2024届新高考数学一轮复习配套练习 函数与方程

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题3.8函数与方程

练基础

1.(2021•浙江高一期末)方程e'+3x—4=0(其中e=2.71828)的根所在的区间为()

2.(2021・湖北黄冈市•黄冈中学高三其他模拟)若函数/。)=/+办一£在区间(-1,1)上有两个不同

的零点，则实数。的取值范围是()

22

A.(-2,-)B.(0,-)C.(2,+oo)D.(0,2)

33

,、/、2/\f/(x)+2-fcc,x>0

3.(2021.江西高三其他模拟(理))已知函数”x)=(x+l)--3,若函数g(x)={,

仅有1个零点，则实数&的取值范围为()

A.(F,2]B.(-oo,l]C.(-oo,4]D.(f]

4.(2021•全国高三其他模拟)已知/(x)=ad+Z?x+l,有下列四个命题：

Pi：x是/(x)的零点；

p2-x=2是/(x)的零点；

0：/(x)的两个零点之和为1

%/(X)有两个异号零点

若只有一个假命题，则该命题是()

A.P]B.p2C.p3D.P4

5.(2021•山东烟台市•高三二模)已知函数/(X)是定义在区间(O,T8)上的偶函数,且当

210<x<21

+X2

xe(0,+oo)时，/(%)=,则方程/(x)8-=2根的个数为()

/(x-2)-l,x>2

A.3B.4C.5D.6

6.【多选题】(2021•湖北荆州市•荆州中学高三其他模拟)在下列区间中，函数/(x)=e'-4x-3一定存在

零点的区间为（）

A.（-1'万）B.（―＜?,3）C.（。,万］D.（t-）

7.【多选题】（2021•辽宁高三月考）已知定义域为R的函数/（X）满足/（X-1）是奇函数，/（X+1）为偶函

数，当-IWxWl,/（x）=%2,则（）

A./（X）是偶函数B./（X）的图象关于x=l对称

C.〃力=0在［—2,2］上有3个实数根D./（5）＞/（4）

8.（2020•全国高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为.

9.（湖南高考真题）若函数f（x）=|2工-21-b有两个零点，则实数b的取值范围是__.

10.（2020•全国高三专题练习）设函数y=x3与的图象的交点为a。，阿，若其6（",n+1）,n£N,

则M）所在的区间是.

练提升

产+2x|,x＜0

（文））已知函数〃x）=h

1.（202卜河南高三月考若关于X的方程/（x）=a（x+3）有四

一，x〉0

1X

个不同的实根，则实数。的取值范围是（）

A.f-oo,4-2^jB.（4+2百,+oo）

C.[0,4-2冋D.（0,4-273）

冋41

2.（2021・临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知实数a,b满足若方程2x?—x—l+a-/?=（）

的两个实根分别为％,则不等-1＜玉＜0＜々＜1成立的概率是（）

3313

A.-B.—C.-D.一

81624

3.（2021•浙江杭州市•杭十四中高三其他模拟）已知二次函数=f+依+b（aS£R）有两个不同的零

点，若/（丁+2x7）=。有四个不同的根不丫小匕，且公冗2，不，%成等差数列，则。-力不可能是（）

A.0B.1C.2D.3

4.(2021•浙江湖州市•高三二模)“关于元的方程=—/矶优£/?)有解”的一个必要不充分条件是

()

A.mG[-2,2]B.机£[一0,0]C.me[-1,1]D.me[l,2]

e'-l,jre[0,l)

5.(2021•辽宁高三月考)已知/(X)的定义域为［0,+8),且满足/(力=若

2/(x-l),xe[l,+oo)

g(x)=/(x)-〃，则g(x)在［0,10］内的零点个数为()

A.8B.9C.10D.11

6.(2021•浙江高三其他模拟)设》是常数，若函数/(x)=(x-l乂加-2%+"不可能有两个零点，贝IJ6

的取值情况不可能为()

