2024年电大经济数学基础复习题全解析

微分学部分综合练习

一、单项选择题

J日勺定义域是(

1.函数y7T

lg(x+l)

A.x>—1B.%。。C.x>0

D.x>-l且xwO

分析;求定义域得关键是记住求定义域日勺三条原则！

Jg(x+1)“°,答案选D,作业四的第一小题此类型要会做。

2.下列各函数对中，()中日勺两个函数相等.

2_]

A.f(X)=(C)2,g(%)=%B./(x)=---,g(x)=%+1

x-1

C.y-ynx2,g(x)—21nxD./(x)=sin2x+cos2x,

g(x)=1

分析：解答本题日勺关键是要注意先看定义域，后看对应关系，只有定义域相似

时，才能化简后再看对应关系。只有两者都相似，两个函数猜是相似日勺函数。

3.设/。)=工，则/(/(%))=().

X

A.-B—C.x

XX

D.x2

、解：因为/■()=Jj,所以，/(/(x))=；=X

X

4.下列函数中为奇函数日勺是().

A.y-x2-xB.y=：ex+e~xC.y=In------

'x+1

D.y-xsinx

分析：注意运用奇偶函数的运算性质（见讲课笔记），然后运用排除法知，答案

是C.

5.已知/Xx）=—^-1,当（）时，/（幻为无穷小量.

tan犬

A.%—>0B.x-1C.xf—oo

D.x-+oo

分析：lim/（x）=lim（———1）=0,故选A.考试当然可以改成

.°…tanx

/（%）=皿—1,本题波及到了重要极限1.

X

6.当xf+8时，下列变量为无穷小量的是（）

2__L

A.B.ln（l+x）C.e/

x+1

Dsinx

x

分析：lim皿=lim!sinx=0,由“无穷小量与有界变量的乘积，成果是

+00JQ+00JQ

无穷小量”这一性质得出成果，答案选D.

sinx

---,九wO

7.函数y（x）=<在X=0处持续，则k==（。8）.

k,x=0

A.-2B.-1C.1

D.2

8.曲线丁=以

在点（0,1）处的切线斜率为（).

J%+1

AB

-4l2、(x+l)3

2"1月

分析：本题考导数日勺几何意义，导数是曲线切线的斜率，求切线的斜率就是

求导数.

9.曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为().

A.y=xB.y=2xC.y=—xD.

2

y=-x

分析：yr=cosx,/(O)=cos0=l,y-0=l(x-0),故y=x

记住点斜式直线方程：y-%=左(%-/),其中的％=/'(%)是斜率，作业一有着类题

要会做。

10.设y=lg2x,则dy=().

.1,"In10」

A.——dxB.-------drC.------ax

2xxlnlOx

D.-dx

X

IL下列函数在指定区间(-00,+00)上单调增长日勺是().

A.sinxB.exC.x

D.3—x

12.设需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2)，则需求弹性为曷=

).

D__1ZA/Z

4P

二、填空题

1.函数，(x)=5—x<0时定义域是8*.

x2-l,0<x<2

分析：分段函数的定义域就是把连段x日勺取值并起来。

2.函数/(x)=ln(x+5)—J—的)定义域是。。。.

Y2-x

八」-fx+5>0[x>-5一山、、.…/、

分析：｛二二>函数定义域(-5.2)

2-x>0[%<2

3.若函数/(x+1)=/+2x—5，则f(x)=.

解：令％+1=厕%=/-1,

^^f(t)=(t-V)2+2(t-l)-5=t2-2t+l+2t-2-5=r-6,^(x)=x2-6

本题是重点考题类型。

]OX]f)T

4.设/(x)JU，则函数的图形有关对称.

分析:要懂得奇偶函数日勺图像特性(见讲课笔记)，本题是偶函数。

x+sinx

5.1im

x—><x>%

分析：lim匕吧=lim(l-理)=1-0=1注意与作业题的区别

X—>00%X—>co尤

「%+sinx

lim----------=lim(l-^^)=1-1=0

XfOY

Xf°X

6.已知/(x)=1-二三，当时，f(x)为无穷小量.

X

分析:同前单项选择题5

7.曲线y=4在点(1,1)处的切线斜率是“

分析：求斜率就是求导数

8.函数y=3（x-1）2的驻点是.

分析:导数为零日勺点称函数的驻点，令y=6（%-i）=o,解得驻点x=1

9.需求量4对价格〃日勺函数为4（°）=100><屋之则需求弹性为々=噌.

解：Ep=/（p）g=100xe4（-；）一

q（P）2100x12

三、计算题（通过如下各题的计算要纯熟掌握导数基本公式及复合函数求导法则!

这是考试的10分类型题)

1.已知y=2，—2,求V(x).2.已知/(x)=2*sinx+lnx,

X

求尸(九).

3.已知y=cos2X-sinx2,求y'(x).4.已知y=•x+e%,求y(x).

