运筹学LP第2讲-例子

运筹学lp第2讲-例子目录CONTENCT引言线性规划问题建模单纯形法求解线性规划问题对偶理论与灵敏度分析运输问题及其求解方法整数规划问题简介与求解方法01引言运筹学定义运筹学应用领域运筹学方法运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，以最大化效益或最小化成本。广泛应用于军事、经济、工程、管理等领域，如物流配送、生产计划、资源分配等问题。主要包括线性规划、整数规划、动态规划等多种方法，用于解决不同类型的优化问题。运筹学简介80%80%100%线性规划概述线性规划是一种数学优化技术，用于优化一组线性不等式约束下的线性目标函数。包括决策变量、目标函数和约束条件三部分，其中目标函数和约束条件均为线性表达式。主要有单纯形法、内点法等，通过迭代计算寻找最优解。线性规划定义线性规划标准形式线性规划求解方法讲座主题讲座内容讲座目标本次讲座内容安排包括线性规划的数学模型、求解方法、应用案例等。使听众了解线性规划的基本思想和方法，掌握运用线性规划解决实际问题的能力。介绍线性规划的基本概念、原理和应用，并通过实例演示如何运用线性规划解决实际问题。02线性规划问题建模线性规划问题的实际背景线性规划问题的描述问题背景与描述生产、运输、资源分配等问题中，经常需要在满足一定约束条件下，最大化或最小化某个线性目标函数。通常包括决策变量、目标函数和约束条件三部分。决策变量是需要优化的未知量；目标函数是决策变量的线性函数，表示优化目标；约束条件是决策变量需要满足的线性等式或不等式。决策变量的确定根据问题背景，确定需要优化的未知量作为决策变量。目标函数的构建根据优化目标，构建决策变量的线性函数作为目标函数。约束条件的列出根据问题背景和实际情况，列出决策变量需要满足的线性等式或不等式作为约束条件。数学模型建立图形解法的适用范围01适用于只有两个决策变量的线性规划问题。图形解法的步骤02首先，在坐标系中画出约束条件所确定的可行域；然后，在可行域内作出目标函数的等值线；最后，根据目标函数的性质（最大化或最小化），确定最优解的位置。图形解法的优缺点03优点是可以直观地看出可行域和最优解的位置；缺点是只适用于两个决策变量的情况，对于多个决策变量的问题无能为力。图形解法示例03单纯形法求解线性规划问题单纯形法基本原理通过比较目标函数值，判断当前基本可行解是否为最优解。若不是最优解，则按照一定的规则进行迭代，直到找到最优解或确定问题无解。最优性检验与迭代过程将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最大化或最小化一个线性表达式，约束条件为一系列线性不等式或等式。线性规划问题的标准形式满足所有约束条件的解称为可行解，其中一组线性无关的约束条件所确定的解称为基本可行解。可行解与基本可行解01020304初始基可行解的确定最优性检验进基与出基操作迭代过程单纯形法计算步骤根据一定的规则选择一个非基变量进入基，同时选择一个基变量退出基，使得新的基可行解更优。计算目标函数在初始基可行解处的值，若已达到最优，则停止计算；否则，进入下一步。从约束条件中选取一组线性无关的等式作为初始基，通过求解这组等式得到初始基可行解。重复进行最优性检验、进基与出基操作，直到找到最优解或确定问题无解。实例描述以一个具体的线性规划问题为例，展示单纯形法的计算过程。将实际问题抽象为线性规划模型，包括目标函数和约束条件。从约束条件中选取一组线性无关的等式作为初始基，求解得到初始基可行解。计算目标函数在初始基可行解处的值，进行最优性检验。若不满足最优性条件，则进行进基与出基操作，得到新的基可行解，并继续迭代。展示单纯形法求解该实例的详细计算过程及最终结果。建立数学模型最优性检验与迭代过程计算结果展示初始基可行解的确定实例分析与计算过程展示04对偶理论与灵敏度分析对偶问题定义及性质对于一个线性规划问题，可以构造另一个与之对应的线性规划问题，使得两者的最优解存在某种关系。