2023-2024学年福建省福州高二年级上册期末检测数学试题（含答案）

2023-2024学年福建省福州高二上册期末检测数学试题

一、单选题

1.已知集合P={x∣x=3"+l,"∈Z},集合Q={-2,—l,0,l,2},则PQ=()

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-1,1}D.{-2,0,2)

【正确答案】B

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意PQ={-2,1}

故选：B

2.若函数/(x)在X=X11处的导数存在，则“函数/(x)在点X。处取得极值”是“/'(%)=()”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【正确答案】A

根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据/(毛)=O,若/'(朝)左右两侧同号

时，则不能推出在与处取得极值，进而可得出结果.

【详解】根据函数极值的定义可知：当函数/(x)在/处取得极值时，/(不)=0一定成立,

即“函数”X)在点⅞处取得极值”是“/'(闻)=0”的充分条件；

3

当/'(ΛO)=O时，若/'(X。)左右两侧同号时，则不能推出在与处取得极值，如：/(x)=x,

其导函数为尸(x)=3χ2,当χ=o时，尸(X)=0,但/(x)=x3是单调函数，无极值点;

所以“函数”χ)在点事处取得极值”是“r(/)=o”的不必要条件.

综上，“函数f(x)在点X。处取得极值''是"/'(ΛO)=O''的充分不必要条件.

故选A

本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.

3.过点P(IJ)作圆E：V+y2-4χ+2y=0的切线，则切线方程为()

A.x+y-2=0B.2x÷y-3=0

C.x-2y+l=0D.2x-y-l=O

【正确答案】C

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断P点在圆上，再

求出即E，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.

【详解】圆E：x2+y2-4x+2y=0,即（x—2^+（^+1）2=5,圆心为£（2,-1）,半径/=有，

又IPEI=J（2-lf+（-l-l）2=*,所以点P在圆上，且即£=吉1=—2,

所以切线的斜率A=所以切线方程为y-1=gx7）,即x—2y+l=（）.

故选：C

4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石

砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块

数的扇面形石板.已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，

则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3339块B.3402块C.3474块D.3699块

【正确答案】B

【分析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为{%},其中6+%+%=54,

+«26+«27=702,根据下标和性质求出at+a2j,再根据等差数列求和公式求出S27即可.

【详解】解：依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为{q},其中％+见+%=54,

«25+«26+«27=702,

所以q+4+%+%+%6+%=3（q+¾7）=54+702=756,

所以4+=252

所以S”=27（4产.）=27=3402,故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）必）2块.

故选：B

5.关于函数〃X)=Sin0冶)的性质，正确的是()

A./(x)的最小正周期为2万B./(x)在(Oe)上单调递增

C.曲线y="χ)关于直线Xq对称D.曲线y="χ)关于点弓,0)对称

【正确答案】D

【分析】根据函数〃x)=sin(2x-。逐项判断.

O-

【详解】A∙/(x)的最小正周期为T=W77=万，故错误；

B.因为Xe(O,。所以2x-∕e(q,芝则/(x)在(。,£|上不单调，故错误;

C.因为sin0χW)=sinO=O,所以曲线y=/(x)关于点对称,故错误；

故选：D

6.己知。为空间任意一点，AB,C,尸四点共面，但任意三点不共线.如果

BP=mOA+08+OC，则W的值为()

A.-2B.-1C.ID.2

【正确答案】A

【分析】由题设条件推得OP=机。4+208+0C，再由四点共面可求得旭=-2

【详解】因为BP=OP-O8，

所以由BP=mOA+OB+OC

得OP-OB=mOA+OB+OC>

即OP=欣M+20B+OC，

因为。为空间任意一点，A3,CP满足任意三点不共线，且四点共面，

所以∕n+2+l=l,故”=—2.

故选：A.

7.设α=0.1,/?=Sin0.1,c=e”3则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【正确答案】C

【分析】令g(x)=x—Sinx,Λ∈I0,∣j,利用导数说明函数的单调性，即可得到x>sinx,

Xe(OgJ,从而判断“、/7的关系,再令/(x)=e*τ-1,利用导数说明e'>x+l,x∈(γ>,0),

即可判断。、C的关系，即可得解.

