高中数学一轮复习 常用逻辑用语

第2.2章常用逻辑用语

2.2常用逻辑用语

色课程要求了《»!求心中有数

1理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；

高中要求2通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义。

3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

LjJ基础1知识夯实基础，■立完整知识体系

1充分条件与必要条件

M概念

一般地，”若p,则q"为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.

这时，我们就说，由p可以推出q,记作pnq,并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.

如果”若p,则q”和它的逆命题"若q,则p"均是真命题，

即既有p今q，又有q=p,就记作poq,

此时P即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.

②p是q的条件(填写是否充分、必要)

完成此题型，可思考

从左到右，若p=>q则充分，若p分q则不充分；

从右到左，若qnp则必要，若q/p则不必要.

【例】帅哥是男人的条件.

解析从左到右，显然若4是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；

从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.

③从集合的角度理解一一小范围推得出大范围

(1)命题p、q对应集合4B,

若A£B,贝l]p=>q,即p是q的充分条件；若4生B,贝Up冷q,即p不是q的充分条件.

注若AUB,则称力为小范围，B为大范围.

【例】帅哥是男人的条件.

解析设集合4=｛帅哥｝,集合B=｛男人｝,显然力UB,｛帅哥｝是小范围，推得出｛男人｝这

个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.

(2)结论

①若p是q的充分不必要条件，则40B；②若p是q的必要不充分条件，则B0力；

③若p是q的充分条件，贝IJAU8；④若p是q的必要条件，贝/U力；

⑤若p是q的充要条件，则4=B.

2全称量词与存在量词

①全称量词

(1)短语"对所有的"、"对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用，”表示.

(2)含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题“对M中任意一个工,有p(x)成立"，记作VK€M，P(X).

Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，Vx>0,%+i>2.

X

②存在量词

(1)短语“存在一个"、"至少有一个"在逻辑中通常称为存在量词，用“于表示.

(2)含有存在量词的命题称为特称命题.

特称命题“存在M中的一个支，使p(x)成立”，记作

Eg：至少有一个质数是偶数，>0,x2-2%+3<0.

2全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.

【例】Vx>l,x2>l的否定是,并判断他们的真假性.

解析3%>1,x2<1.Vx>1,x2>1是真命题，3x>1,x2<1是假命题.

^^经典例题从典例中见解题簿力

【题型1】判断充分条件与必要条件

【典题1】设是整数，贝『仇,"均为偶数"是"皿九是偶数”的()

A充分而不必要条件B必要而不充分条件

C充要条件D既不充分也不必要条件

解析均为偶数nTn+n是偶数，则充分；爪+n是偶数则m,n均为偶数或者均为

奇数，即m+?1是偶数分wi,n均为偶数，则不必要，故选A

【典题2】在关于x的不等式a/+2刀+1>0中，“。>1”是“£1久2+2久+1>0恒成立”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析在关于x的不等式ax?+2久+1>0中，

当a>l时，△=4—4a<0,二"a>1"=>"a/+2x+1>0恒成立”，

当4=4—4a<0时,a>l,.-."ax2+2%+1>0恒成立"=>"a>1",

"a>1"是"a/+2x+1>0恒成立"的充要条件.

故选：C.

变式练习

1.设集合M={x|0<xW3},N={x|0<x<2},那么"aGM"是"ae"'的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析M的元素不一定是N的元素，比如：a=2.5,即M推不出N；而N中的元素一定是M

的，即N推不出M.所以“aCM"是"a6N”的必要不充分条件，选B.

2.已知a,b是实数,则"a>0且b>0"是"a+b>0且ab〉0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析对于"a>0且6>0"可以推出"a+b>。且ab>0",反之也是成立的.

3.设a,beR,则(a-h)-a2<0是a<6的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案力

解析由(a-6)•a?<0得，£140且£1<6；反之，由a<6,不能推出(a-b)•a2<0,

即(a-6)•a?<0是a<b的充分非必要条件,选A

4已知a、beR,则“a?>b2，>是a\a\>\b\n的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

答案C

解析。2>/得“@>网”，

"a2>/"是"|a|>\b\n的充要条件，

故选：C.

