新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 两直线的位置关系2

专题49两直线的位置关系

知考纲要求

识

考点预测

梳

理常用结论

方法技巧

题题型一：两直线的平行与垂直

型

题型二：两直线的交点与距离问题

归

题型三：对称问题

类

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强

单选题：共8题

化

多选题：共4题

测

试填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

【考点预测】

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线厶，h,其斜率分别为七，匕，则有厶〃/2=乱=厶特别地,当直线厶，

厶的斜率都不存在时，厶与厶壬任.

(2)两条直线垂直

如果两条直线/1,厶斜率都存在，设为左1,左2,则厶丄/2=红二及三二1，当一条直线斜率为零，

另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系

(1)两直线的交点

点P的坐标既满足直线/i的方程Nix+8iy+G=0,也满足直线厶的方程4加+82、+。2=0,即

点尸的坐标是方程组

L+5；+C2=O的解'解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐

标.

(2)两直线的位置关系

，ix+5iy+G=0,

方程组•।的解一组无数组无解

42x+&y+C2=0

直线厶与厶的公共点的个数一个无数个零个

直线厶与厶的位置关系相交重合平行

3.距离公式

⑴两点间的距离公式

平面上任意两点尸I(X1，J1),尸2(X2,间的距离公式为|P1尸2|='/(X2—X1)?+(以一卩1)

特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离10鬥=、何+了.

(2)点到直线的距离公式

|4xo+8y（）+C

平面上任意一点Po(xo,yo)到直线/：/x+8y+C=0的距离d=

\IA2+B2'

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线厶：Ax+By+Ct=O,/2：Zx+为+G=0间的距离

4.对称问题

(1)点尸(xo,次)关于点/(a,6)的对称点为尸'(2a—xo,2/>—M).

尸A=f

vc'-xo

⑵设点尸。0,次)关于直线y=依+8的对称点为P3,y),则有卜+hx，+xo可求岀V,

\z=k-----------Fb,

I22

/•

【常用结论】

五种常用对称关系

(1)点(X,刃关于原点(0,0)的对称点为(一X,-y).

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,~y),关于y轴的对称点为(一七y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为3，x),关于直线了=-x的对称点为(一y,—x).

(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a—x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).

(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a—x,2b-y).

【方法技巧】

1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑

到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意X,'的系数不能同时为零这一隐含条件.

2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

3.求过两直线交点的直线方程的方法

先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.

3.利用距离公式应注意：①点P(xo,/)到直线x=a的距离d=|xo—3，到直线y=6的距离1=例一如②两

平行线间的距离公式要把两直线方程中X,'的系数化为相等.

4.解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

5.几个常用结论

①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,~y),关于y轴的对称点为(—x,y).

②点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线夕=-x的对称点为(一y,—x).

③点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a—x,y),关于直线y=6的对称点为(x,2b—y).

6.几种常见的直线系方程

⑴与直线厶+取+C=0平行的直线系方程是/x+取+m=O(wGR且加#C).

(2)与直线4x+8y+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=O(n^R).

J

(3)过直线厶：Ayx+Bsy+C\=Q与厶：Z2x+82_y+C2=0的交点的直线系方程为Axx+B\y+C\t-}\Avc+B2y+

C2)=0(2GR),但不包括b.

二、【题型归类】

【题型一】两直线的平行与垂直

【典例1】已知直线厶：ax+(a+2)y+1=0,厶：x+ay+2=0(qGR),则'》=1"是"厶〃/2”的()

e

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【典例2】已知直线/经过点(1,一1),且与直线2x—y—5=0垂直，则直线/的方程为()

A.2x+y—1=0B.x—2y—3=0

C.x+2y+l=0D.2%一＞一3=0

【典例3］已知三条直线2x-3y+l=0,4x+3y+5=0,〃a一丁一1=0不能构成三角形，则实数”的取值集

合为()

421［424

A.I33jB.l333j

flf_4_22)

C.b'3jD.l3’3’3j

【题型二】两直线的交点与距离问题

【典例1］已知直线自一、+2左+1=0与直线2x+y—2=0的交点在第一象限，则实数上的取

值范围是()

3a

A.B.或厶＞一1

22

C.k>~lD.—%<1

32

【典例2］已知直线/i：mx+y-3=0与直线/2：x-y-m=O平行，则它们之间的距离是()

A.2也B.4C也D.2

【典例3］直线I过点尸(一1，2)且到点A(2,3)和点5(-4，5)的距离相等，则直线/的方程为

【题型三】对称问题

【典例1】过点尸。1)作直线/,使它被直线/i：2x+y—8=0和厶x—3y+10=0截得的线段被点P平分,

则直线I的方程为.

【典例2】已知入射光线经过点用(-3,4),被直线厶x—j，+3=0反射，反射光线经过点M2,6),则反射

光线所在直线的方程为.

【典例3】已知直线/：y=3x+3,则点尸(4,5)关于/的对称点的坐标为.

三、【培优训练】

【训练一】(2023•全国•高三专题练习)已知实数a,6满足。2+/；2+1=2。+2/,，则(3a+46-l)2的最小值

是()

A.1B.2C.4D.16

【训练二】(2023秋•高二单元测试)已知42,0),点尸为直线x-y+5=0上的一点，点。为圆/+丁=1

上的一点，则归。|+；|』。|的最小值为()

A572+2a572-2_11母门11加

2224

【训练三】(2023•河南•河南省内乡县高级中学校考模拟预测)设点P在曲线y=；e(F上，点。在曲线

y=ln(2x-2)±,则|尸。|的最小值为()

A.l-ln2B.72(1-In2)

C.l+ln2D.0(1+In2)

【训练四】(2023秋•全国•高二阶段练习)已知圆C:(x-u)2+(y-b)2=4的图象在第四象限,直线修

ax+by+3=0,12：笈-即+4=0.若人上存在点尸，过点P作圆C的切线尸4,PB,切点分别为4B,使

得△4PB为等边三角形，则4被圆C截得的弦长的最大值为.