【详解】解：令g(x)=x—sinx,Xe(O贝∣Jg'(X)=I-COSX>0,

所以g(x)=x-SinX在(0马上单调递增，又g(0)=0,所以g(x)>g(0)=0,TO图，

即x>sinx,Xe(0,5),

所以0.1>sin0.1,即a>Z?,

令/(x)=ej-l,则尸(X)=炉一1,当XVo时f'(x)<0,即/(x)在(一8,0)上单调递减，

又〃O)=0,

所以当x<0时/(x)>"0),即e*>x+l,所以e^tt9>-0.9+l=0.1,即c>4,

综上可得C>Q>Z?.

故选：C

■>■>

8.椭圆C：*∙+}=l(α>∕,>0)的左、右焦点分别为£,工，下顶点为A,直线4巴与椭

圆C的另一个交点为B,EA由B=O,则椭圆C的离心率为()

A.—B.立C.ɪD.且

2325

【正确答案】D

【分析】依题意可得AK，8月，求出8点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.

【详解】解：左、右焦点分别为K,K，下顶点为A,.∙.∣AΛ∣=∣Ag∣=α,设忸闾=〃，则

∖BFl∖=2a-n,

由耳4∙E3=0,可得AG耳，根据勾股定理，有Al=A片2+8耳2,

即(α+")-=a2+(2α-/?)2,解得〃，即忸❷∣=∙∣0,

ɔ

由A(0,—A),F2(C9O),∖AF2∖=af忸周=；。，民工,A三点共线，

.•.8仔净)，代入椭圆方程有(IC)(|“_,化简得＜=：,

a2b2

所以椭圆离心率为e=£=虫.

a5

故选：D

二、多选题

9.已知Ii为虚数单位，z=a+b∖,a,bwR,则()

A.z2=∣z∣2B.若α>0,则z>6i

C.若z-(l+i)=l+5i,则α+0=8D.若z(l+i)=l+5i,则α+6=5

【正确答案】CD

【分析】根据复数的定义和运算规则逐项分析.

【详解】对于A,z2=(α+⅛i)2=a2-b2+2α⅛i,∣z∣^=a2+b1,:.z2≠∣z∣2,错误；

对于B,复数不可以比较大小，错误；

对于C,Z-(I+i)=(α-l)+(Z?-l)i=l+5i,.∙.4=2,∕j=6,α+6=8,正确；

对于D,z(l+i)=(α+⅛i)(l+i)=(α-Z>)+(α+∕>)i=l+5i,.-.o=3,∕>=2,α+⅛=5,正确；

故选：CD.

10.菱形ABC。中，AB=2,/84)=60。，将AABD沿对角线8。翻折到APBA位置，连

结尸C,得到三棱锥P-Be£>,则()

A.PClBDB.存在某个位置，使PBLCD

C.三棱锥P-8CZ)的体积最大值为3D.存在某个位置，使PCL平面BCO

【正确答案】AB

【分析】根据线面垂直，转化证明线线垂直，即可证明AB；

根据面面的位置关系，即可求解体积的最大值，即可判断C；

根据反证法，即可判断D.

【详解】A.如图，连结对角线ACBO,交于点。，ACJ.BD,

沿8。翻折后得到如图三棱锥P-BCO,则POL8D,C0A.BD,且尸0CO=O,

PoU平面尸OC,OCU平面尸OC,则8。工平面PoC,PCU平面POC,

所以瓦)J_PC

故A正确；

B.当PC=2时，此时三棱锥P-Beo为正四面体，取Z)C的中点连结PM,8M,

所以PMLDC,BMlDC,且RWCBW=所以。CL平面「MB,PBu平面尸MB,

所以Z)CLP3,故B正确；

C.当平面PBQJ_平面BCO时，三棱锥尸-BCD的体积最大,

此时平面PBO平面BCO=B。时，POLBD,则PO工平面58,PO=B

SZje=L2x2x立=5此时正四面体的体积v=gχGχ6=ι,故C错误;

bcd223

D.若PCL平面8CO,则PCJ.OC,因为Po=CO,所以PC与OC不可能垂直,

所以不存在某个位置，使PCL平面58,故D错误.