5.|x-1|<1是/一万<0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析设命题p:-1|W1Q0W%W2,命题q:/-x<0Q0<x<1；

所以qnp,但p#q,故p是q的必要不充分条件.

6.若a,b是正整数，贝！la+b>ab充要条件是()

A.a=b=1B.有一个为1

C.a=b=2D.a>1且b>1

答案B

解析.•・a+b>ab,

ab-CL-bV00ub—CL-b+1V1=(a—1)(Z7-1)V1,

•・,a,b是正整数，aN1,b>1,

则a—1■之0,b—120,•**(a-1)(/)—1)N0,

若(a—l)(b—1)V1,则(a—1)(/)-1)=0,

即Q=1或b=1,即有一个为1,

即a+b>ab充要条件是a,b有一个为1,故选B.

7?|%|<2”是-x-6<0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析|%|<2得—2<x<2,由x2—x—6<0得—2V%<3.故选4

8.条件p：关于％的不等式(a-4)x2+2(a-4)x-4<0(aeR)的解集为R；条件q；0<a<

4,则p是9的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析条件P：关于％的不等式(。-4)%2+2(a-4)%-4V0(aER)的解集为R,

当a=4时，-4V0恒成立，

当叱4时，则仁=4(。-4+双-4)<。,解得°<"4，

综上所述p中a的取值范围为0<aW4,

所以则p是q的必要不充分条件，

故选：B.

【题型2】全称量词与存在量词

【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(l)Vxew.x3>%2；(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

(3月久oCR,焉-沏+1W0；(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直.

解析(1)全称命题，当x=0时，结论不成立，所以为假命题.

命题的否定：BxeN,x3<x2.

(2)全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是。或5；为假命题.

命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0；(这里不能写“都不是”)

(3)特称命题，xg-xo+l=(%O-1)2+7^1'所以结论不成立，为假命题.

命题的否定：X/XGR,X2-X+1>0.

(4)特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题.

命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直.

【典题2】命题“VxG[0,+8),%3+%》0”的否定是()

A.Vx6(—oo,0),x3+x<0B.Vx6(—oo,0),x3+x>0

C.3x06[0,++x0<0D.C[0,+oo),焉+

解析；命题“VKC[0,+OO),X3+x>0"是一个全称命题.

二其否定命题为：3x0G[0,+OO),XQ+^o<°

故选：C.

变式练习

1.命题“vxeR,d一炉+i4o”的否定是()

A.3xER,X3—x2+1>0B.3x£/?,%3—x2+1>0

C.3%£!?,x3—x2+1<0D.Vx6/?,%3—x2+1>0

答案B

解析将量词否定，结论否定，可得或CR,x3—》2+1>0

故选：B.

2.若命题“Vxe[1,4]时，/一4久一Hi力0”是假命题，则小的取值范围.

答案—4<m<0

解析•••[1,4],/-4%-小力0"是假命题，

:该命题的否定叼比6[1,4],Xg-4x0-m-0"是真命题,

即方程/-4x-m=0在[1,4]上有解，

(1-4-m)(16—16—m)<0,解得—4<m<0.

3.若“存在实数x,使/—2x+m=0"为真命题，则实数机的取值范围是.

答案mW1

解析存在xeR,/一2x+m=0"为真命题，即△=4—4m20,解得mW1.

二实数m的取值范围是：m<1.

【题型3】综合运用

【典题1】若一3久-4>0"是"/一3ax-10a2>0"的必要不充分条件，求实数a的取值

范围.