A.。＞1或。＜-1B.0＜。＜1

C.ID.-1

7.(2021•江西抚州市♦高三其他模拟(文))若函数兀v)满足/(x)+!=।c、，当x@［0,2］时，

2f(x+2)

/(x)=x.若在区间(-2,2］内g(x)=/(x)—2mx—/有两个零点则实数机的取值范围是()

A.(卄如岭B.-卦(0,|［C.1訳)D.卜及

8.［多选题】(2021•全国高三其他模拟)已知函数/(X)是R上的奇函数，且满足〃X+4)+/(力=/(2),

当XG(O,2)时,/(x)>0.则下列四个命题中正确的是()

A.函数/(%-2)为奇函数

B.函数/'(x+2)为偶函数

C.函数“X)的周期为8

D.函数/(x)在区间［-4,4］上有4个零点

9.(2021•晋中市新一双语学校高三其他模拟(文))规定记号“△”表示一种运算，即

a/\b=(a2-l)(b2-2b),a,beR,若后>0,函数/(x)=(日)Ar的图象关于直线x=g对称，则々=

10.(2021•上海格致中学高三三模)已知函数y=/(x)的定义域是。+8),满足

2x0<x<1

f(x)=<x2-4x+514%<3,?且/(工+4)=/(幻+。，若存在实数A,使函数g(x)=〃x)+%在区间

—2x+83Wx<4

[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为一

练真题

ex,%<0,

1.(2018•全国高考真题(理))已知函数/'(x)=g(x)=f(x)+%+Q.若g(x)存在2

In%/x>0/

个零点，则a的取值范围是

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

函数"上生篇：:2,若小㈣卜3,则。=

2.(2021年浙江省高考数学试题)已知awR

3.(安徽高考真题)在平面直角坐标系中，若直线J=2a与函数J=x-a一】的图像只有一个交点，

则4的值为.

4.(2018•浙江高考真题)已知ACR,函数/'(*)=[2”14广2"当4=2时，不等式/1(x)〈0的解集

是.若函数Ax)恰有2个零点，则4的取值范围是.

5.(2018•天津高考真题(理))已知a>0,函数f(x)=卜？+2ax+a>久<°，若关于x的方程/(x)=ax

1-xz+2ax-2a,x>0.

恰有2个互异的实数解，贝b的取值范围是.

6.(2019•江苏高考真题)设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4,g(X)的周期

A：(x+2),0<x<l

2

为2,且/(X)是奇函数.当xe(0,2]时，y(x)=^l-(x-l),g(x)=«1其中Z〉0.

,1<X£厶

[2

若在区间(0,9]上，关于x的方程/(x)=g(x)有8个不同的实数根，则人的取值范围是____.

专题3.8函数与方程

练基础

1.(2021•浙江高一期末)方程e'+3x-4=0(其中e=2.71828)的根所在的区间为()

【答案】B

【解析】

由函数y=/(x)的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间.

【详解】

函数/(x)=，+3x—4在R上为增函数，

由错)=厶+|-4=&-|<2-|<0,f(1)=e-l>0,f(1)冶)<0

结合函数零点存在定理可得方程的解在(1,1)内.

故选：B.

2.(2021・湖北黄冈市•黄冈中学高三其他模拟)若函数/(X)=X2+G；—5在区间(-1,1)上有两个不同

的零点，则实数。的取值范围是()

A.(—2,—)B.(0,：)C.(2,+oo)D.(0,2)

【答案】B

【解析】

根据二次函数的性质，结合题意列出不等式组，即可求得答案.

【详解】

因为/(x)为开口向上的抛物线，且对称轴为》=-0,在区间(一1,1)上有两个不同的零点,

2

a八

/(-1)>0\-a--->0

2

/⑴>0

a八

/\1+a——>02

所以｛y_£<o.即，2,解得0<。<一，

223

f-4矿。八

-1<-—<1、2丿------------<0

22

-2-2<a<2

2

所以实数。的取值范围是(0,；).

