全国通用2023年高考数学二轮复习易错题-易错点11 平面向量（含解析）

易错点11平面向量

易错分析

易错点1:向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量,用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向

量的方向.向量位的大小称为向量的摸(或大小)，记作遗L

(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.

(3)单位向量：模等于L的向量称为单位向量.

(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.

通常规定零向量与任意向量子行.

(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.

(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.

易错点2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：

a+b=b+a

求两个向量和的运a

加法三角形法则(2)结合律：

算

a(a+b)+c=a+1b

平行四边形法则+c)

减去一个向量相当

减法于加上这个向量的xya—b=a+(—A)

相反向量三角形法则

入(□a)=

(1)当4WO且aNO时，入己的模

(，〃)a；

为以”,而且力&的方向如下：

求实数4与向量a(4+〃)a=>a+

数乘①当4>0时，与a的方向相同;

的积的运算

②当4<0时，与a的方向相反.

4(a+6)=>a+

(2)当4=0或a=0时，A,a=0.

J_b

易错点3.共线向量定理

如果存在实数A,使得6=2a(aW0),则Ma.

易错点4.向量模的不等式

向量a,b的模与a+6的模之间满足不等式

a—；引IWla±6三］夕+修.

易错点4.平面向量基本定理

（1）平面向量的基底

平面内不共线的两个向量a与6组成的集合®加，常称为该平面上向量的一组基底，如果

c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底｛a,6｝下的分解式.

（2）平面向量基本定理

如果平面内两个向量3与b不共线，则对该平面内任意一个向量。，存在唯二的实数对（必

y）,使得c=xa+yb.

易错点5.平面向量的坐标

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e>,对于平面内的向量a,如果a=xe+

ya,则称（x,。为向量a的坐标,记作a=（x,y）.

易错点6.平面向量的坐标运算

（1）平面向量线性运算的坐标表示

假设平面上两个向量a，b满足a=（小，yi）,6=（如刑），则a±b=（x1±「，'土/）,

=（4%1,2yi）（AGR）,ua±vb=（UE土次，〃力士呼）（u,reR）.

（2）向量模的坐标计算公式

如果向量a=（x,尸），则a=\jx+y.

（3）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设力（xi,%）,6（如㈤，

则AB=（"—汨，先—为），

,~AB\='（照一X）”+（了一巾）1

易错点7.向量平行的坐标表示

设a=（x,71）,b=（X2,J2）,则H〃从。x2力=荀）.

易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=（E,力），6=（如㈤，。为向量a,8的夹角.

（1）数量积：a9b=ab\cos乡=汨尼+必%.

(2)模：Ia|='a•

a・b______xi热+必丁

（3）夹角：cos

\a\b\+

（4）两非零向量的充要条件：。•6=00由入2+巾度=0.

2

(5)%♦引W|a；引(当且仅当a〃b时等号成立)=1矛.+巾力W、jx；+y：•7>+—・

错题纠正

1.在,ABC中，点〃满足AD=2DC,£为4。上一点，_&BE=mBA+nBC,m+An=1»则

2=()

A.-B.-C.0D.-

4332

【答案】D

uiu3uim

【详解】因为4Z)=2DC,所以BC=13。，

3

则BE=tnBA+nBC=mBA+—nBD,

2

因为4E,〃三点共线，

所以，"+=,=1,所以

故选：D.

3

2.已知点4、8在单位圆上，ZAOB=-n,^OC=2OA+xOB(xeR),贝0C『的最小值是

4

()

A.2B.3C.5-20D.4

【答案】A

【详解】|OC|2=(2tM+xO8)2=40^+X2OB'+4X\OA|-|OB|cos-2>/2x

+4=(X-V2)2+2>2,因此|OCT22.

故选:A.

3.若向量a，0满足忖=1,忖=&,+则a与匕的夹角为()

*nc乃八37tc5〃

A.-B.-C.—D.——

4346

【答案】c

/\nd'b-15/2

【详解】由己知得。•(a+8)=0，a»=-l，8$0=丽|=正="相，

ew[o,用,所以"当.

4

故选：C.