【训练五】（2023•全国•高三专题练习）已知圆C：X2+/=4,点"（3,0）,点8（—2,0）.点P为圆C上一点，

作线段AP的垂直平分线/.则点B到直线/距离最小值为.

【训练六】（2023•全国•高三专题练习）已知尸、。分别在直线4：x-y+i=o与直线/2：x-y-i=。上，且

尸。丄4,点月（-4,4）,5（4,0）,则|4尸|+|尸。|+|。却的最小值为___________.

四、【强化测试】

一、单选题

1.（2023•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）在RSZ8C中，05=90°,/8=近，BC=2,若动点尸满足

国=正，则丽.丽的最大值为（）

A.16B.17C.18D.19

2.（2023•吉林白山•统考一模）已知圆。:/+/-4、-6夕+12=0与直线/：x+y-l=0,P,。分别是圆C和

直线/上的点且直线尸。与圆C恰有1个公共点，则归。|的最小值是（）

A.币B.272C.77-1D.272-1

3.（2023•四川成都•校联考模拟预测）已知双曲线中《一片=1的右焦点为R过点F作一条渐近线的垂线,

36

垂足为P,。为坐标原点，则△。尸尸的面积为（）

A.34B.—C.3>/3D.迈

22

4.（2023•四川绵阳•统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江

二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车.大桥的拱顶可近似地看作抛物线/=-16y

的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距

离为（）

A.6B.2而C.844D.而

5.（2023・云南•云南师大附中校考模拟预测）已知圆C：（X-1）2+/=4,直线/：y=x+1被圆C截得的弦

长为（）

A.6B.石C.2竝D.273

6.（2023•全国•高三专题练习）若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为右，则a的值为（）

A.4B.y/5-6C.4或-16D.8或-16

7.（2023春•湖北恩施•高二利川市第一中学校联考期末）若两条直线4丿=2x+m,4：P=2x+〃与圆

/+貝一4》=0的四个交点能构成正方形，则|机-〃|=（）

A.4布B.2710C.20D.4

8.（2023秋•高二单元测试）直线y=x+6与曲线x=7I二了■恰有两个不同的公共点，则实数。的取值范围

是（）

A.-14645/2B.—1/2<64-1

C.-\<b<l^h=->/2D.-72<b<\

二、多选题

9.（2022•全国•高一专题练习）已知直线/过点（3,4）,点力（-2,2）,8（4,-2）到/的距离相等，则/的方程可

能是（）

A.x~2y+2=0B.2x-y-2=0

C.2x+3y-18=0D.2x-3y+6=0

10.（2023,全国•高三专题练习）设单位圆。与x轴的左、右交点分别为力、8,直线厶xcose-ysin6+l=0

（其中0<。<兀）分别与直线x+l=0、工一1=0交于。、。两点，则（）

A.6=”时，/的倾斜角为自

36

B.T6e（0,兀），点4、8到/的距离之和为定值

C.36»e（0,n）,使/与圆。无公共点

D.V6»G（O,7t）,恒有OC丄OQ

1L（2023•江苏・高二假期作业）已知直线/：x+y-4=0,圆0:/+『=2,M是/上一点，MA,分别

是圆O的切线，则（）

A.直线/与圆。相切B.圆。上的点到直线/的距离的最小值为近

C.存在点M,使N4A/5=90。D.存在点M,使A0WS为等边三角形

12.（2023春广东茂名•高三校考阶段练习）已知48为圆。：—+/=i上的两点，p为直线/：x+y-2=0上

一动点，则（）

A.直线/与圆。相离

TT

B.当48为两定点时，满足的点尸有2个

2

C.当网=百时，国+阀的最大值是2&+1

D.当P4尸8为圆。的两条切线时，直线48过定点后为丿

三、填空题

13.（2023春•安徽安庆•高二安庆一中校考阶段练习）若两条直线乙：了=3工+加，9=3'+”与圆

x2+y2+3x+y+k=0的四个交点能构成矩形，则，”+“=.

14.（2022•高二课时练习）在平面直角坐标系x力中，已知直线，：夕=左卜+4）和点4（-2,0）,8（2,0）,动点

P满足1PH=0户用，且动点尸的轨迹上至少存在两点到直线/的距离等于0,则实数的左取值范围

是.

15.（2023•天津•大港一中校联考一模）若直线/：x-岛+9=0被圆C：/+/+2X-m=0截得线段的长为

6,则实数加的值为.

16.（2022秋•福建泉州•高二校考期中）已知动点尸到点”Q,0）的距离是到点5（1,3）的距离的2倍，记P点

的轨迹为C,直线了=依+1交C于M,N两点，若A0MN的面积为2,则实数上的值为.

四、解答题

17.（2023秋•山东临沂•高二山东省临沂第一中学校考期末）已知直线/经过两条直线2x-y-3=0和

4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直.

⑴求直线/的一般式方程；

⑵若圆C的圆心为点（3,0）,直线/被该圆所截得的弦长为2/，求圆C的标准方程.

18.（2022秋・天津宁河•高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（1,

5）、B（2,1）、C（4,3）,"是8C边上的中点.

⑴求48边所在的直线方程；

⑵求中线4W■的长