故选：B

/(x)+2-Ax,x>0

3.(2021.江西高三其他模拟(理))已知函数/(x)=(x+l)2—3,若函数g(x)=«

—f(—九)—2-kx^x<0

仅有1个零点，则实数攵的取值范围为()

A.F,2]B.(-8,1]c.(-00,4]D.(F,e]

【答案】A

【解析】

令〃(x)=<故g(x)=O=g)=—然后作出函数图像，求出函数在(。,砲))处

的切线的斜率可得答案

【详解】

f(x]+2,x>0/、/、/、

令〃(x)=<_',故g(x)=0n〃(x)="，作出函数〃(x)的大致图像如图所示，观察可

一j1一X丿一，,尤<U

知，临界状态为直线y=履与曲线y=可力在(0,A(0))处的切线,

当xNO时，h(x)=(x+l)2-l=x2+2x,则/z'(x)=2x+2,所以切线的斜率为％=2,

所以AW2,

故选：A.

4.(2021•全国高三其他模拟)已知/(x)=a?+笈+1,有下列四个命题:

Pi：x=g是/(x)的零点；

P2：尤=2是/（x）的零点；

“3：/（X）的两个零点之和为1

小：“X）有两个异号零点

若只有一个假命题，则该命题是（）

A.AB.p2C.p3D.p&

【答案】A

【解析】

首先假设Pl，P2是真命题，则〃3，P4均为假命题，不合题意，故Pl，P2中必有一个假命题.然后分情况

讨论P1是假命题和P2是假命题的两种情况，推出合理或者矛盾.

【详解】

由题意，若P1,P2是真命题，则小，P4均为假命题，不合题意，故Pl，P2中必有一个假命题.

若P1是假命题，P2,P3是真命题，则/（X）的另一个零点为尤=一1，此时为真命题，符合题意；

若P2是假命题，Pl，P3是真命题，则/（X）的另一个零点为X=J，此时P4为假命题，不符合题意.

故选:A.

5.（2021.山东烟台市.高三二模）已知函数“X）是定义在区间（F,0）1（O,M）上的偶函数，且当

0<x<2

xe(0,+oo)时，/(x)=«则方程+=2根的个数为（)

x>28

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

将问题转化为/（x）与y=2-会的交点个数，由解析式画出在（（）,+8）上的图象，再结合偶函数的对称性即

可知定义域上的交点个数.

【详解】

）r2

要求方程〃x+丄V=2根的个数,即为求/"）与y=2-1•的交点个数,

8

由题设知，在(。,+8)上的图象如下图示,

.•.在(-?,0)上也有3个交点，故一共有6个交点.

故选：D.

6.【多选题】(2021•湖北荆州市•荆州中学高三其他模拟)在下列区间中，函数/(x)=e'-4x-3一定存在

零点的区间为()

A.1I'g)B.(一e,3)C.D.卜丄丄)

【答案】ABD

【解析】

本题首先可通过求导得出函数/(x)在(ln4,+x>)上是增函数、在(f,ln4)上是减函数以及/(ln4)<0,

然后通过函数/(x)的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果.

【详解】

/(x)=eJ-4x-3,r(x)=e*_4,

当r(x)>0时,x>ln4,函数“尤)在(In4,+o。)上是增函数;

当/'(x)<0时，x<ln4,函数在(f,ln4)上是减函数，

/(ln4)=eln4-41n4-3=l-41n4<0,

A项：/(-1)=^'+4-3=-+1>0,/[g)=e5_4x；_3=&-5<0,

<0,所以函数〃x）在‘1,；

因为内存在零点,A正确;

B项：/（一6）="'+46-3>0,/（3）=？-12-3=e3-15>0,

因为-e<In4<3，/（ln4）<0,所以函数在（一e,3）内存在零点，B正确;

C项：/（0）=e°-3=-2<0,〃0卜噌）>0,

因为g<ln4,所以函数/（x）在（0,；）内不存在零点，C错误；

D项:/（-1）>0,/］卜一：3<0,/（-l）x/^<0,

则函数在内存在零点，D正确，

故选：ABD.