故选：AB

11.数列｛q｝的前八项和为S,,,且24+22%+23%+∙∙∙+2Z="("eN*),则()

2

B.anaπ+2=an^

C.Sn=∖-allD.S.+S-=2SN

【正确答案】BC

【分析】根据所给递推公式令〃=1求出％,当“≥2时作差得到2%“=1,即可求出｛q,｝的通

项公式，即可判断A、B,再根据等比数列求和公式判断C、D.

【详解】解：因为2%+22%+23%+…+2Z=〃(”eN*)①，

当”=1时2α∣=1,所以q=；,

1

当“≥2时2α1+2'a2+2'%H----F2"an_t=n-∖②，

①一②得2%=1,所以

经检验当X=I时也成立，

11%1

所以4,=6，则。向=τ，所以方"=不，即4=2』，故A错误;

2L%N

又｛《,｝是以!为首项，g为公比的等比数列，则44+2=。3,故B正确;

所以S“=即C正确;

2

所以“ZH第，

则s,+Sm=U+1-（；）=2-∣×f∣j,所以5,,+S,+2≠25,,M,故D错误;

故选：BC

三、单选题

12.设αwθ,若x="为函数/(x)="(x-α)2(x-3的极大值点，则()

A.a<bB.ab>OC.ab<b2D.a2<ab

【正确答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质,

对。进行分类讨论，画出/(x)图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=。，则/(x)=a(x-a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故标b.

∖/(x)有X="和x=b两个不同零点，且在X="左右附近是不变号，在x=b左右附近是变

号的.依题意，x=a为函数"x)=a(x-q)2(x-Z0的极大值点，・•.在x=a左右附近都是小

于零的.

当a<O时，由x>6,/(x)≤O,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知b<a,a<O,故出?>/.

当a>O时，由x>。时，/(x)>O,画出/(x)的图象如下图所示:

由图可知〃>",α>0,故">储.

综上所述，ab>a1成立.

故选：D

四、填空题

13.空间中两点A(1,T,2),B(T,2,3)间的距离为.

【正确答案】√M

【分析】根据空间中两点距离公式，代入计算即可得到结果.

222

【详解】由题意可得，^=λ∕(l+l)+(-l-2)+(2-3)=√14

故答案为：V

14.写出一个同时具备下列性质①②的函数f(x)：.

①"x+l)=f(x)"l);②/(x)<0.

【正确答案】e-，(答案不唯一)

【分析】根据题目的要求分析函数的类型，再从中选一个.

【详解】因为"x+l)=∕(x)∕(l)是加变乘，所以考虑指数函数类型，又/(x)<0是减函

数，

/(x)=e^-t满足要求；

故e-*(答案不唯一).

15.已知倾斜角是60°的直线/过抛物线V=4x的焦点尸，且与抛物线交于A,8两点，则

弦长∣ABI=.

【正确答案】J

【分析】设Aa,乂),B(Λ2,%),利用抛物线的性质，求出IABl=IAF∣+∣Ml=司+x2+2,

再结合韦达定理求出即可.

【详解】解:设Aa,χ),B(¾,y2),A,8到准线的距离分别为服,ds,

由抛物线的定义可知KdA=X+1,忸q=%=4+1,于是IASl=I由I+忸尸I=Xl+x2+2,

由已知得抛物线的焦点为尸(1,0),斜率％=tan6(T=G,所以直线A8方程为y=G(x-l),

将y=g(x-l)代入方程y2=4x,化简得3/—ιθχ+3=0.

由求根公式得X∣+毛=与，于是IABlTA尸|+|防=占+々+2=?+2=墨

五、双空题

16.某数学兴趣小组将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此

类推不断得到新的数列.如图，第一行数列为1,2；得到第二行数列1,2,2；得到第三行

数列1,2,2,4,2,则第5行从左数起第6个数的值为；用A“表示第〃

行所有项的乘积，Sn=Iog2An,则数列｛坊｝的通项公式为

2

【分析】(1)直接写出第5行的数列，即可解决;

(2)首先归纳出4,进而可以求得数列｛纥｝的通项公式.

