高等数学教案 第九章 重积分

第九章重积分

教学目的:

1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中

值定理。

2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动

惯量、引力等）。

教学重点：

1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。

教学难点：

1、利用极坐标计算二重积分；

2、利用球坐标计算三重积分；

3、物理应用中的引力问题。

§9.1二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1.曲顶柱体的体积

设有一立体，它的底是xQy面上的闭区域。，它的侧面是以。的边界曲线为准

线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=/(x,y),这里7Uy)X)且在。上连续.

这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.

首先，用一组曲线网把。分成〃个小区域：

△bl,A(T2,•一，bOn.

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于Z轴的柱面，这些柱面把原

来的曲顶柱体分为〃个细曲顶柱体.在每个AG中任取一点(导，77。，以/(白，中)为

高而底为AG的平顶柱体的体积为：r)i)Ao?(Z=1,2,•••,z?).

这个平顶柱体体积之和：V

i=l

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值，将分割加

密，只需取极限，即V=

其中X是个小区域的直径中的最大值.

2.平面薄片的质量.

设有一平面薄片占有宜8面上的闭区域。，它在点(x,y)处的面密度为Ax,y),

这里/Xx,y)>0且在。上连续.现在要计算该薄片的质量M.

用一组曲线网把D分成n个小区域八⑦,A(T2,•••,Acr«.

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：核,中让6.

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值：M=f>(4，%)皿.

1=1

n

将分割加细，取极限，得到平面薄片的质量M=limZp4，%)△巧.

其中2是个小区域的直径中的最大值.

定义设7U,>)是有界闭区域。上的有界函数.将闭区域。任意分成〃个小闭

区域

Acri,Ag…，Aer/?.

其中表示第，个小区域，也表示它的面积.在每个•上任取一点利，作和

n

i=\

如果当各小闭区域的直径中的最大值几趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限

为函数_/Uy)在闭区域。上的二重积分，记作JJ7(x,yWb,即

D

>')^cr=limX/«,.，7,)Acr,..

fi.x,y)被积函数y)dcr被积表达式,dcr面积元素,x,y积分变量,D积分区域，积分

和.

直角坐标系中的面积元素：

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分。，那么除了包含边界点

的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域Ab的边长为

Ar/和Ay,则△"以△)%因此在直角坐标系中，有时也把面积元素db记作dxdy,

而把二重积分记作

\\f<x,y)dxdy

D

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.

二重积分的存在性：当Ax,y)在闭区域。上连续时，积分和的极限是存在的,

也就是说函数_/U,y)在。上的二重积分必定存在.我们总假定函数_/U,y)在闭区域。

上连续，所以«x,y)在。上的二重积分都是存在的.

二重积分的几何意义：如果/U,y)»O,被积函数外,y)可解释为曲顶柱体的在点

(x,y)处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果加，y)是负的,

柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值

是负的.

二.二重积分的性质

性质1设CI、C2为常数，则

JJ[q/(x,y)+c2g(x,y)Hb=qJJ/(x,yMb+gJJg(x,y)dcr.

DDD

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重

积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和.例如。分为两个闭区域口与。2,则

JJf(x,JJf(x,yWb+jjf(x,y)da.

DDyD2

性质3,1.[(7=,47=(7((7为£)的面积).

DD

性质4如果在。上,7U,y)4g(x,y),则有不等式

JJ/(x,y)“bwJJg(x,y)d<j.

DD

特殊地

IJJ/(x，y)dcrKy)口cr.

DD

性质5设M.m分别是次x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,b为。的面积,

则有

/MCF<jjf(x,y)da<M(j.

D

性质6(二重积分的中值定理)设函数凡r,y)在闭区域。上连续,b为。的面积,

则在D上至少存在一点©功使得

D

§9.2二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X—型区域：

D:将&网])，a<x<b.

丫一型区域：

D:i//\(x)<y<幺(x),c<y<d.

混合型区域：

设火X,y)>0,D={(x,j)|(p\(x)<y<(pi(,x),a<x<b}.

此时二重积分在几何上表示以曲面z=fix,y)为顶，以区域D为底的

D

曲顶柱体的体积.

