2024届浙江省杭州市桐庐县分水高中数学高二年级上册期末联考试题含解析

2024届浙江省杭州市桐庐县分水高中数学高二上期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某种心脏手术成功率为0.9,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生

09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9,故我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术

成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：

812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()

A.0.9B.0.8

C.0.7D.0.6

2.已知a<b<c且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是

A.a1<b2<c2B.ab2<cb2

C.ac<beD.ab<ac

3.已知集合4={1,a,b},B={a2,a,ab},若A=B,则/21+52020=()

A.-lB.O

C.lD.2

4.已知{%}为等差数列，d为公差，若成等比数列，%=6且2。0,则数列一^|的前几项和为()

〔44+1J

n-2n-1

4（〃一1）4〃

c4（几+1）D.-----------

4（〃+2）

5.直线x的倾斜角为

6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线f=4y

的焦点为F,一条平行于y轴的光线从点M(L2)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点3射出,

则经点3反射后的反射光线必过点()

A.(-l,2)B.(-2,4)

C.(-3,6)D.(T,8)

7.在直三棱柱ABC—中，ZBCA=90°,M,N分别是A4，AG的中点，BC=AC=CCl=l,则AN与

5M所成角的余弦值为()

A±B逝

102

2J30

C.-

510

8.如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中阴影部分的面积,先产生两组区间[0,e]

上的随机数和%2，%3，,“Xiooo和％，为，%，“woo,因此得到1000个点对(专%)0=1，2,3,•,1000),再统计出落在

该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为()

加

A.0.70B.1.04

C.1.86D.1.92

9.已知点P是抛物线C：V=8x上的动点，过点P作圆M:(x—2)2+丁=1的切线，切点为Q,贝!的最小值

为()

A.lB.V2

C.逝D.|

10.直线y=Ax+1与曲线/(x)=alnx+Z?相切于点尸(1,2),则2a+b=0

A.4B.3

C.2D」

11.若抛物线)2=4"上一点P到x轴的距离为2g,则点尸到抛物线的焦点厂的距离为()

A.4B.5

C.6D.7

12.若a>0,b>09且ln(2a)+lnb2/+/一］,贝!|〃+匕二()

A.叵B.6

「3人口5G

lx・-----1J•

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设正项等比数列｛q｝的公比为心前〃项和为S,,,若"=3,贝1)4=.

7T

14.若“Vxe0,—,tanxV机”是真命题，则实数加的最小值为___________.

_4_

15.已知锐角一ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且cos2A—GsinA+2=0.若b+c=6#>，则

—ABC外接圆面积的最小值为

16.莱昂哈德•欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线.后

来人们称这条直线为该三角形的欧拉线.已知.ABC的三个顶点坐标分别是(-1,0),(3,0),(0,2),贝!LABC的垂

心坐标为，—ABC的欧拉线方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/■(x)=J+sinx,aeR,e为自然对数的底数.

e

(1)当a=l时，证明，8,0］,/(x)>l；

(2)若函数7'(x)在，g。］上存在极值点，求实数。的取值范围.

18.(12分)已知圆C经过点A(0,3),5(2,5),且圆心C在直线2x+y—7=0上

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点夕(4,6)向圆C引两条切线尸。，PE,切点分别为O,E,求切线如，PE的方程，并求弦OE的长

19.(12分)已知一ABC的三个顶点的坐标分别为4(0,1),5(1,4),C(6,3)

(1)求边AC上的中线所在直线方程；

(2)求ABC的面积

20.(12分)已知直线/：kx+y+k+l=Q,圆C：(%-1)2+/=4.

(1)当左=1时，试判断直线/与圆C的位置关系，并说明理由；

(2)若直线/被圆C截得的弦长恰好为2若，求左的值.

23

21.(12分)甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为一,一，求：

34

(1)甲、乙恰好有一人击中的概率；

(2)目标被击中的概率

22.(10分)已知椭圆E:—+>2=1的左焦点为p，上顶点为3,直线月产与椭圆的另一个交点为A

2

(1)求点A的坐标；

(2)过点歹且斜率为左的直线/与椭圆交于C,。两点(均与A,8不重合)，过点口与x轴垂直的直线分别交直线

AC,BD于息M,N,证明：点”，N关于》轴对称

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.