3

4.已知平面向量〃力满足|〃|=2,〃为=4,贝匕在。方向上的投影向量为()

11r

A.—aB.-bC.aD.b

22

【答案】C

a-b

【详解】b

故选：C.

5.已知平面向量。=(4,一2)力=(1,-3),若a+劝与b垂直，则九=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【详解】因为〃=(4,-2),6=(1,-3),故|〃|=&+(-2)2=2亚,b=回，

由题意a+Ab^ib垂直，(a+Ab)-b=a-b+A.b=0,

即4+6+104=0>解得2=-l,

故选：C

举一反三?

1.已知向量a=(21),。=(-2,4),则日()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】因为a—6=(2/)—(—2,4)=(4,—3),所以卜叫=+(-3)?=5.

故选：D

2.已知向量〃=(1,⑼，b=(m,2),若allb，则实数力等于()

A.-72B.&

C.一五或叵D.0

【答案】C

【详解】由〃/妨知：1X2—//=0,即加=正或-&.

故选：C.

3.已知向量a,Z?满足1。1=5,|〃|=6,&.b=—6，则cos<a,a+A>=()

4

31191719

A.B.C.D.

35353535

【答案】D

【详解】］《=5,|4=6,a.b=-6，a=|a|2+«-/>=52-6=19.

|a+q=J(a+b)=yja+2a-b+b=j25-2x6+36=7，

a-(a+b\1919

因此，cos<a,a+fe>=-ii-----f=——.

r卜r,4+05x735

故选：D.

4.已知单位向量a，6的夹角为60°,则在下列向量中，与6垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD-2a-b

【答案】D

【详解】由已知可得：a-^=|iz|-|z?|-cos60"=lxlxi=i.

A:因为(a+2b).6=a.6+2/=义+2><1='|♦。，所以本选项不符合题意；

O1

B：因为(2a+〃).〃=2a./?+//=2x-+l=2^O,所以本选项不符合题意；

C：因为(。一2加.。=々.。-2//=3一2乂1二一¥。，所以本选项不符合题意；

D:因为(2。-与包=2。包—i/=2x；-l=0,所以本选项符合题意.

故选：D.

5.已知向量”=(2,3)力=(3,2),则"一切=

A.72B.2

C.50D.50

【答案】A

【详解】由已知,a-Z>=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|a-b|=二叵，

故选A

易错题通关

5

一、单选题

1.已知四边形ABC。，设6为CD的中点，ACAD=\0,\AE\=4,则|CO|=()

A.2瓜B.V6C.2及D.y/2

【答案】A

【详解】在平面(空间同样)四边形A8CD中，

ACAD^(AE+EC)(AE+ED)=|A£|2-|£C|2,

因为AC-A£>=10,|AE|=4,所以|EC|=",|CQ|=2".

故选：A.

2.已知向量a=(2,l),6=(-2,4),则|D|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】因为£=(2,1),b=(-2,4)，

所以。-8=(4,-3),

所以|。_勿="42+(_3)2=5,

故选：D

3.已知向量外人满足同=1，ab=-l,则a.(2a-0)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

［详解］«-(2a-/?)=2|a|2-a-b=2+1=3.

故选:B.

4.己知非零向量4,b，c满足a+6+c、=0，a,〃的夹角为120,且问=斗4贝IJ向量Q,

c的数量积为()

A.0B.-2a2C.2a2D.-a2

【答案】A

【详解】设初|=2同=2上0,因为解♦的夹角为120,

所以=@•同cosl20=-r,

因为非零向量a，b，d满足a+h+c=0，

所以°=一（4+8），

所以=一〃.（4+匕）=--d，b

=一⑷?-ab=—t2+产=0.

6

故选：A.

5.设向量q,b，满足|。|=2,|以=1,”与b的夹角为60°,则|。+2勿=（）

A.B.3亚C.4D.275

【答案】A

【详解】解：因为|。|=2,闻=1,.与石的夹角为60。,

所以a/=„qcos60°=2xlxg=l,

所以|a+26/=（.+26）2=1+44力+4//=|『+4”力+4忖2=22+4x1+4x1?=12,

所以|:+5|=26.