7.【多选题】（2021•辽宁高三月考）已知定义域为R的函数/（X）满足/（X-1）是奇函数，/（X+1）为偶函

数，当-IWxWl,/（x）=%2,则（）

A./（X）是偶函数B./（X）的图象关于x=l对称

C.〃%）=0在［-2,2］上有3个实数根D./（5）>/（4）

【答案】BC

【解析】

由/（X+1）为偶函数，得到/（X）的图象关于％=1对称，可判定B正确；由—是奇函数，得到函数

/（X）关于点（T0）对称，得到/（耳=一/（27）和/（》+4）=-/（力，根据题意，求得

/（5）=一1,〃4）=0,可判定D不正确；由/（3）=一/（一3），可判定A不正确；由/（-2）=/（2）=/（0）=0,

可判定C正确.

【详解】

根据题意，可得函数/（X）的定义域为R,

由函数/（x+1）为偶函数，可得函数“X）的图象关于x=l对称,

即/(x)=/(2-x)，所以B正确；

由函数/(x-l)是奇函数，可得函数/(x)的图象关于点(TO)对称，

即“X)=_/(_2-力，可得/(x+4)=-/(x),

则，(x+8)=—/(x+4)=/(x),即函数f(x)是以8为周期的周期函数，

当—IWxWl时，/(x)=d,可得〃5)=-/⑴=一1,/(4)=〃0)=0,

即/(5)</(4),所以D不正确；

由函数/1(X)是以8为周期的周期函数，可得/(—3)=/(-3+8)=/(5)=—/(1)=一1,

因为/(x)=/(2-x),令x=3,可得〃3)=)(2-3)=汽-1)=1,

所以/(3)=一/(一3),所以函数/(x)一定不是偶函数，所以A不正确；

当一IWxWl时，/(力=/，所以/(0)=0,

由/(力=一〃2-力，可得"2)=0,又由〃—2)=〃2)=0,所以C正确.

故选：BC.

8.(2020•全国高三专题练习)函数f(x)=(x-2)2-lnx的零点个数为.

【答案】2

【解析】

令/(x)=0,得到(x-2>=lnx,将等号左右两边看成两个函数，在同一坐标系下画出图像，找到它们

的交点个数，即得到/(x)的零点个数.

【详解】

函数/(6=(%-2)2-111了的定义域为(0,+8),

画岀两个函数y=(x-2『，y=lnx的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2.

故答案为2.

9.（湖南高考真题）若函数/（x）=|2*-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是.

【答案】0<b<2

【解析】

画出）=|二一』的图像，和如图，要有两个交点，那么1二I

10.（2020.全国高三专题练习）设函数y=x3与y=（!：L2的图象的交点为a。，为），若回6（〃，n+1）,nGN,

则回所在的区间是.

【答案】（1,2）

【解析】

设f（X）=x3-（；）,则XO是函数./（X）的零点，根据图象，结合零点存在定理，可得X0的所在区间.

【详解】

（1、%-2

设式》）=戸一则X0是函数貝X）的零点,在同一坐标系下画出函数丁=戸与y=—的图象如图所

不・

=7>0,所以火1沢2)<0,

所以尤06(1,2).

练提升

产+2.q,x<o

1.(2021♦河南高三月考(文))已知函数〃x)=<若关于X的方程〃x)=a(x+3)有四

-,x>0

5

个不同的实根，则实数。的取值范围是()

A.卜8,4-2百)B.(4+2百,+oo)

C.［。,4-2冋D.(0,4-2@

【答案】D

【解析】

画出函数图象，题目等价于y=a(x+3)与y=〃x)有四个不同的交点，数形结合可得a>0且直线

〉=。(％+3)与曲线｝；=一/一2%，XG(-2,0),有两个不同的公共点，满足d+(2+a)x+3a=0在

(-2,0)内有两个不等实根即可.

