2023年高考数学二轮复习 定点定值问题学案

拓展专题10定点、定值问题

探究1:定点问题

【典例剖析】

例1.(2022•全国乙卷理科)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过4(0,-2),两点

(1)求E的方程；

(2)设过点P(l,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点T,点〃满足祈=前，证明:

直线HN过定点.

--------------------------------------------------------------------------------------------------、、

:选题意图:高考真题，主要考查直线与椭圆的位置关系、向量共线的坐标运算、直线过定点问题.通过对试题情境'

进行变式创设，幵展深度探究，很好的考查学生的创新思维能力.

I思维引导：(1)根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求岀椭圆的标准方程；

(2)分类讨论过点P的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出T,N坐标，表示出直线HN方程，判

i断直线过定点即可.，

【解析】(1)设E的方程为1,将2(0,-2),两点代入得

(^2=172

%1，解得。2=3,餌=4,故E的方程为］+一=1.

上-上丄-134

3a2十户一丄

(2)由4(0,-2),8(|,-1)可得直线48:y=|x-2

①若过P(l,-2)的直线的斜率不存在，直线为x=l.代入［+3=1，可得“(1,_竽),

N(l,孚)，将丫=一半代入力—2,可得T(3—形,一平)，由丽^二用，

得“(5-2遅,一竽).易求得此时直线〃N:y=(2+竽)x-2.过点(0,-2)；

②若过户(1,-2)的直线的斜率存在,设kx-y-(k+2)=0,M(xvyi),N(xz,y2)o

fcx—y—(k+2)=0

联立x2y2,得(31+4)x2-6/c(2+k)x+3k(k+4)=0,

匕+L

_-8(2+k)

.Y.6k(2+k)

yi+y23必+4口,-24k,、

故有，3k+42,且％1为+%2丫1=-2-(*)

L丫一3旗”)4(4+4忆一2公)"丄3k2+4J

1%2

r一yyyz=3/+4

y=y1

f

联立y=-x-2可得7(学+3/1)，H(3yi+6_xlfy1)f

可求得此时，N:y-y2=3V矢?。一打)

将(0,-2)代入整理得2(X1+x2)-6(乃+y2)+叼为+-3yly2-12=0

将(*)式代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48/c+24fc2-36/c2-48=0,

显然成立.

综上，可得直线，N过定点(0,-2).

【变式训练】

练1-1(2022•湖北省联考)设A,B为双曲线C，—，=l(a>0,b>0)的左、右顶点，直线1过右焦点F且与双曲

线C的右支交于M,N两点，当直线I垂直于x轴时，AAMN为等腰直角三角形.

(1)求双曲线C的离心率；

(2)已知直线AM,AN分别交直线x=5于P,Q两点，当直线1的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，

若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【解析】(1)由，丄x轴时，AAMN为等腰直角三角形，可得|4F|=|NF|=|MF|,

所以a+c="，即c?—ac—2a2=0,故e?—e—2=0,

a

结合e>1,解得e=2.故双曲线C的离心率为2.

(2)因为e=£=2,所以双曲线c：与一兑=1，

a3az

显然直线，的斜率不为0,设直线Lx=my+2a,M(卬％)，N(x2fy2)^

x=my+2a

x2y2],化简得(3/一l)y2+12amy+9a2=0,

!温一姿=1

根据根与系数的关系，得力+?2=-用，"〃2=萼7,①，

所以Xi+x2=mCXi+y2)+4a=盛事，②，

22

Xi-x2=my1-y2+2am(yr+y2)+4a=一§畫了a2,③，

设直刎巾=諡(％+。)，直线私丫=盡5+。)，令V，可得P(2為),Q《,為)，

设G(x,y)是以PQ为直径的圆上的任意一点，则同QG=0,

则以PQ为直径的圆的方程为(x-叙+»-券3[7-成希]=°，

由对称性可得，若存在定点，则一定在x轴上，

令y=o,可得(X-犷+為.烏=。，即(X—犷+痂爲為硒=。，

9a2-^-„q

将①②③代入，可得(x-犷+^^-宮?…広=。，即(》-犷=沁

3m2-i3m2-1

解得x=—a或x=2a,所以以PQ为直径的圆过定点(-a,0),(2a,0).

练1-2(2022•广东省广州市联考)已知线段4B是抛物线y2=4久的弦，且过抛物线焦点F.

(1)过点B作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E,求证：4、。、E三点共线(。为坐标原点)；

(2)设M是抛物线准线上一点，过M作抛物线的切线，切点为4、

求证：（i）两切线互相垂直；3）直线过定点，请求出该定点坐标

【解析】（1）证明：依题意可知，抛物线焦点尸（1,0）,准线方程为x=-l,

直线4B不可能与x轴重合，可设为％=my+l,B（x2,y2^则七（一1,九）・

联立直线厶B与抛物线方程得片=以2一47ny一4=0,有产；=4m,

（x=my+1丿（7172=-4

故0E斜率県=-y2,04斜率％=［=?=1=一—=ME,

4

故A、。、E三点共线.