对于XOG[a,h],曲顶柱体在x=xo的截面面积为以区间[夕1(次)，0(xo)]为底、以

曲线z^wy)为曲边的曲边梯形，所以这截面的面积为

A(Ab)=J?：)/(M，y)dy.

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为

V=/A(x)dxf(x,y)dy]dx.

JaJaJ。、(X)

即v=JJf(x,y)dy]dx.

可记为

JJf(x,时：：)f(x,y)dy.

D

类似地，如果区域。为y—型区域：

D:y/\(x)<y<四(x),c<y<d,

则有

JJ/(无，＞)珀=时:f(x,y)dx.

D

例1,计算JJ肛db,其中。是由直线y=l、x=2及尸x所围成的闭区域

D

解：画出区域D

解法1.可把。看成是X--型区域：1£区2,1斗白.于是

^xydcr=^\^xydy\dx=^[x-^dx=^^-x)dx=1[y-yl?=|.

注：积分还可以写成JJxydcr=j：dxJ：xydy=j-xdxj；ydy.

D

解法2.也可把。看成是y—型区域：1今夕,)，业2.于是

\\xydcy=^\fxydx\dy=^[y^^dy=^(2y-^)dy=[y2-^]2=1.

D

例2.计算J]Wl+x2-y2Q,其中。是由直线广1、4-1及尸犬所围成的闭区

D

域.

解画出区域D,可把。看成是X--型区域:-1仝41,在齐1.于是

3,.)

JJyJl+■—y2"(7=1汽(yJl+尤2-y2dy=-l£22

F(i+%-y)2j_](|xp-r)dx

D~3~

=—*T)U

也可。看成是y--型区域：-1＜好1,-1白勺.于是

JJyjl+.2_y2db=f]y“)j；J]+尢272dx

D

例3计算”孙db,其中。是由直线)=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域.

D

解积分区域可以表示为止。叶。2,

其中R:0<x<l,->[x<y<y[x;D2:1<X<4,2<y<y/x.于是

Wxyda^dx^xydy+^dx^xydy.

D

积分区域也可以表示为。：-14比2,VWy+2.于是

Wxyda^dy^xydx=£号啰2由,号£[y(y+2)2-y5必

D一

*+犷+2%/哼

讨论积分次序的选择.

例4求两个底圆半径都等于p的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解设这两个圆柱面的方程分别为

^■+y1=p-及x2+z2=/72.

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积然后再乘

以8就行了.

第一卦限部分是以D={(再训0<><>lR2-x2,0白"}为底，以Z=』R2-X2顶的曲顶柱

体.于是

V=8jj」R2-Wdo=81：公.”-'\lR2-x2dy=S^[\IR2-X2y]^R2~x2dx

D

=8.(/?2一%2)仁学尺3

二.利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域。的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被

积函数用极坐标变量夕、。表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计

算二重积分JJ/(x,y)dcr.

D

按二重积分的定义“/(x,y)db=lim工/(刍，如八6・

D，=1

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.

以从极点0出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D

分为〃个小闭区域，小闭区域的面积为：

△巧=寺（用+3）2•△可T衣,△4=寺（2月•△4

=如粤她2%“=侬侬％

其中心表示相邻两圆弧的半径的平均值.

在内取点（河，目），设其直角坐标为（鼻中）,

则有=p,cos6>.,%=瓦sin瓦.

于是罂2/&力心0=黑2/0co近石sin@语\pj\6j,

/=1z=l

即||f(x,y)d(y=jjf(pcos6,psin&)pclpcl0.

DD

若积分区域。可表示为

（p\（0）Wp^（p2（0）、a<0</3,

则0/(人0$仇外皿。)加246=j'dej：；)/(pcosapsine)p〃>.

讨论:如何确定积分限?

Jj/(pcos，,psin3)pdpd0=(⑻/(pcos。,psin&)pdp.

D

^f(pcosO,psin0)pdpd0-^7rd0^(/)a)f(pcos0,ps]n0)pdp.

D

例5.计算JJe-4卡人从其中。是由中心在原点、半径为。的圆周所围成的

D

闭区域.