这个对应的问题就称为原问题的对偶问题。弱对偶性对于任意可行解，其对偶问题的目标函数值总是不大于原问题的目标函数值。强对偶性当原问题存在最优解时，其对偶问题也存在最优解，且两者目标函数值相等。对偶问题定义123根据原问题的约束条件，构造一个初始的对偶可行解。初始对偶可行解通过不断更新对偶变量和原变量，使得目标函数值不断减小，直到找到最优解。迭代过程当所有检验数均非正时，算法终止，当前解即为最优解。终止条件对偶单纯形法求解过程灵敏度分析概念灵敏度分析是研究线性规划问题中参数变化对最优解影响的一种方法。通过灵敏度分析，可以了解参数在多大范围内变化时，最优解保持不变。应用举例假设一个线性规划问题中某个资源的可用量发生了变化，通过灵敏度分析可以确定这个变化对最优解的影响程度。如果影响较小，可以不必重新求解；如果影响较大，则需要重新求解以获取新的最优解。灵敏度分析概念及应用举例05运输问题及其求解方法运输问题是一类特殊的线性规划问题，主要研究如何将有限资源从供应地运送到需求地，以最小化总运输成本或最大化总收益。运输问题背景运输问题的数学模型通常包括决策变量、目标函数和约束条件三部分。决策变量表示各供应地到需求地的运输量；目标函数是总运输成本或总收益的函数；约束条件包括供应能力限制、需求满足限制以及非负限制等。数学模型建立运输问题背景及数学模型初始基可行解确定在表上作业法中，首先需要找到一个初始基可行解。这可以通过最小元素法或伏格尔法等方法实现。最优性检验与调整得到初始基可行解后，需要进行最优性检验。如果检验通过，则该解即为最优解；否则，需要进行调整。调整方法包括闭回路法和位势法等。迭代求解过程如果初始基可行解不是最优解，则需要通过迭代求解过程不断改进解的质量。每次迭代中，需要选择一个非基变量进入基，并同时让一个基变量离开基，以保证解的可行性。表上作业法求解步骤假设有三个供应地和四个需求地，各供应地的供应量、各需求地的需求量以及单位运输成本已知。目标是找到一种运输方案，使得在满足所有需求和供应限制的前提下，总运输成本最小。实例描述首先，根据已知条件建立运输问题的数学模型。然后，利用表上作业法求解该模型。具体步骤包括确定初始基可行解、进行最优性检验与调整以及迭代求解过程等。最终得到最优运输方案，并计算出最小总运输成本。计算过程讲解实例演示与计算过程讲解06整数规划问题简介与求解方法整数规划问题背景及数学模型整数规划问题背景在实际问题中，很多决策变量的取值必须是整数，如生产设备的数量、运输车辆的数量等。这类问题被称为整数规划问题。整数规划数学模型整数规划问题的数学模型与线性规划相似，但需要增加整数约束条件。即，部分或全部决策变量必须取整数值。分支将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的一个子集。通过不断分支，可以逐步缩小问题的范围。定界对每个子问题计算目标函数的上界或下界，用于评估该子问题的优劣。通过比较不同子问题的界，可以逐步排除不可能得到最优解的子问题。剪枝在分支过程中，如果发现某个子问题的界已经不可能优于当前最优解，则可以提前终止该子问题的分支过程，从而节省计算资源。分支定界法求解思路实例描述：假设有一个简单的整数规划问题，目标函数为最大化z=2x1+3x2，约束条件为x1+x2<=5,x1,x2>=0且为整数。实例演示与计算过程讲解123计算过程1.首先将问题松弛为线性规划问题，求解得到最优解为(x1,x2)=(3,2)，此时目标函数值为z=12。2.由于x1和x2必须为整数，因此考虑分支。以x1=3为界，将问题分为两个子问题：x1<=2和x1>=4。实例演示与计算过程讲解010203043.对于子问题x1<=2，求解得到最优解为(x1,x2)=(2,3)，此时目标函数值为z=13。实例演示与计算过程讲解3.对于子问题x1<=2，