【题目详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心脏手术全部成功”的有:

812,832,569,683,271,989,537,925,故8个，

Q

故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为元=0.8.

故选：B.

2、C

【解题分析】Va+b+c=0S.a<b<cf

/.tz<0,c>0

:.ac<be

选C

3、A

【解题分析】根据4=5,可得两集合元素全部相等，分别求得片=1和g=1两种情况下，电石的取值，分析讨论，

即可得答案.

【题目详解】因为4=8,

若/=1,解得a=±1,

当。=1时，不满足互异性，舍去，

当。=-1时，A=[1,-1,b},B={1,-1,-b],因为4=3,

所以b=—〃，解得力=0,

所以4⑼+廿必:一1；

若而=1,则6=1，

a

1,

所以A={La,—},3={a2,a/},

a

若a=/,解得。=0或1,都不满足题意，舍去，

若工=/，解得。=1,不满足互异性，舍去，

a

故选：A

【题目点拨】本题考查两集合相等的概念，在集合相等问题中由一个条件求出参数后需进行代入检验，检验是否满足

互异性、题设条件等，属基础题.

4、C

【解题分析】先利用已知条件得至（IQ=（%—2d）（%+d），解出公差，得到{%}通项公式，再代入数列

,」一|,利用裂项相消法求和即可.

[44+1J

【题目详解】因为4,。2，。4成等比数列，«3=6,故%2=%%，即—d）=（%—2d）（%+d）,

故（6—d『=（6—2d）（6+d）,解得d=2或〃=0（舍去），

故%=ai+{n-3）d=6+2（”-3）=2〃，

11111fl1}-

即/\X/\X，故《＞的前几项和为：

anan+i2nx2（n+l）4n（zz+l）4n+1J44+1J

n

n4LU2八23jUn+lJJ41n+lj4（〃+1）,

故选：c.

【题目点拨】方法点睛：数列求和的方法：

(1)倒序相加法：如果一个数列伍“｝的前”项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列

的前"项和即可以用倒序相加法

(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前"

项和即可以用错位相减法来求；

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；

(4)分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转

换法分别求和再相加减；

(5)并项求和法：一个数列的前几项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如4=(-1)"/(")类型，可采用

两项合并求解.

5、B

【解题分析】分析出直线X=耳与X轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.

7T7T

【题目详解】由题意可知，直线X=—与X轴垂直，该直线的倾斜角为一.

32

故选：B.

【题目点拨】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题

6、D

【解题分析】求出A、/坐标可得直线A尸的方程，与抛物线方程联立求出3,根据选项可得答案，

【题目详解】把x=l代入必=4'得丁=:,所以F(O,1)

1-13

所以直线A尸的方程为14即y=——X+1,

y-1=———x-4

0-1

[31/

y=——x+1fy=4/、

与抛物线方程联立-4解得__4,所以6(T,4),

2

X=4y1％

因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确，

故选：D

【解题分析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN

与3”所成角的余弦值.

【题目详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，

.-.A(1,O,O),5(0,1,0),M

:.AN=1,O,1LBM=

11,3

—x—|-1

:.COS(AN,BM'.BM22_4_

i~r-V6-10

-+-+i-----x-----

4422

所以AN与所成角的余弦值为叵.

10

故选：D

8、D

【解题分析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.

【题目详解】易知5正=02,

S阴260260,13,

根据几何概型的概率公式，得詈=三指，所以5阴=^^e2=^e2土L92.

»正1UUU100050

故选：D.

9、C

【解题分析】分析可知圆M的圆心为抛物线C的焦点，可求出卢加|的最小值，再利用勾股定理可求得|PQ|的最小值.

【题目详解】设点P的坐标为(加,〃)，有“2=所，

由圆M的圆心坐标为(2,0),是抛物线C的焦点坐标，有1PMi=加+222,

由圆的几何性质可得PQ^QM,

又由|PQ|=yl\PMf-\QMf=JPM|2-1>6―1=6,可得|P0的最小值为6

故选：C.