解在极坐标系中，闭区域。可表示为

0<p<a,0<3<2TU.

于是jj^-A22dxdy=jje~p2pdpd0[^e~p2pdp\d0\-^e~p2^dO

DD

二；（1一产）广曲二万（~-%.

注：此处积分JJe*-Vdxdy也常写成jje^x2~y2dxdy.

Dx2+y2<>a2

利用。、办，=4（1-0一。2）计算广义积分J7—2dx:

x2+y2<a2

设。尸{（x,y）*+y2«R2,xNO,岸0},

。2={（Jc,y）|j~+/<2/?2,x>0,y>0},

S^{（x,y）\O<x<R,Q<y<R}.

显然》uSuC>2.由于6-4/〉0,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

JJe~xl-yldxdy<^e~x2~yldxdy<^e~x2~y2dxdy.

O]sD2

x2y221

因为jje~~dxdy=[:e*]:e-ydy=（1：dx）,

sk

又应用上面已得的结果有

^e~x2~y2dxdy=^（y~e~R2）,jje~x2~y2dxdy=^（l-e~2R2）,

。1。2

于是上面的不等式可写成?（1-6-改）<（,产出2<5（--2肥）.

令R-+OO,上式两端趋于同一极限孑，从而「二-七氏=率.

例6求球体xi+y1+z1<4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）

立体的体积.

解由对称性，立体体积为第一卦限部分的四倍.

V=4^4a2-x2-y2dxdy,

D

其中。为半圆周丁=屈，及X轴所围成的闭区域.

在极坐标系中。可表示为

Q<p<2acos0,0<^<y.

于是V=4,1媾-p2pdpd>=42曲［jo"/4«2_夕2Mp

D

斗2/（1—Sil?。）。喈。2（1_令.

§9.3三重积分

一、三重积分的概念

定义设/U,y,z)是空间有界闭区域。上的有界函数.将。任意分成〃个小闭区

域

Avi,AV2,…，Avn

其中△口表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个△山上任取一点(。,明。)，作

n

乘积人鼻。心能=1,2,…,〃)并作和(刍力石)八叱如果当各小闭区域的直径

/=1

中的最大值几趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数7U%z)在闭区域

Q上的三重积分，记作0J7(x,y,z)dv.即

Q

gf(x,y,z)Jv=•

三重积分中的有关术语：Jjj----积分号，fi,x,y,z)---被积函数，.*x,>,z)dv

Q

---被积表达式，小体积元素，x,y,z----积分变量，Q----积分区域.

在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Q,则△口=Ax,△yAz,,因

此也把体积元素记为小=公办班，三重积分记作

JJJf(x,y,z)dxdydz.

QQ

当函数f(x,y,z)在闭区域。上连续时，极限lim△外是存在的，

因此/U,%z)在。上的三重积分是存在的，以后也总假定式x,y,z)在闭区域。上是连

续的.

三重积分的性质：与二重积分类似.

比如

JJJ[q/(x，%Z)士c2g(X,y,z)]c/y=C|JJJf(x,y,z)c/v±c2jjjg(x,y,z)dv;

QQQ

y，Z0u=JJJ/(x，y，zWv+JJJf(x,y,z)dv,

居+。2%

JJJdv=V，其中V为区域。的体积.

c

二、三重积分的计算

1.利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算：三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域。可表为

zi(x,y)<z<Z2(x,y),yi(x)<y<y2(x),a<x<b,

则JJJ/(%'z)dv=JJ[J：；；f(x,y,z)dz]d(r

QD勺

—匿加取脑,

即Ifff(x,%Z)J"=吼：：：：)f。,y,z)dz.

其中。：yi(x)<好y2(x),a<x<b.它是闭区域。在xOy面上的投影区域.

提示：

设空间闭区域Q可表为

zi(x,y)<z<Z2(x,y),yi(x)<y<y2(x),a<x<b,

计算JJJf(x,y,z)dy.

c

基本思想：

对于平面区域0：yi(x)WySy2(x)，幼内任意一点(羽))，将人工,y,z)只看作z的函数,

在区间[zi(x,y),Z2(x,y)]上对z积分，得到一个二元函数F(x,y),

F(x,f{x,y,z)dz,

J4*,)，)

然后计算F(x,y)在闭区域。上的二重积分，这就完成了«r,y,z)在空间闭区域。上的

三重积分.

