1}

【解析】

【分析】

利用并集概念及运算法则进行计算.

【详解】

在数轴上画出两集合，如图:

A

X

ADB=[x\-2<x<l}u{x|x<0}={x|x<1}.

故答案为：{小<1}

【变式训练1-1】、（2023•上海松江•校考模拟预测）已知集合/={-14,3},8={1,3,5},则/口2=

【答案】{T,1,3,5}

【分析】由集合的并集的定义求解即可.

【详解】因为集合/={T」,3},5={1,3,5},

则NU2={-11,3,5}.

故答案为：{T,1,3,5}

【变式训练1-2】、（2022秋・江西景德镇高一统考期中）集合/={x|0<x<8},8=[g<x41。1,则/=

（）

A.|x|^-<x<81B.1x|0<x<10j

C.-^x|<x<8j-D.卜

【答案】B

【分析】根据并集的运算可得答案.

【详解】因为/={x[0<x<8},5=|x||<x<ioj,所以/u8={x|0<xW10}.

故选：B.

（二）、集合的交集

例2.（1）、（2023春•北京顺义,高二牛栏山一中校考阶段练习）已知集合/={1,2,3,4},5={x|x>2）,贝|

/口3=（）

A.0B.{3,4}C.{2,3}D.（2,4）

【答案】B

【分析】根据交集的运算法则求解即可.

【详解】因为/={1,2,3,4},B=[x\x>2],

所以/n8={3,4},

故选：B.

（2）、（2022秋,山东德州,高一校考阶段练习）已知集合/=,，-2元-3=0},5={尤|办-4=0},若

4CB=B,则实数。的所有可能值的集合是.

【答案】1°，一4，：}

【分析】利用=8可得到8=/,化简集合A,然后分别对。=0和a*0进行讨论，即可得到答案

【详解】解：因为zn8=3,所以5①力，

因为4={x|——2x—3=0}={-1,3},5=|tzx—4=Oj,

所以当a=0时，B={x\-4=O}=0^A,满足题意；

当aw0时，则8={x|QX_4=0}={x|x=,

444

由BqZ可得一二—1或一=3,解得。=—4或a=；,

aa3

所以实数0的所有可能值的集合

故答案为：|o,-4,—j

【变式训练2-1】.（2022秋•广西桂林•高一校考阶段练习）（多选题）若集合4={-1,2,3,4}，3={1,2,3,5},

则（）

A.={2,3}B.={-1,1,2,3,4,5）

C.A=BD.A^B=A\jB

【答案】AB

【分析】利用集合的交并运算与子集的概念，对选项逐一分析即可.

【详解】对于AB,因为/={-1,2,3,4},5-{1,2,3,5},

所以4cB={2,3},ZU8={-M,2,3,4,5},故AB正确;

对于C,因为_le/,但所以N=8不成立，故C错误；

对于D,由选项AB易知NcBwNuB,故D错误.

故选：AB.

【变式训练2-2].(2023春广西南宁高一校联考开学考试)已知集合/=何3Vx<5},集合8=何4<x<6},

则/n八()

A.(3,6)B.[3,6)C.(4,5]D.(4,5)

【答案】D

【分析】根据交集的概念求解即可.

【详解】因为/=艮5),8=(4,6),

所以/c3=(4,5),

故选：D.

(三)、集合的补集

例3.(1)、(2022秋・上海静安•高一校考期中)设全集U=R,集合/={小-2>0},则。/=.

【答案】(-8,2]

【分析】根据集合的补运算，结合已知条件直接求解即可.

【详解】根据已知条件可得：^A={x\x<2}=(-^,2].

故答案为：(-*2].

(2)、(海南省海口市等5地、琼中黎族苗族自治县琼中中学等2校2023届高三上学期12月期末数学试题)

设全集U={xeZ]|x|<3},集合/=尤3_%=0},则。/=()

A.{-2,0,2}B.{-2,2,3)

C.{-2,2}D.{-3,-2,2,3}

【答案】C

【分析】利用补集定义即可求出结果.

【详解】t7={xeZ||x|<3}={xeZ|-3<x<3}={-2,-l,0,l,2),

/={x|X，-x=0}="|x(x-l)(x+l)=0}={-1,0,1},

年={-2,2}.

故选:C.

【变式训练3-1】、(2022秋•上海杨浦・高一上海市控江中学校考期中)若全集U={0,l,2,3},集合尸={2,3},

则"尸=.

【答案】{0,1}

【分析】根据补集的概念求解即可.

【详解】解：由题意得：

因为全集。={0/23},集合P={2,3}

故6尸={0」}

【变式训练3-2】.(2023•山西•校联考模拟预测)已知集合。={x|xeN,且无45},N={2,4},8={2,3},贝I]

()

A.{1,5}B.{2}C.{0,1,5}D.{3,4}

【答案】C

【分析】根据交集和补集的定义可求a(NUB).

【详解】u={0』,2,3,4,5},

由题设有/U2={2,3,4},故d(/U3)={(M,5},

故选：C.

(四)、集合中的新定义问题

解题技巧：集合中的新定义问题

(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题

过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在.