10、A

【解题分析】直线y=Ax+l与曲线/(x)=alnx+人相切于点p(l,2),可得左=1力=2,求得/(%)的导数，可得a=1,

即可求得答案.

【题目详解】直线y=Ax+l与曲线/(x)=alnx+人相切于点P(l,2)

将P(l,2)代入y=Ax+l可得:k+1=2

解得:％=1

/(%)=6/lnx+Z>

广⑶=巴

X

由尸(1)=；=1,解得:a=L

可得/(%)=lnx+b,

根据P(l,2)在〃x)=lnx+b上

/(l)=lnl+Z?=2,解得:匕=2

故2a+b=2+2=4.

故选:A.

【题目点拨】本题考查了根据切点求参数问题，解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法，考查了分析能力和计算能

力,属于中档题.

11、A

【解题分析】根据抛物线V=4x上一点P到x轴的距离为2若，得到点P(3,±2若)，然后利用抛物线的定义求解.

【题目详解】由题意，知抛物线V=4x的准线方程为x=-l,

:•抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2币,

则P(3,±2百)，

•:点尸到抛物线的准线的距离为3+1=4,

•:点P到抛物线的焦点F的距离为4.

故选：A.

12、A

【解题分析】由于对数函数的存在，故需要对ln(2a)+ln人进行放缩，结合尤-L.In%(需证明)，可放缩为

2ab-l..a2+b2-l,利用等号成立可求出。力，进而得解.

【题目详解】令g(x)=x—Inx—1,g，(x)=1—工，故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增，g(x)..g⑴=0,

x

故g(x)=;t-lnx—1..0,即x—L」nx,当且仅当x=l,等号成立.所以2aZ?—l...ln(2a〃)=ln(2a)+ln〃，当且仅

当2。/?=1时，等号成立，又ln(2a)+lnk.a2+/—l,所以2。6—1../+/一1,即(a-此,。，所以a=b，又2ab=1,

所以a=弓，b=与,故a+b=&

故选:A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、72

【解题分析】由*=3可知公比所以直接利用等比数列前〃项和公式化简，即可求出夕

【题目详解】解：因为引=3,所以

一(1一/)

所以:一晨二3,所以1-/=3(1_/),化简得/=2,

%(i—q)

i-q

因为等比数列｛。”｝的各项为正数，所以^>0,

所以g=V2,

故答案为：0

【题目点拨】此题考查等比数列前”项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题

14、1

7t71

【解题分析】若“Vxe0,-,tanx〈根”是真命题，则冽大于或等于函数y=tan尤在0,-的最大值

44

冗71

因为函数『an］在0,-上为增函数，所以，函数ktanx在0,7上的最大值为1.

所以，m>l,即实数机的最小值为1.

所以答案应填:1.

考点：1、命题；2、正切函数的性质.

15、9TI

【解题分析】利用二倍角公式求出sinA,即可得到A,再利用余弦定理及基本不等式求出。的取值范围，再利用正

弦定理求出外接圆的半径R,即可求出外接圆的面积；

【题目详解】解：因为cos2A-6sinA+2=0，所以-Zsin?A-gsinA+3=0，解得sinA=或sinA=-6

7T

(舍去).又ABC为锐角三角形，所以A=§.因为

a2=b2+c2-2/JCCOSA=b2+c'—be=(b+c)2—3bc>=T1>当且仅当6=。=36时等号成立，所以

«>3A/3,45。外接圆的半径尺=」一=®23,故ABC外接圆面积的最小值为9万

2sinA3

故答案为：9兀

16、①［o,|J##(O,L5)②.5x+4y—6=0

【解题分析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.

【题目详解】由4一1,0),3(3,0),。(0,2),可知AB边上的高所在的直线为％=0,

7—003

又即0=籍=-］，因此边上的高所在的直线的斜率为彳，

0—332

3

所以8C边上的高所在的直线为：j-O=|(x+l),即3x—2y+3=0,

x=0(3

所以、ccc=><3,所以ABC的垂心坐标为。，；

3x—2y+3=0y=—I2

、2

「1+3+00+0+2]_12斗

由重心坐标公式可得_ABC的重心坐标为

3

尸弓T-0

所以A5C的欧拉线方程为：*=—，化简得5x+4y—6=0.