（2）证明：（i）设点易知过点M所作抛物线切线的斜率必存在，

可设切线方程为y=k（x+1）+t,与抛物线方程联立得°_y+4+==0

令△=1—+t）=—k2—t/c4-1=0,所得关于k的二次方程必有两根，

分别记为七，k2,即为切线M4、MB1的斜率,有修:上=二%也=一1，故切线与互相垂直.

（可另设切点41（无3，%），813）4），

由⑴中所求,将左=自代入方程［y2__y+忆+亡=o,得为=m,则4［（5，台,同理B］（看,台，

当拄=煽=1,此时t=0,直线4当方程恰为x=1,

当局力嬪，此时t片O,直线厶$1方程为、=耳。一次）+丫3

4

=-4-3_苧）+丫3=+口_4+^^］=4（》+乎），

力+以4力+h44J戶£4

=體（*+康），即丫=沁-1）,

综上，直线直线方程为2x-ty—2=0,必过定点F（l,0）.

练1-3（2022•湖北省武汉市联考）已知椭圆「：捻+，=l（a>b>0）的离心率为苧，厂的长轴的左、右端点分别为

&、A2,4与圆（％-2产+y2=1上点的距离的最大值为遅+3.

（1）求椭圆「的方程；

（2）一条不垂直坐标轴的直线C。交「于C、。两点（C、。位于x轴两侧），设直线4C、&C、&。、的斜率分

别为七、七、&、七，满足3七-七=13卜3-七），问直线CD是否经过定点，若过定点，求岀该定点，否则

说明理由.

【解析】设4式—a,0）,由题意知：Q+2+1=V6+3,a=\/6

又，•£=懸，.•・c=遅・椭圆方程为：2+5=1.

a263

（2）设直线CO的方程为：x=my+zi联立方程得：

222J

（m+2）y+2mny+n-6=0,设。（右用）、D（x2,y2）,■■yxry2=%丿2=^1，

•••4也=宀・宀=5=3奧=一；，二的=一；、,同理：fc4=-|x^,

12k

z4+爲x1-x/6xj-6xj-6222k3

334T（3自一3•••3k】+Lm（2自-&）（1+?/）=。，

•••2ki—的十0k*3=T，■1•=一如Qi+布)(&-俑+6yly2=0，

•'・(m%+几+y/6)(my2+几+V6)+6yly2=。，

22

・•・(m+6)y1y2+m(n+V^)(yi+y2)+(九+V6)=0,

(m2+6)(n2—6)—2xm2n(n+V6)+(n+V6)2(m2+2)=0,

:.2n2+V6n—6=0»：.n=苧或几=-V6.

显然直线CO不过点(-痣,0),所以直线c。过定点(日,0).

【规律方法】

解答圆锥曲线的定点问题的策略

参数法：①动直线，过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为旷=/«+3由题设条件将t用k表示为t=mk,

得、=1。：+漢)，故动直线过定点(-m,0).

②动曲线C过定点问题，

解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。

由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点

与变量无关。

答题模板：

第一步：把直线或曲线方程中的变量久，y当作常数看待，把方程一端化为零；

第二步：参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组；

第三步：方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；

第四步：用一般化方法证明。

探究2：定值问题

【典例剖析】

例2.(2020•新高考1卷)已知椭圆C:各^=l(a>b>0)的离心率为争且过点4(2,1).

(1)求C的方程；

(2)点M,N在C上，且AM丄4V,AD1MN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|DQ|为定值.

厂、

!选题意图：高考真题，这是一道经典的定点、定值问题，该问题的综合性和灵活性都较强，重点考查数形结合思

想和分析问题、解决问题的能力.

j思维引导：(1)根据条件列方程求解即可.

(2)联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为一1化简即可证明，解题关

【键是证明直线MN过定点并求出其坐标.

.................................................................................................，/

【解析】⑴解：由题意可知£=乌麦+3=1,。2=/+。2,解得a?=6,〃=3,所以椭圆方程为#+?=1.

3

Q2ab6

(2)证明：设点7V(x2ly2),

因为4M丄4N,所以"二1•六卷=一1'所以丫。2—(丫1+旷2)+1=一不无2+2(%i+%2)—4，①

当々存在的情况下，设MN:y=kx+m,联立［丫？fcx+m得(1+21)%2+软瓶工+27n2—6=0,

(+2yz=6

由4>0,得6k2—巾2+3>0,由根与系数的关系得勺+久2=-哉，丫62=蚩^

xx22

所以yi+=fc(i+2)+2zn=]j；；2,丫1丫2=kxxx2+km(xx+x2)+m="；+器，

代入①式化简可得4k2+8km+(m—l)(3m4-1)=0,即(2k+m—l)(2fc+37n+1)=0,

所以m=1-2k或zn=-等工,所以直线方程为y=kx+1-2k或y=依一第，所以直线过定点(2,1)或(|,一扌,

又因为(2,1)和4点重合，故舍去，所以直线过定点E(|,-»

所以4E为定值，乂因为A4ED为直角三角形，4E为斜边，

所以力E中点Q满足|QD|为定值不，此时Q©,}.