JJ尸(x,y)dcr=JJ[£；：；：/(x，%z)dz]dcr=(：同;/(x,y,z)dzHy,

则JJJ%z)小=JJ「：：：f(,x,y,z)dz]d<y

QDZ'X'y

=。可'y,z)dzYly

=力I"\"f(x,y,z)dz.

J.”(x)-Jzg，)八''

即JJJ/(羽一m=(时„]；：。(用y,z)dz.

Q'4，

其中。：yi(x)<y<y2(x),a<x<b.它是闭区域。在X。)，面上的投影区域.

例1计算三重积分JJJxdxdydz,其中。为三个坐标面及平面x+2.y+z=l所围成的

Q

闭区域.

解作图，区域。可表示为：

0<z<\-x-2y,0<y<-^(1-x),0<x<1.

于是JUxdxdydz=2"xdz

c

(\-x-2y)dy

讨论：其它类型区域呢？

有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定

积分.设空间闭区域。={(工,y,z)|(x,ci〈zWc2},其中。二是竖坐标为z的平面截

空间闭区域。所得到的一个平面闭区域，则有

JJJ/(x,y,z)dv=『dzJJf(x,y,z)dxdy.

C

Q'D2

例2计算三重积分JJJz2公dydz,其中。是由椭球面条+2+1=1所围成的空

间闭区域.

解空间区域。可表为:

元2y2之2

---y,一区zWc.

abC

于是JJCz2dxdydzz2dz^dxdy=如吐(\-^-')z2dz^-^7tabc,.

练习

1.将三重积分/nJjJ/'axzMxdydz化为三次积分，其中

Q

⑴Q是由曲面z=1-%2-y2,zH)所围成的闭区域.

(2)Q是双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域.

(3)其中。是由曲面z=f+2y2及z=2-%2所围成的闭区域.

2.将三重积分/=JJJ/(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式,

Q

其中。由曲面z=l-W-)2,z=0所围成的闭区域.

2.利用柱面坐标计算三重积分

设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影尸的极坐标为P(p,。),

则这样的三个数P、0、z就叫做点M的柱面坐标，这里规定「、0、z的变化范围

为：

0<p<+oo,0<0<271,-oo<z<+oo.

坐标面片。=。0,z=zo的意义：

点例的直角坐标与柱面坐标的关系：

x=pcosff

x=pcos&y=/7sinaz=z.<y=psin6

z=z

柱面坐标系中的体积元素:

简单来说,dxdy=pdpdO.dxdydz=dxdy-dz=pdpd0dz.

柱面坐标系中的三重积分：

JJJ于(x,y,z)dxdydz=JJJ/(pcos。,夕sinz)pdpdOdz.

QQ

例3利用柱面坐标计算三重积分0b小心由，其中。是由曲面z=/+)2与平面

C

z=4所围成的闭区域.

解闭区域。可表示为：

/r<z<4,0<p<2,O<0<27i.

于是JfJzdxdydz=jjjzpclpdOdz

QC

=/o呵。闺叽女=部网0加6”4期

=:・冽=.

2ou3

3.利用球面坐标计算三重积分

设M(x,y,z)为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数八(p、0来确

定，其中

r为原点。与点M间的距离，。为0M与z轴正向所夹的角，0为从正z轴来看自x

轴按逆时针方向转到有向线段防的角，这里P为点M在x0y面上的投影，这样的

三个数八(P、0叫做点M的球面坐标，这里八§、0的变化范围为

0<r<+oo,Q<(p<7r,0W2%.

坐标面r=m,(p=(po,外4的意义：

点M的直角坐标与球面坐标的关系：

x=rsin^cos^

x=rsin℃os"y=rsinQsin“z=rcos(p.<y=rsin°sin。

z=rcos(p

球面坐标系中的体积元素：dv^^mcpdrdcpdO.

球面坐标系中的三重积分：

JjJ/(x,y,z)dv=JjJ/(rsincpcos^,rsin^?sinO.rcos^)r2sin(pdrd(pdO.