(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也

是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.

(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.

例4.(1)、(2022秋•福建福州•高一福州三中校考期中)(多选题)当一个非空数集G满足“如果a/eG,

则a+b,a-6,abeG,且6/0时，feG"时，我们就称G是一个数域，以下关于数域的说法：①0是任何

数域的元素；②若数域G有非零元素，则2022eG；③集合尸=卜卜=2左,左eZ｝是一个数域；④有理数

集是一个数域，⑤无理数集不是一个数域.其中正确的选项有（）

A.①②B.②③C.③④D.④⑤

【答案】AD

【分析】结合数域概念举例可依次验证.

【详解】对①，设aeG,有a-aeG,即OeG,故①正确；

对②，设6eG，贝1|有即leG，若leG，则1+leG，则2+leG,L,则2021+1=2022eG，故②

正确；

对③，当。=21=4时，/=所以尸不是一个数域，故③错误；

b2

对④，因为a/e。，贝lja+da-b,a6e。，且6*0时，fe。，故④正确；

b

对⑤，若°=&,6=正，贝|。-6=0,0e。，故无理数集不是一个数域，⑤正确.

故选：AD

（2）、（2022秋•江西景德镇•高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛,

25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物

两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名.若该班学生共有51名，则没有

参加任何竞赛的学生共有（）名

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有

参加任何竞赛的学生.

【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，

因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，

参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，

只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，

所以单独参加数学的有26-（6+7+5）=8人，

单独参加物理的有25-（6+7+8）=4人，单独参加化学的有23-（5+7+8）=3,

故参赛人数共有8+4+3+6+7+8+5=41人,

没有参加任何竞赛的学生共有51-41=10人.

故选：D.

\、/价号

\X\丁X/IVI~J

6\/

\»Iy

【变式训练4-1】.(2021秋•上海黄浦・高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习)若三个非零且互不

112

相等的实数见伉。满足一+：=—,则称。,4c是调和的；若满足“+c=26,则称。力,c是等差的.已知集合

abc

M={x\-2021<x<2021,xeZ),集合P是”的三元子集，即尸={a,b,c}=Af.若集合P中元素a,6,c既是

调和的，又是等差的，则称集合户为"大境集".不同的"大境集"的个数为.

【答案】1010

【分析】由为“大境集"的定义解方程，将6全用。代换，结合尸={”,6,c}u/可求解.

[112

【详解】联立。b。得Q=26—c,BP--=一7=(2b-c^=bc,展开得4/_5儿+°2=0,解

。乙2b-ccbbe

a+c=2b

得6=(或b=。(根据集合的互异性，舍去)，代入。+。=26得

贝ljp=C{xI-2021<X<2021,xeZ),

所以。为4的整数倍，且不为0,则共有20空20x2=1010个不同的〃大境集〃的个数.

故答案为：1010

【变式训练4-2】.(2022秋•四川成都•高一校联考期中)高一某班有学生46人，其中体育爱好者有40人，

音乐爱好者有38人，还有3人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育也爱好音乐的学生人数为

()

A.26B.29C.32D.35

【答案】D

【分析】设未知数，利用容斥原理，得到方程40-x+38-x+x+3=46,解出即可.

[详解】设既爱好体育又爱好音乐的人数为x,则仅爱好体育的人数为(40-x),仅爱好音乐的人数为(38-%).

因为既不爱好体育又不爱好音乐的人数为3,所以40-X+38-x+无+3=46,

解得x=35.

故选：D.

(五)、集合的运算的综合应用

例5、(2023春•吉林长春•高二长春市第十七中学校考阶段练习)已知集合/={x|-l<x<5},

8={xeZ|1<x<8j.

(1)求。/

⑵求AcB的子集个数

［答案］(1)Q/={X|XN5或xWT}

⑵8

【分析】(1)根据补集的定义即可得解；

(2)根据交集的定义求出/C8,再根据子集的定义即可得解.

【详解】(1)因为/={x|-l<x<5},

所以々/={x|xN5或x4T}；

(2)5=eZ|1<x<8}={2,3,4,5,6,7},

所以/CB={2,3,4},

所以/c3的子集个数有23=8个.

【变式训练5-1】、(2023•全国•高一专题练习)已知全集。=卜花<9,丁€阴，集合/={3,4,5},8={4,7,8}.求

(l)4cB；

(2)AuB；

(3)电

【答案】⑴{4}

⑵{3,4,5,7,8}

(3){0,1,2,6)

【分析】(1)根据交集概念进行计算;

（2）根据并集概念进行计算；

（3）先求出进而求出答案.

【详解】(1)4n3={3,4,5}n{4,7,8}={4}；

(2)/U8={3,4,5}n{4,7,8}={3,4,5,7,8}.

(3)U=|x|x<9,xeNj=10,1,2,3,4,5,6,7,8},

故={0,l,2,6,7,8},。8={0,1,2,3,5,6},6={(M,2,6}.

(六)、含有参数的集合的运算的综合应用

例6.(2022秋•江苏扬州•高一统考阶