故选：A.

6.设非零向量a/满足|a|=2|切,|〃+加=后|切，则向量a与6的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【详解】由|a+b|=6|加得|a|2+2|a|g|cos（a0+|M=3|M,

代入|a|=2|b|得cos（a,》）=-；,

又0。4（叫4180。

故夹角为120。.

故选：C

7.已知向量a,6的夹角为：，且|〃|=4,（ga+“-（2a-3b）=12,则向量在向量”方向上的

投影是（）

A.夜B.3C.4&D.1

【答案】D

【详解】由&+“（2”-36）=12,卜『-!"2+2a2-3时=12,p|=+^-^-3|6|2=12,

16+^X4.|ZJ|COS^-3|/7|2=12,3忖2_倒陷_4=0,（3忖+2拒咽_&）=0,

解得忖=应，所以向量办在向量°方向上的投影为Wcos?=l,

故选：D.

8.已知A,B,C是不在同一直线上的三个点，。是平面ABC内一动点，若

OP-OA=AAB+^BC\,2e[0,+oo）,则点P的轨迹一定过A3C的（）

7

A.外心B.重心C.垂心D.内心

【答案】B

【详解】解：如图，取BC的中点。，连接AD，

AD.5L0P-0A=X(AB+-BC),

2

OP-OA=AAD-B|JAP=AAD-

乂几e[0,+oo),

，尸点在射线AO上.

故P的轨迹过^ABC的重心.

故选:B.

二、多选题

9.已知向量。=。,3),方=(2,-4),则下列结论正确的是().

A.(a+b)LaB.\2a+b\=VlO

37r

c.向量a力的夹角为3D.人在4方向上的投影向量是皿

4

【答案】AC

【详解】对于A,a+/>=(3,-l),由(a+b)"=3xl+(-l)x3=0,则丘+1),：，故A正确；

对于B,2«+/?=2(1,3)+(2,-4)=(4,2),悭+百=+2?=26,故B错误；

对于C,a2=lx2+3x(T)=-10,|a|=^l2+32=Vw,|/?|=^22+(-4)2=2>/5,则

/,\ab-10723元

8s依1)=印恸=而百万=一下一，即向量。力的夹角为故,正确；

ci-b—10

对于D,〃在a方向上的投影向量是可。=不？〃=一。，故D错误.

故选：AC.

10.在-ABC中，M,N分别为AB,AC的中点，G为MN的中点，O为ABC所在平面

内的任意一点，则()

8

A.GA+GB+GC=OB.OG=-(2OA+OB+OC^

C.AGGM=GAGND.(AG-G2V)|BC|=(AG-BC)|G)V|

【答案】BCD

【详解】

取BC的中点”，连接GH,显然A,G,H三点共线，且G是AH的中点，则

GA+GB+GC=GA+2GH=GH#0,故选项A错误；

因为：(20A+OB+0C)=；(20A+20H)=+0〃)=OG,故选项B正确：

因为GM=NG，所以AG-GM=AG-NG=G4-GN，故选项C正确；

因为BC=4GN，所以(AG-G/V)|BC|=(AG-GN)|4G/V|=4(AG.GN)|GN|,

(AG-BC)|G?V|=(/1G-4G7V)|G/V|=4(AG-G?/)-|G^|,所以(46-6M,4=卜6-80B叫,

故选项D正确；

故选：BCD.

三、解答题

11.记一ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知A8-AC+28A-BC=CA-C8.

sinB

⑴求

sinC

S

(2)记-ABC的面积为S,求的最大值.

【答案】

(1)

解：因为AB-AC+28/VBC=C4-C5，

由平面向量数量积的定义可得cbcosA+2cacosB=bacosC,

，，22222

b~+c~-a~+”"2工ab-c

即姐=ab-----+---------整理可得匕=0c，

2bc2aclab

9

由正弦定理可得驾=2=夜.

smCc

（2）

解：S=；〃csinA=^-c2sinA,由余弦定理可得a2=b2+c2-2Z;ccosA=3c?2-2\flc2cosA，

所以，S_方csin"_