【详解】

画出“X)的函数图象，

设y=a(x+3),该直线恒过点(一3,0),

结合函数图象，可知若方程/(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,

则。＞0且直线y=a(x+3)与曲线＞=一%2一2x,XG(-2,0),有两个不同的公共点,

所以f+(2+a)x+3a=0在(-2,0)内有两个不等实根,

A=(2+a)2-12fl>0

.2+。八

-2<--------<0

-^g(x)=x2+(2+£z)x+3tz,实数。满足<2

g(0)=3a>0

g(-2)=a>0

解得0＜a＜4—26，又。＞0,

所以实数。的取值范围是(0,4-26).

故选：D.

\a<1

2.(2021.临川一中实验学校高三其他模拟(文))已知实数。，2满足《若方程2x?—x-l+a-6=0

、|y

的两个实根分别为X，々，则不等-1＜玉＜0＜工2＜1成立的概率是()

3313

A.-B.—C.-D.一

81624

【答案】A

【解析】

7(-l)=2+l-l+a-/?＞0

若方程两个实根分别为x，々且—1＜西＜0＜工2＜1可得＜f(0)=-l+a-b＜0

/⑴=2—l—l+a-b＞0

[a\＜]

再根据〈，I,得到可行域，利用几何概型即可得解.

b\＜1

【详解】

/(-l)=2+l-l+a-/?＞0

设/(x)=2f+力，贝।卜/(0)=-l+a-/?＜0,

/⑴=2-1-1+4-匕＞0

\a\＜1

即0＜。一人＜1,设北，对应区域面积为R,

坪1

满足0＜a—力＜1对应区域面积为邑，

22

则由图可知E=2x2=4,S2=-(2-l)=-,所以「=券="

z21725,8

故选：A

3.(2021•浙江杭州市•杭十四中高三其他模拟)已知二次函数/(力=%2+依+》(。/€/?)有两个不同的零

点，若/(x2+2x-1)=0有四个不同的根西＜/＜七＜5，且玉，龙2,七,无4成等差数列，则a-b不可能是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

设/(%)=£+侬+。(。,。€火)的两个不同零点为〃?‘〃,且心”，根据韦达定理,可得加+“，加”的表

达式，根据/(*+2%—1)=0有四个不同的根玉〈工2＜刍＜匕，可得以％2+2%一1=机对应的根为王,甚，

/+2%一1=〃对应的根为々，七，根据韦达定理，可得玉+龙4，%匕，々+七，工2与表达式，根据题意，

计算化简，可得〃?，〃的关系，代入。-力，根据二次函数的性质，即可得答案.

【详解】

设/(%)=%2+公+0(a，。eR)的两个不同零点为必且心“，

m+n=-a

所以/O)=/5)=。，A=6Z2-4Z?＞0，且〈，

mn=b

又因为丁卜2+2万-1)=0有四个不同的根玉＜々＜七＜%，

所以％2+2%-1=722对应的根为元］,14，X24-2x—1=〃对应的根为工2，％3，

△=4+4（1+加）＞0△=4+4（1+〃）＞0

所以,玉+冗4=-2＜4+七=—2

XjX4=-1-/27x2x3=一1_〃

22

所以（工4_5）2=X4+Xj-2X4X）=（x4+玉）2—4%4阳=4+4（1+机）,

X-2

同理（九3—九2）2=3+/22X3X2=（X3+X2）-4%3%2=4+4（1+71）,

因为公马，工3，七成等差数列，

2

所以z一%=3(X3-X2),则(七一%)2=9(X3-X2)

所以4+4(1+加)=9［4+4(1+切，解得帆=16+9〃，

因为,心〃，所以〃2=16+9〃＞〃，解得〃＞一2,

所以。一6=—(，〃+〃)一加〃=-(16+10〃)一(16+9〃)〃=-9〃2-26〃-16=-9(〃+装［,

1325

所以当〃二一，时，Q—力有最大值，，

99

所以〃-。不可能为3.