解析由/一3x-4>0得久>4或x<-1,即不等式的解集为力={x|x>4或x<-1},

由/—3ax—10a2>0得(x+2a)(x—5a)>0,

若a=0,则不等式的解为％力0,此时不等式的解集为为8={久阿力。},

若a>0,则不等式的解集为B=(x\x>5a或x<-2a},

若a<0,不等式的解集为3={x|x2a或x<5a},

(求解含参的不等式，注意分类讨论)

若"/-3%-4>0"是_3ax-10a2>0"的必要不充分条件，则8cA,

(从集合的角度去思考充分必要条件问题)

则当a=0时，不满足条件.

当a>0时，则满足即得0宛，

当"0时，贝IJ满足{(吃;，得{:;二二，得aW—2.

综上实数a的取值范围{a|aW-2或a2(}.

变式练习

1.已知命题p:|1一号<3；q:x2-2%+1-m2<0,(m>0)，若q是p的充分非必要条件,

试求实数机的取值范围.

答案0VmW4

解析命题p中不等式可化为一3<x<9q可化为1-771〈％工1+m(m>0)

q是p的充分非必要条件q=P

W+4］，解得m<4

11—m>—3

・,・实数TH的范围是0V血44.

蟋轻松训练

通过膝习，眼B9IS力

1.命题叼久eR,/一尤+1<0”的否定是（）

A.V久€R,好一久+12oB.Vx£/?,x2—x+1>0

C.3xER,x2—x+1>0D.m久eR,/-%+i>o

答案A

解析因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题勺xeR,x2-x+l<0"的否定是，久€R,X2-X+1>0".

故选：A.

2.设集合M={x|l<x<3},N={%|0<x<1],那么"aeM"是"a£N"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：D

解析：集合M,N不存在子集间的关系，所以两者都相互推不出，即“aCM"是"aCN”的既不

充分也不必要条件.

3."m<1"是"一元二次方程好+x+m-0有实数解"的（）

A.充分不必要条件B.充分且必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析方程好+刀+巾=0有解，则A=1-4m>0=>m<-,

4

m<:是m<：的充分不必要条件.故/正确.

4.设第ER,贝I」“％2一5%<。”是vl”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析%2-5x<0,0<x<5,

v|x-1|<1,0<%<2,

0<x<5推不出0V%V2,

0<x<2=>0<x<5,

・・・0V%V5是0<%<2的必要不充分条件，

即/-5%<0是-1|<1的必要不充分条件.

故选：B.

5.条件p：|x-m|<2,条件q：-1<%<n,若p是q的充分条件，则打的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析条件p：|x-m|<2,可得m-2W%£m+2.条件q：-1<x<n,

若p是q的充分条件，则一14m-2,m+2<n,解得mNl,n>3.

则九的最小值为3.故选：C.

6.已知命题p：x<2m4-l,q：久2一5%+6V0,且p是q的必要不充分条件，则实数7n的取值

范围为()

A.m>|B.m>|C,m>1D.m>1

答案D

解析:命题p：x<2m+1,q：x2—5x+6<0,即2cx<3,

p是q的必要不充分条件，

2m+1),•1-2m+l>3,解得

实数a的取值范围为m2L故选：D.

7.已知命题p；3x0£R,使得部+而+1<。，那么此命题是命题(填“真"或"假")；

答案假

解析由于/+配+1=(&+[)2+：>0,

所以，不存在任何数使郎+%o+1<0成立，

故该命题为假命题.故答案为：假.

8.若命题勺与€/?,3部+2axo+l<。”是假命题，则实数a的取值范围是.

答案[—V3,V3]

2

解析命题勺xOeR,3就+2ax0+1<0"的否定为，xeR,3x+2ax+1>0",

•.•命题勺％0GR,3.+2ax0+1<0”是假命题，

•••"VxeR,3x2+2ax+l>0”为真命题,

则4=4a2-12<0,解得一V3<a<V3.

.•・实数a的取值范围是：[-低百].

故答案为：[-百,B].

9.已知p：%2—8%-20>0,q：x2-2x+1-a2>0.若p是q的充分而不必要条件，求正实

数a的取值范围.

答案0<