专题07二项分布与超几何分布（2个知识点4个拓展1个突破6种题型3个易错点）（原卷版）

专题07二项分布与超几何分布（2个知识点4个拓展1个突破6种题型3个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.n重伯努利试验与二项分布知识点2.超几何分布拓展1.伯努利试验与二项分布拓展2.二项分布和超几何分布拓展3.超几何分布拓展4.与二项分布、超几何分布有关的均值与方差突破：统计与超几何分布的综合问题【方法二】实例探索法题型1.n重伯努利试验题型2.二项分布题型3.二项分布的综合应用题型4.二项分布的均值与方差题型5.超几何分布的综合应用题型6.超几何分布的均值【方法三】差异对比法易错点1.对二项分布理解不透彻致误易错点2.对“至少”与“至多”理解不清楚致误易错点3.容易混淆二项分布和超几何分布【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.n重伯努利试验与二项分布一、n重伯努利试验及其特征1．n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立．二、二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．三、二项分布的均值与方差若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．例1．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试设有三门测试，三门测试相互独立，三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，若不通过，则不予录用.面试只有一次机会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为，面试通过的概率为.(1)求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；(2)已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.知识点2.超几何分布超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).例2．（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则.拓展1.伯努利试验与二项分布1．（2023·全国·模拟预测）2023年5月31日，习近平主席在学校考察时指出：“体育锻炼是增强少年儿童体质的最有效手段”．为提升学生身体素质，某班组织投篮比赛，比赛分为，两个项目．（i）选手在每个项目中投篮5次，每个项目中投中3次及以上为合格；（ii）第一个项目投完5次并且合格后可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；（iii）选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛．若选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是．(1)求选手甲参加项目合格的概率；(2)已知选手甲参加项目合格的概率为．比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？并说明理由．拓展2.二项分布和超几何分布2．（2023上·北京西城·高三北师大二附中校考期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.拓展3.超几何分布3．（2024上·北京西城·高三统考期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）拓展4.与二项分布、超几何分布有关的均值与方差4．（2024上·河南·高二校联考期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.(1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸；(2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.突破：统计与超几何分布的综合问题1．（2022上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线，某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示：(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到一级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望.【方法二】实例探索法题型1.n重伯努利试验1．单选题（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．题型2.二项分布2．多选题（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，且，则（

）A． B．C． D．题型3.二项分布的综合应用3．（2024·全国·模拟预测）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立．(1)当时，判断与10的大小，并说明理由；(2)当时，求X的概率分布列和数学期望；(3)记的概率为，求的表达式．题型4.二项分布的均值与方差4．填空题（2023下·广东肇庆·高二校考期末）设随机变量，，若，则，.题型5.超几何分布的综合应用5．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；题型6.超几何分布的均值6．多选题（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（

）A．服从二项分布 B．的值最小为1C． D．【方法三】差异对比法易错点1.对二项分布理解不透彻致误1．（2024·广东惠州·统考一模）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．(1)你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；(2)如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求X的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．易错点2.对“至少”与“至多”理解不清楚致误3．（2023·全国·模拟预测）课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次．(1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望；(2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．易错点3.容易混淆二项分布和超几何分布3．（2023·江苏苏州·校联考模拟预测）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）【方法四】成果评定法一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（

）A． B． C． D．2．（2020上·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币恰有一次正面向上的次数为，则的数学期望是（

）A． B． C． D．3．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为A． B． C． D．4．（2020上·浙江温州·高二瑞安中学校考期末）已知离散型随机变量服从二项分布且则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（

）A． B． C． D．6．（2023下·江西·高二校联考开学考试）我国古代典籍《艺经》中记载了一种名为“弹棋”的游戏：“弹棋，二人对局，先列棋相当.下呼，上击之.”其规则为：双方各执4子，摆放好后，轮流用己方棋子击打对方棋子，使己方棋子射入对方的圆洞中，先射完全部4子者获胜.现有甲、乙两人对弈，其中甲、乙击中的概率分别为、，甲执先手，则双方共击9次后游戏结束的概率是（

）A． B． C． D．7．（2023·高二课时练习）若，则取得最大值时，（

）A．4 B．5 C．6 D．5或68．（2021上·高二校考单元测试）盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（

）A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的二、多选题9．（2021上·辽宁·高二校联考阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为；右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝腺落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（

）A． B． C． D．10．（2022·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（

）．A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率，11．（2021·高二课时练习）某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数(例如10100)，其中的各位上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时(

)A．服从二项分布 B． C． D．12．（2023下·高二单元测试）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（

）A． B．时，C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小三、填空题13．（2021上·高二校考单元测试）若随机变量，则.14．（2023·上海黄浦·统考二模）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为．15．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为．16．（2024上·全国·高三专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为.若记取出3个球中黑球的个数为，则.四、解答题17．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.(1)应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：18．（2021上·山东潍坊·高三统考阶段练习）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了人用两种体温计进行体温检测，数据如下:序号智能体温计测温水银体温计测温序号智能体温计测温水银体温计测温0111021203130414051506160717081809191020（1）试估计用智能体温计测量该社区人“测温准确”的概率;（2）从该社区中任意抽查人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望.19．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）某地区共有200个村庄，根据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的（国内生产总值）（单位：万元）情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并绘成如图所示的茎叶图.(1)（i）分别求样本中非贫困村与贫困村的的平均值；（ii）利用样本平均值来估算该地区2018年度的的总值.(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设表示被调研的村中低于（i）中贫困村平均值的村的个数，求的分布列及数学期望.20．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收.假设拟购进的这批原料的合格率为，并用作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担.(1)若，即方案二中所需的检验费用为随机变量，求的分布列与期望；(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案?说明理由.21．（2023上·全国·高三专题练习）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，