故选：D

4.(2021•浙江湖州市•高三二模)“关于x的方程71-X2=k一冋(mG/?)有解''的一个必要不充分条件是

()

A.m€[-2,2]B.夜]C.me[-1,1]D.me[1,2]

【答案】A

【解析】

数形结合，探讨出“关于》的方程Jj=？=|x-有解”的充要条件，再由必要不充分条件的意义

即可得解.

【详解】

关于x的方程Ji二巨=上一时(meR)有解，

等价于函数y=J二巨与y=|x—时的图象有公共点，

函数y=J1一、的图象是以原点为圆心,

1为半径的上半圆，丫=岳〃?|的图象是以点(加，0)为端点，

斜率为±1且在x轴上方的两条射线，如图：

y=x-nz与半圆),=J1-/相切时,点、(m,0)在8处，

m=-V2>)=-x+〃?与半圆),=，1一》2相切时,点0)在A处，机=0，

当产上词的图象的顶点(m0)在线段A8上移动时，两个函数图象均有公共点，

所以“关于x的方程y/l-x2=|x-m|(/7?eR)有解”的充要条件是me[-,B不正确;

因e=>租e[―2,2],me[—2,2]me|^—A/2,\/2J,

即加G[-2,2]是mw[-V2,V2]的必要不充分条件，A正确;

，"€[-1,1]=机€[_正,0],me[—a，&][me[-1,1],

即1,1]是me[—的充分不必要条件，C不正确；

，“加4一a,&],me[-夜me[1,2],

即加w卩,2]是加e[-V2,V2]的不充分不必要条件，C不正确.

故选：A.

e'-l,jre[0,l)

5.(2021.辽宁高三月考)已知“X)的定义域为[0,+8),且满足〃x)=若

2/(x-l),xe[l,+oo)

g(x)=/(x)-〃，则g(x)在[0,10]内的零点个数为()

A.8B.9c.ioD.11

【答案】B

【解析】

求出函数/(x)在区间[〃,〃+1乂04〃49,〃6叫值域及单调性，由此可得岀结论.

【详解】

当xw[0,l)时，/(x)=ev-le[0,e-l),

当XG[1,2)时,X-1G[0,1),则/(x)=2/(x-l)e[0,2e-2),

当xe[2,3)时，x-2e[0,l),则==4/(%-2闫04—4),

以此类推，当工€[“,〃+1)(0口49,〃€2时，/(6=2"/(%-〃)=[0,2"(6-1)),

且函数/(x)在区间N)上为增函数，

e-\<7v<2e-2,所以，函数g(x)在区间[厶〃+l)(l«〃49,〃wN)上有且只有一个零点，且

g(10)=〃10)f=2""(0)-/<0,

因此，g(x)在[0,10]内的零点个数为9.

故选：B.

6.(2021.浙江高三其他模拟)设b是常数，若函数〃x)=(x-1乂加-2x+b)不可能有两个零点，则6

的取值情况不可能为()

A.b>l或b<-lB.0<b<l

C.1D.-1

【答案】D

【解析】

4/(X)=(X-1)(^2-2X+^)=0,易知x=l是y=/(x)的一个零点.

只需讨论法2一2%+)=0的情况：分为6=0和厚0分类讨论.

在厚0时，根据判别式讨论根的情况即可.

【详解】

令/(了)=(大-1乂笈2—2%+8)=。,即％—1=0或区2-2X+A=O.

显然x=l是y=/(x)的一个零点.

下面讨论区2-2x+2=0的根的情况：

(1)b=0时，x=0.不符合题意.