【详解】(1)根据题意，第5彳亍的数列依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2

从左数起第6个数的值为8；

(2)A=2l,

2+3

A2=2=2'",

5,+3!，+3

A3=2=2',

14I+3+3+32

A4=2=2°',

4

ʌ_2>_21+费+3∣+32+33

]+3”T

325+

故有ʌ=2'÷°÷3'÷3÷3÷/2=2'TT=2~2~

n,

l+3^1+3"T

则纥=l0g2A,=bg222=

2

故①8；②纥=号ɪ

六、解答题

17.在①“c=G,②CSinA=3,③c=√¾这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若

问题中的三角形存在，求其面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在^ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=E,SinA=GSinB,

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】若选条件①，c=l;若选条件②，c=2g;若选条件③，三角形不存在.

【分析】根据正弦定理，余弦定理，带入即可求解.

【详解】由C=B和余弦定理得1+"-C2=立.

62ab2

由sinA=∖∕3sinB及正弦定理得a=ʌ/ɜ/?.

于是空耳r=走，由此可得6=c.

2√3Z;22

若选条件①：

由①“c=x∕5,解得α=质,b=c=l.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时C=L

若选条件②：

由上可得.8=c,3=C=C,A=生

63

由②CSinA=3,得c=b=2>∕3,a=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时C=26.

若选条件③：

由于③c=6",与b=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

18.已知函数/(x)=2SinX-4(x-l).

(1)若曲线y=∕(χ)经过点(0,1),求该曲线在点(0,1)处的切线方程；

Jr3冗

(2)若函数f(x)在岸上是增函数，求〃的取值范围.

【正确答案】(I)y=χ+1

⑵"≤-V2

【分析】(I)根据/(())=1求得。，利用切点和斜率求得切线方程.

Jr3TT

(2)由/'(x)N0在区间-17恒成立分离常数α,结合三角函数的最值求得。的取值范

围.

【详解】(1)依题意，/(0)=a=l,∕(x)=2sinx-x+l,

∕,(x)=2cosx-l,∕,(0)=2cos0-l=l,

所以曲线在点(0,1)处的切线方程为y-l=IXa-O),y=χ+L

(2)/(x)=2sinx-e(x-l)=2sinx-αr+α,

∕,(x)=2cosx-4,

Tr3TT

依题意可知r(χ)NO在区间恒成立，

艮IJ2cosx-a≥0,a≤2cosx,

π3π一01

x∈——,—,cosx∈,2cosx∈

442

所以α≤-√Σ∙

19.如图，正三棱柱48C-A4G底面边长为4,。在AC边上，BC〃平面A80.

(I)求证：平面平面AACa；

(2)若BC到平面ABD的距离为1,求平面A/D与平面GCBBl的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)见解析

⑵走

4

【分析】(D根据线面平行可得BCJ/0。，进而判断点。的位置，利用正三棱锥的性质得

面面垂直可得线面垂直，即可求解，

(3)根据等体积法求解三棱锥的高，进而建立空间直角坐标系，利用平面法向量的夹角即

可求解.

【详解】(1)连接A4交AB于点0,连接Oa

由于4C〃平面A1BD,B1CU平面ACB1,且平面ACBln平面AiBD=0D,

所以BCJ/0D,由于。是AG的中点，所以。是AC的中点，故80,AC

由于三棱柱ABC-AMC为正三棱柱，故平面AACe_L平面ABC,

平面AACGC平面ABC=AC,8。U平面ABC,

所以平面AACC,80U平面A3。，故平面平面AACG

(2)设三棱柱的高为人由BC〃平面ABD,8C到平面AB。的距离为1,

所以可知点到平面。的距离为=

CA/1,∖-BCD^C-A1BD,即

-×-BD∙CDh=-×-A,D-BDx1=〃=AO=-",解得力=,

3232,CD23

建立如图所示的空间直角坐标系：取3C中点为£,连接则

D(0,0,0),β(0,2√3,0),C(2,0,0),Λ(-2,0,0),Λ1-2,0ɪ,E(l,√3,θ)

、ɔj

(20

则Z)A=-^θ,ɪ,03=(0,26,0),设平面ABo的法向量为机=(χ,y,z),

/

m`DA.=O-2x+-----z=0

取z=J5,贝IJm=(1,0,K)

mDBn13

\=°[2√3y=0

取BC中点为E,连接AE,则AE，平面GCBg,AE=(3,0)

设平面ABD与平面CC84的夹角为O,

12×2√34

⑴证明：存在等比数列出｝,使凡=於P

1111C…

⑵若一+—+—<2022,求满足条件的最大整数

a∖aIa3)an

【正确答案】(1)证明见解析

(2)2021

3〃“1112

【分析】(1)将〃,用=LT两边取倒数，得到一=£'—+£，即可得到

24,,+l¾+1343

---1=：/，--,从而得到［，-1］是以:为首项，2为公比的等比数列，即可求出

¾÷.3｛an)M33

的通项公式，即可得证；

(2)由⑴可得，一+1,利用分组求和法求出,+'+L…+，即可得到不等式,

解得”的取值范围，即可得解.