【变式训练】

练2-1(2022•湖北省武汉市联考)如图，已知圆0:一+、2=%点8(1,0),以线段AB为直径的圆内切于圆。，点A

的集合记为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)已知直线1:x=4,Q(l,|)，过点B的直线厶与C交于M,N两点，与直线2交于点K,记QMQMQK的斜率分

别为七也也，问：合是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.

【解析】(1)设4B的中点为P，切点为Q，连接OP,PQ,

取8关于y轴的对称点。,连接厶则|AD|=2|OP|,

故|AB|+\AD\=2\OP\+2\PB\=2|OP|+2\PQ\=2(|OP|+|P8|)=4>\BD\=2.

所以点4的轨迹是以B,0为焦点，长轴长为4的椭圆.

其中a=2,c=l,b=V5，则曲线C的方程为[+<=L

(2)设M(Xi，%),N(%2，y2)，依题意，直线匕的斜率必定存在，

设厶:％=my+l(m00),将其与椭圆方程联立：

x=my+l(mW0)_

£注==>(3m2+4)y2+6my-9=0,由韦达定理得：%+y?=薪1丫1为=施前，

彳十至一丄

易得点K(4,=的=二=纥1,同理的=空1，

、加33m2xt-lmy1/my2

k]_k?_卜1-卜3+卜3-卜2_k]_&3__1,而hzh=(yiT)y2-m("」yiy2=”-2-3及⑴，

kkkkkk

，(y-1)y(

2-32-32-3収一心2tty2叫“2-3%丿'

由%+'2=為，％力=盛前得：乃九=言(乃+丫2)'代入⑴得：匹=款駕；；=-1,

所以.)1一12_切一〃3+k3-々2=)1一％一1二一2

*七一女3k2-〃3%2-々3

练2-2(2022•湖南省长沙市联考)已知双曲线C：x2-y2=1和点8(0,1).

(1)斜率为k且过原点的直线与双曲线C交于E,F两点，求厶EBF最小时k的值；

(2)过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点，若曲线C上存在定点4,使做P+%Q为定值入，求点4的坐标及实数入

的值.

【解析】(1)由对称性可设E(x,y),F(-x,-y).

则能"BF=(x,y-1)•(—x,—y—1)=-x2-y2+1-

因为点E在双曲线C上，所以/-y2=i,

所以y2=/-l,|x|>1,所以旅•丽=2(1——)wo,

当因=1时，丽.丽=0，4EBF为直角;

当田>1时，前面<0,4EBF为钝角，

所以/EB尸最小时，|x|=l,k=0,

(2)由题意易知过点8的动直线的斜率存在，

故设4(m,n),过点B的动直线为y=tx+1.

设P(X1，%),Q(X2，y2)，联立

rl-t2*0,

21=4t2+8(1-t2)>0,

所以《亠_2t

xi+x2=匸戸，

2

—=一匸9

由1一“#o,且厶〉o,解得/<2且12#1.

kAP+kAQ=X,即厶三+9=九即空12+出里【=；1,

AQ'xx-mx2-m'x^-mx2-m

2

化简，得(2t-A)xtx2+(-mt+1—九+Am)(xt+x2)—2m+2mn—Am=0,

_?o#-

所以(2t-A)y-―-^2+(-nit+1—71+Am)--^2—2,TH+277m—XlTl^=0,

化简，得(Am?—2mn)t24-2(Am一九一1)£+24-2m4-2mn—Am2=0,

Am2—2mn=0,①

加一九一1=0,

{2A—2m+2mn—Am2=0,(2)

将①代入②，得4=m,从而卷：二:

如果m=0,那么n=-l,此时4(0,-1)不在双曲线C上，舍去.

因此mH0,从而Hi?=2n,代入m2=n+i,解得n=l,m=±V2.

此时4(±e,1)在双曲线C上.

综上，4(a,1)，4=e或4(一鱼,1)，A=-V2.

练2-3(2022•湖北省四校联考)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为尸，点4(2,%)在C上，|4?|=2.

(1)求P；

(2)过F作两条互相垂直的直线12,厶与C交于M,N两点，。与直线丫=一1交于点P，判断厶PMN+/PNM是否

为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由.

【解析】(1)因为点4(2,y。)在C上，所以4=2py()①，

因为|A用=2,所以得|4尸|=2=%+纟②，

由①②解得y()=1