⑵厚0时,△=22-4〃

①若/<0时，有〃>1或b<—1,此时"2一2%+8=0没有实数根，符合题意；

②若A=0时，有。=1或匕=一1,

若0=1，%2-2x+l=0的根为x=l，所以〃x)=(x-1乂涼—2x+冲有一个零点，符合题意；

若6=-1,Y+2X+I=O的根为x=-l,所以/(x)=(xT(加-2x+b)有两个零点，不符合题意；

③若△>()时，有0<。<1或-1<。<0,此时陵2一2彳+8=0有实数根，要使函数

/(力=(%-1乂加一2%+为不可能有两个零点，只需％=1不是以2—2x+6=o的根，所以。一2+。彳0,

即。H1,符合题意；

故选：D

7.(2021•江西抚州市•高三其他模拟(文))若函数兀0满足/(》)+!=’丿c、，当XG［0,2］时，

2f(x+2)

f(x)=x.若在区间(一2,2］内g(x)=/(x)—2mx—%有两个零点则实数机的取值范围是()

A.(卄如峙B.(f-卦传］C.(~，|)D.(-i|

【答案】A

【解析】

----------,-2<x<0

由题设可得/(x)='x+22，由(-2,2］内g(x)有两个零点，可知(一2,2］内y=m(2x+l)与

x,0<x<2

有两个交点，应用数形结合并利用导数判断存在两个交点时m的范围即可.

【详解】

由题意，若XG(—2,0),则x+2e(0,2),则/(x+2)=x+2,

丄」__丄

二xe(—2,0)时,f(x)=——

/U+2)2x+22

1_丄

,—2<x<0

/(x)=〈x+22

x,0<x<2

在(-2,2］内g(x)=/(x)-2〃优一根有两个零点，即(一2,2］内y=m(2x+l)与f(x)有两个交点,且

...机=0时，显然图象只有一个交点，即g(x)仅有一个零点，

2

机>0时，在/*)右半支上，当y=/〃(2x+l)过(2,2)时〃?=?,要使(一2,2］上图象有两个交点，则

2

0<m<—,

5

当机<0时，在/(x)左半支上，当y=机(2x+l)与f{x)相切时只有一个交点，此时f\x)=一(二)2=2m,

1.2m「

得x=i------2,贝!]y=I--------3m,

\J-2myj-2m

J不一：=—7丝=-3〃z,整理得旭(4一3二而2=-丄，可得加=—丄，

2yj—2m.22

...要使(-2,2］上图象有两个交点，则M<一一.

2

故选:A

8.【多选题】(2021•全国高三其他模拟)已知函数/(x)是R上的奇函数,且满足/(x+4)+/(x)=〃2),

当xe(O,2)时，/(x)>0.则下列四个命题中正确的是()

A.函数2)为奇函数

B.函数/(x+2)为偶函数

C.函数“X)的周期为8

D.函数F(x)在区间［-4,4］上有4个零点

【答案】BC

【解析】

先利用条件中的等式得到/(-2)=0,再利用函数的奇偶性得到/(2)=0,然后结合条件中的等式逐个对

选项进行分析判断即可.

【详解】

令x=—2,得/(2)+/(—2)=/(2),故"—2)=0,又/(x)是R上的奇函数，所以/(2)=0,所以

〃x+4)+/(x)=0,所以/(x+8)+/(x+4)=0,所以/(x+8)=〃x),所以函数/(X)的周期为8,

选项C正确.

因为〃x+4)+/(x)=0,所以〃x+4)=-/(x),又是R上的奇函数，所以

/(x+4)=-/(x)=/(-x),即〃x+4)=/'(-%),故/(x+2)=/(-x+2),所以函数/(x)的图象

关于直线x=2对称，所以/(%+2)为偶函数，选项B正确.