【详解】⑴证明：因为“，，广热

-----l=-τ--l=-

贝I]-------1=-×

4+13

所以'-1是以J为首项，g为公比的等比数歹U,

lan33

所*7=2x&,所以%=乙

bh3"+∣,、

所以当包=3〃时/=丁大，此时常t=*=3,即｛2｝为以3为首项，3为公比的等比数列;

十4Unɔ

,,3",121

(2)解：⅛(1)可知α=-——,贝IJ—=—÷1,

3τ"+2%3

1111C…∩Y

因为—+—+—+…+—<2022,所以〃+1__<2022,则∕ι+l≤2022,则〃≤2021,

aIa2%anUJ

因为〃为正整数，所以〃的最大值为2021.

21.在直角坐标平面内，已知A(-2,0),8(2,0),动点P满足条件：直线Q4与直线心的斜

率之积等斗记动点尸的轨迹为E∙

(1)求E的方程；

(2)过点C(4,0)作直线/交E于M,N两点，直线A〃与BN交点Q是否在一条定直线上？

若是，求出这条直线方程：若不是，说明理由.

2

【正确答案】⑴今-V=I(xx±2)

(2)点。在直线x=l上

【分析】(1)设P(χ,y)(χ≠±2),由斜率公式得到方程，整理即可得解;

(2)依题意直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=〃?y+4,M(xl,yt),N(x2,y2),

联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线40、BN的方程，即可得到直

线AM,BN的交点Q(X。,%)的坐标满足%+2=平竦《。-2)，根据韦达定理求出

yi{x2-2)

平Y，即可求出％,从而得解.

【详解】(1)解：设p(x,y)(xw±2),则上;.一；=!，得4y2=∕-4,即

x+2x-24

ɪ--/=1(x≠±2),

故轨迹E的方程为：≤-∕=l(x≠±2).

(2)解：根据题意，直线MN的斜率不为0,

设直线MN的方程为X=my+4,

X=my+4

由“X22,消去X并整理得(病-4)L+8阳+12=0,

ʃ=1

其中z∖=64,7-48(∕√+4)=l6∕√-192>0,则m>26或m<-2√3.

12

设Ma,y),N(x2,y2),则y+%=-

显然x∣,9≠±2,

从而可设直线AM的方程为y=—⅛(X+2)①,

ɪɪ+2

直线BN的方程为y=f(χ-2)②，

X2-2

所以直线AM,BN的交点。(%,%)的坐标满足：xt,+2=卒YGL2).

χ

yl(2~Z)

而%(芭+2)=%(岫+6)=加％%+6%

MJyG2-2)y,(my2+2)myly2+2y,

∖2nι+6(8/M]

__2_4+(病_4乂J__36m-6(小2-4)y_

12mD∖2m+2(∕n2-4)v∣

因此，⅞=∣,即点。在直线X=I上.

22.已知函数/(x)=lnx-α(x-2)(α∈R).

(1)试讨论函数/("的单调性；

3

⑵若函数“X)有两个零点七，々(尤|<*2)，求证：x1+3x,>--«+2.

a

【正确答案】⑴当α≤0时，/(x)在区间(0,y)上单调递增；

当”>O时，f(x)在区间(0,：)上单调递增，在区间(/,+8)上单调递减.

(2)证明见解析

【分析】(1)求导后，根据。的不同取值范围，对f'(x)的符号进行讨论即可；

12

(2)由已知及(1)中单调性，可知。>0,%>一且赴>2,故只需证明χ+%2>-,再借

aa

33

助不等式性质和放缩，即可证出%+3%>2+2>二-。+2.

aa

【详解】(1)由已知，“X)的定义域为(0,+8),