QQ

例4求半径为。的球面与半顶角。为的内接锥面所围成的立体的体积.

解该立体所占区域C可表示为：

0《a2acos@0<(p<a,00/27r.

于是所求立体的体积为

V=^dxdydz=^r2s\n(pdrd(pdO

QQ

ea.「2acos/、

=2%])sin”/"J。r'-dr

(ps\n(pd(p=^^(1-cos，。).

提示：球面的方程为f+y2+(z-〃)2=Q2,即f+)2+z2=2分在球面坐标下此球面的方程

为4=2arcos(p,艮|Jr=2qcosp.

§9.4重积分的应用

元素法的推广：

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理.这种元素法也可推广到

二重积分的应用中.如果所要计算的某个量。对于闭区域。具有可加性(就是说,

当闭区域。分成许多小闭区域时，所求量。相应地分成许多部分量，且。等于部分

量之和)，并且在闭区域。内任取一个直径很小的闭区域时，相应的部分量可近

似地表示为/(x,y)db的形式，其中(x,y)在4。内，则称人九y)db为所求量U的元素,

记为dU,以它为被积表达式，在闭区域。上积分：

l/=jjf(x,y)da,

D

这就是所求量的积分表达式.

一、曲面的面积

设曲面S由方程给出,。为曲面S在X。)，面上的投影区域，函数外,y)

在D上具有连续偏导数赤(x,y)和fy(x,y).现求曲面的面积A.

在区域D内任取一点P(x,y),并在区域D内取一包含点P(x,y)的小闭区域da,

其面积也记为da.在曲面S上点M(x,y))处做曲面S的切平面T,再做以小区

域db的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面.将含于柱面内的小块切平面的

面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值，记为dA.又设切平面T的法向量与

z轴所成的角为九则

出『黑厂」"尔”丫)+后(%,

这就是曲面S的面积元素.

于是曲面S的面积为

A=JjJ1+—(x,y)+后(x,y)Ab,

或从吸醇膏”

设dA为曲面S上点M处的面积元素,dA在xOy面上的投影为小闭区域da,M

在xOy面上的投影为点P(x,y),因为曲面上点M处的法向量为1),所以

dA^n\da^Jl+£(x,y)+#(x,y)dcr.

提示:dA与面的夹角为(〃,人k),JAcos(n,Ak)=do,

n-k=\n\cos(n,AA)=l,cos(n,AA)=|〃「L

讨论：若曲面方程为x=g(y,z)或尸人(z,九)，则曲面的面积如何求?

A=jJl+（器+第叱,

'yz

或A=

其中是曲面在似无面上的投影区域，。二，是曲面在zOx面上的投影区域.

例1求半径为R的球的表面积.

解上半球面方程为z=7^匚巨于，/+丁%/在

因为z对x和对y的偏导数在D-.f+V4?2上无界，所以上半球面面积不能直接

求出.因此先求在区域。i：/+y2wa2（a<R）上的部分球面面积，然后取极限.

=2^（__麻2一层）.

于是上半球面面积为lim2成（7?-JR2一后）=2成2.

afR

整个球面面积为4=24=4成2.

提示：

T也=_「一）'h|»Z）2।（配）2一R

&J.2_x2_y2，Qy』R2_/_y2，\dxdyJ/?2一42一42

解球面的面积A为上半球面面积的两倍.

上半球面的方程为Z="?2—9一步,而

3z二-xdz=-y

J/?2-x2-y2，dy《R2_x2_y2

所以

=2ff/Rdxdy=2Rd0『1pdp

x2+y2<R2网--心-丫2

=-4成JR2_02；=4做2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为任36000km,运行的角

速度与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比

值（地球半径/?=6400km）.

解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星中心的连线为z轴，建立坐标系.

通讯卫星覆盖的曲面Z是上半球面被半顶角为a的圆锥面所截得的部分.Z的方

程为

2222222

z=A//?-x-y,x+y</?sina.

于是通讯卫星的覆盖面积为

A=^^dxdy.

-xL-yL

其中2尸｛（X,训＜+）七忌五历是曲面Z在xOy面上的投影区域.