/(X)是R上的奇函数，则7(0)=0,又/⑵=0,且当尤«0,2)时，“x)>0,所以当xe［0,2］时,

/(x)=0只有2个根.又函数/(X)的图象关于直线x=2对称,所以当xe［2,4］时，只有/(2)=/(4)=0,

故当xe(O,4］时，/(x)=0只有2个根，由对称性知，当xe［y0)时，/(x)=0只有2个根，所以函

数/(x)在区间［T4］上有5个零点，故选项D错误

若函数/(%-2)为奇函数，则"T-2)=-/(%—2),令x=3,则/(—5)=-/⑴，又/(一5)=〃3),

所以43)=-〃1).又函数/(力的图象关于直线x=2对称，所以〃3)=/(1),故/⑴=0,与当

xe(O,2)时，/(x)>0矛盾，故选项A错误.

故选：BC.

9.(2021•晋中市新一双语学校高三其他模拟(文))规定记号“△”表示一种运算，即

a^h=(a2-l)(h2-2b),a,b^R,若Q0,函数〃力=(依)以的图象关于直线x=g对称，则左=

【答案】1

【解析】

根据新运算的定义，得到函数解析式为“X)=("一1)("+l)x(x-2),再根据函数图象关于直线X=g对

称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.

【详解】

由题意可得:/(X)=(AX)2\X=(^2X2-1)(X2-2X)=(AX-1)(AX+1)X(X-2),k>Q,

则函数/(%)=("一1)("+l)x(x-2)有四个零点，从大到小依次是一丄，0,2，

KK

因为函数“X)的图象关于直线x=g对称，

所以1—J,。］与(2,0)关于直线x对称，与(0,0)关于直线x=J对称，

\k丿212丿2

0+丄=1,

k

所以，解得％=1.

故答案为：1.

10.(2021•上海格致中学高三三模)已知函数y=/(x)的定义域是。+8),满足

2x0<x<1

f(x)=<x2-4x+514%<3,?且/(》+4)=/(幻+。，若存在实数A,使函数g(x)=/(x)+%在区间

—2x+83Wx<4

［0,2021］上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为一

【答案】(-----,----)

505504

【解析】

方程g(x)=.f(x)+Z在XG［0,2021］上恰有2021个零点，等价于存在荘R,使f(x)=-k在xe［0,2021］上

恰有2021个交点，作岀函数/(x)的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在(1,2)之

间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围.

【详解】

由函数在xe［0,4)上的解析式作出如图所示图像，

由/(x+4)=/*)+〃知，函数f(x)是以4为周期，且每个周期上下平移同个单位的一个函数，

若使xw［0,2021］时，存在％wR,方程g(x)=/U)+%在Xe［0,2021］上恰有2021个零点,等价于f(x)=-k

在2021］上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即-左e(1,2)时满足条件，

且必须每个周期内均应使-左处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，

则当。20时，需使最后一个完整周期［2016,2020)中的极小值/(2()18)<2,

即)(2018)=/(2)+504a=l+5()4a<2,解得“<丄，即.6［。，丄)

504504

当。<0时，需使最后一个极大值/(2021)>1,

即7(2()21)=/(l)+5()5a=2+5()5a>l,解得a>--—,即ae(--—,0),

综上所述，ae(--------,------)

505504

故答案为:(一寂而)

练真题

ex,x<0,

1.(2018•全国高考真题(理))己知函数f(x)=9(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2

Inx,x>0,

个零点，则a的取值范围是

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】C

【解析】

画出函数f(x)的图像，丫=靖在y轴右侧的去掉，

再画出直线y=-x,之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点,

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点,

即方程=-X-a有两个解,

也就是函数g(x)有两个零点,

此时满足—a<1,即a>—1>故选C.

x2-4,x>2

2.(2021年浙江省高考数学试题)已知aeR,函数/(x)=若/=则”

|X-3|+<7,X<2,

【答案】2

【解析】

由题意结合函数的解析式得到关于”的方程，解方程可得”的值.

【详解】

/[/(6)]="6—4)=/(2)=|2—3|+4=3,故〃=2,

故答案为：2.

3.(安徽高考真题)在平面直角坐标系中，若直线j=2。与函数j二Y-a-1的图像只有一个交点，

则a