故答案为：I。，?；5x+4y-6=0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析：(2)(0,1)

【解题分析】(1)代入a=1,求导分析函数单调性，再的最小值即可证明.

⑵(X)=-^+cosX,若函数/(X)在［,o］上存在两个极值点，则(X)=T+COSX在

f'f'，。上有根.再分

x

e<2Je

aW0,0<a<l与，利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可.

1-1

【题目详解】⑴证明：当。=1时,/(x)==+sinx,则尸(x)=-+cosx,

ee7

当xe(—oo,0］时,0<"<1,则=<一1,又因为cosxWl,

e

,—1

所以当xe(—oo,0］时,/''(x)=-r+cosx<0,仅x=0时,/'(x)=0,

e

所以fM在(-«),0］上是单调递减，所以/(x)../(0)=1，即/(x)>1.

⑵f(x)=d+cosx,因为尤e1/o)，所以cosx>0,eX>0,

①当aW0时,/'(x)>0恒成立，所以/(X)在1号01上单调递增,没有极值点.

②当a〉0时,/''(x)=于+cosx在区间上单调递增，

因为尸［―=一①><°，/(°)=一。+L

当心1时,T4,OJC(O)=-a+lWO

所以fM在［go］上单调递减,没有极值点.

当0<”1时,r(0)=—。+1>0,所以存在Xojgo］使/⑷=0

当xe/］时,f(x)<0,xe(如0)时，尸(%)>0

所以fM在x=x0处取得极小值,无。为极小值点.

综上可知,若函数”无)在上存在极值点，则实数ae(0,1).

【题目点拨】本题主要考查了利用导函数求解函数的单调性与最值，进而证明不等式的方法.同时也考查了利用导数分析

函数极值点的问题,需要结合零点存在定理求解.属于难题.

18、(1)(x-2)~+(y-3)2=4

(2)x=4或5x—12y+52=0,阿卜与野

【解题分析】(1)设圆心。(。力)，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；

(2)分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长

即可.

【小问1详解】

设圆心。(。力)，因为圆心C在直线2x+y—7=0上，

所以2。+/?-7=0①

因为A,3是圆上的两点，所以|C4|=|CB|,所以

^a2+(b-3)2=y/(a-2)2+(b-5)2，即。+3-5=0②

联立①②，解得a=2,b=3

所以圆C的半径升=|AC|=2,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4

【小问2详解】

若过点尸的切线斜率不存在，则切线方程为x=4

若过点尸的切线斜率存在，设为则切线方程为丁-6=左卜-4),

即A%―y_4左+6=0

卜2女+35

由।]——匕2,解得％=二，所以切线方程为5x—12y+52=0

VF7T12

综上，过点P的圆C的切线方程为x=4或5x-12y+52=0

设PC与OE交于点尸,

因为户。=而，CDLPD,PC垂直平分OE,

所以|PC|W=|CD「，所以他="=4^/13

13

所以忸同=2^|CD|2-|CF|2

19、(1)x+y—5=0

(2)8

【解题分析】(D先求得AC的中点，由此求得边AC上的中线所在直线方程.

(2)结合点到直线距离公式求得ABC的面积.

【小问1详解】

AC的中点为(3,2),

所以边AC上的中线所在直线方程为2二=="+丁-5=0.

4-21-3

【小问2详解】

直线A5的方程为y-1=(九一0),丁=3%+1,3%—丁+1=0,

1—0

|18-3+1|16

C到直线A3的距离为

V10710

|AB|=VI2+32=y/io,

所以SABC=；X^^X-^K=8.

2VW

4

20、(1)相离，理由见解析；(2)0或--

3

【解题分析】(1)求出圆心到直线的距离和半径比较即可判断；

(2)求出圆心到直线的距离，利用弦长计算即可得出.

【题目详解】(1)圆C：(%—丁+俨=4的圆心为(1,0),半径为2,

当左=1时，线/：x+y+2=0,

则圆心到直线的距离为।」=———>2,

直线/与圆C相离；

|24+1|

（2）圆心到直线的距离为d=,

弦长为26，则2G=214—经苴，解得左=0或—二.

VF+13

【解题分析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案;

（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.

【小问1详解】