利用极坐标，得

/Pdp=2版(T-cosa).

JoJoJ。7^7

由于COS6Z=品，代入上式得

A=2成2Q__^）=2冰2需_.

R+hR+h

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为

Ah36IO64<„/

4成22(/?+。)2(36+6.4).106

由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔;万

角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.

二、质心

设有一平面薄片，占有X。〉面上的闭区域。，在点P(x,y)处的面密度为

假定〃(x,y)在。上连续.现在要求该薄片的质心坐标.

在闭区域。上任取一点P(x,y),及包含点P(x,y)的一直径很小的闭区域其

面积也记为da),则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMx=yjLi(x,y)d(y,dMkx/Li(x,y)do\

平面薄片对X轴和对y轴的力矩分别为

%.=JJy)da,My=jjy)da.

DD

设平面薄片的质心坐标为(元y),平面薄片的质量为M则有

x-M=My,y-M=Mx.

于是

JJ>)dcrJJ.y〃(x，y)db

M

X=y-D__________y--D____________

MJJ"(x,y)db,Mjj〃(尤

DD

在闭区域。上任取包含点P(x,y)小的闭区域46其面积也记为db),则

平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为

dMx=y/j(x,y)d(j,dM、=x/j(x,y)d(j.

平面薄片对光轴和对y轴的力矩分别为

M

Mx=JJw(x，四3，y=JJx认x,y)da.

DD

设平面薄片的质心坐标为(元y),平面薄片的质量为M则有

x-M=My-M=Mx.

于是

JJy^x,y)dcy

亍=竺M2=4-----9=外MI)

MU〃(x,y)dcTM

DD

提示：将P®y）点处的面积元素db看成是包含点P的直径得小的闭区域.D上

任取一点P（x,y）,及包含的一直径很小的闭区域do（其面积也记为do）,则平面薄片

对x轴和对y轴的力矩（仅考虑大小）元素分别为

讨论：如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则平面薄片的质心（称为形心）

如何求？

求平面图形的形心公式为

\\xd（y“的

DD

例3求位于两圆片2sin6和片4sin6之间的均匀薄片的质心.

解因为闭区域。对称于y轴，所以质心C（元了）必位于y轴上，于是无=0.

因为JIp2sin3dpd0=『sina/ej：P2d夕=7万，

DD

jJt/cr=^-22-7T-12=3兀,

D

\\ydo

所以户七一=?=1所求形心是CQ*

IId（y加35

D

类似地，占有空间闭区域。、在点（x,y,z）处的密度为p（x,y,z）（假宽Ax,y,z）在Q

上连续）的物体的质心坐标是

.=看，fWX,N'Z)也尸抑卜P(x‘y,z)九zp(x,y,z)dv,

其中M=jjjp(x,y,z)dv.

Q

例4求均匀半球体的质心.

解取半球体的对称轴为Z轴，原点取在球心上，又设球半径为4,则半球体所

占空间闭区可表示为

Q={(x,y,z)|x1+y2+z2<a2,z>0}

显然，质心在z轴上，故亍=9=0.

\\\zpdv\\\zdV

_5a

7__jQ_j__j_-____Q7___小__8

CC

故质心为(0,0,当).

O

提示：Q:0<r<a,0<^<y,02兀

八=尸"。『。可》2s由幽，=^2^\n(pd(p^dd^r2dr

JJJ003

Qooo0

]兀2〃@]4

BW3姬町rcose•八sin淑r=—£2sin2^t/^^r'dr.

Q

三、转动惯量

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域。，在点P(%y)处的面密度为以左力

假定双九,y)在D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量.

在闭区域。上任取一点P(x,y),及包含点P(x,y)的一直径很小的闭区域d6其

面积也记为da),则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dlx-y1^^,y)dc,diMx,y)d<y.

整片平面薄片对于X轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

lx=JJy24(x,y)d<J,Iy=.

DD

例5求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量〃)对于其直径边的转动惯量.

解取坐标系如图，则薄片所占闭区域。可表示为

£)={(%,y)|x2+y2<a2,y>0}

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量L,

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/v=jj/jyd<y-psin0pdpd0

D