5.已知y=52赳，求吗)；6.设〉=广出+小后,

求dy

7.^.y-esinx+cos5x,求dy.8.设y-tanx3+2~x,

求dy.

四、应用题（如下的应用题必须纯熟掌握!这是考试的20分类型题）

1.设生产某种产品无个单位时日勺成本函数为:C（x）=100+0.25/+6x（万元）,

求：（1）当％=10时的I总成本、平均成本和边际成本；

（2）当产量x为多少时，平均成本最小？

2.某厂生产一批产品，其固定成本为2023元，每生产一吨产品的成本为60元,

对这种产品的）市场需求规律为q=1000-10。（4为需求量,p为价格）.试求:

（1）成本函数，收入函数;（2）产量为多少吨时利润最大?

3.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C（q）=20+4q+0.01/（元），单

位销售价格为“=14—O.Olq（元/件），试求:

（1）产量为多少时可使利润抵达最大?（2）最大利润是多少?

4.某厂每天生产某种产品4件的I成本函数为C（q）=O.542+364+98OO（元）.为使平

均成本最低，每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?

2

5.已知某厂生产4件产品的成本为C9）=250+20q+*（万元）.问:要使平均

成本至少，应生产多少件产品?最低日勺平均成本是多少?

参照解答

一、单项选择题

l.D2.D3.C4.C5.A6.D7.C8.A

9.A10.B11.B12.B

二、填空题

1.[-5,2)2.(-5,2)3.x2-64.y轴

5.16.x->07.川)=0.58.x=l

三、计算题

<叼，/、excosx.c-xsinx-cosxxsinx+cosx

1.解：/(%)=(2%--------)x'=21n2---------------------=21n2+----------------

XXX

2.解/\x)=2XIn2-sinx+2Xcosx+—

x

3.解yr(x)=-sin2x(2xY-cosx2(x2)r=-2xsin2xln2-2xcosx2

4In2Y

4.解：yf(x)=3In2x(lnx)f+e-5x(-5x)'=-~--5e^x

X

5.解：由于y'=(52c°sxy=52cosxin5(2cosx)'=—2sinx52c°sxin5

,71

,_,,,TTTT2COS—

因此V(1)=-2sin].521n5=_2in5

31

6.解油于V=2ecos2x(-sin2x)+|x2因此

3_

dy=[2ecos2x(-sm2x)+-x2]dx

7.解:由于y'=e^^Csinx)"+5cos4x(cosx)r=esmxcosx-5cos4xsinx

因止匕dy=(esmxcos九一5cos4xsinx)dx

i3y2

8.解:由于y'=-X)，=-―-2-x1n2

COSXCOSX

3%2

x

因止匕dy=(3-2-ln2)dx

COS'X

四、应用题

1.解(1)由于总成本、平均成本和边际成本分别为：

C(x)=100+0.25/+6xC(%)=—+0.25x+6,

x

C'(x)=0.5x+6

因此，0(10)=100+0.25x1()2+6x10=185

C(10)=—+0.25x10+6=18.5,0(10)=0.5x10+6=11

(2)令6(x)=-"+0.25=0,得x=20(x=-20舍去)

X

由于x=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值,因此当

x=20时，平均成本最小.

2.解(1)成本函数C(q)=604+2023.

由于q=1000—10夕，即/?=100—木4，

因止匕收入函数R(q)=pxq=(100-^j<7)<7=100<7-^^2.

(2)利润函数〃q)=H(q)—C(“)=100“—一(60q+2023)=4

02023

且Z/(q)=(40q-2q?—2023)'=40—0.2q

令Z/(q)=0,即40—0.24=0,得4=200,它是〃q)在其定义域内的

唯一驻点.

因此,4=200是利润函数L(q)日勺最大值点，即当产量为200吨时利润最

大.

3.解(1)由已知R=如=式14—0.014)=144—0.01/

利润函数L=R—C=14“一0.01/-20-4^-0.01/=10"-20-0.02/

则Z/=10—0.04q,令L'=10—0.04q=0,解出唯一驻点q=250.

由于利润函数存在着最大值，因此当产量为250件时可使利润抵达最大，

(2)最大利润为

£(250)=10x250-20-0.02x2502=2500-20-1250=1230(元)

4.解由于C(q)="q)=0.54+36+98°0(q>0)

qq

3⑷=(。*+36+暨2),=。.5-坐

qq-

令^(qXO,即0.5—驾)=0,得％=140,%=一140(舍去).

q

%=140是心①)在其定义域内日勺唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

因此勿=140是平均成本函数&q)日勺最小值点，即为使平均成本最低，每天

——o«nn

产量应为140件.此时的平均成本为0(140)=0.5x140+36+而~=176(元/

件)

5.解(1)由于C(^)=^^=—+20+—，C'(q)=(—+20+—),

qq10q10

_2501

——-o-+--

q210

令⑷=0,即—铲+>o,得价=50,%=-50(舍去),

/=50是")在其定义域内的唯一驻点.

因此,/=50是&q)日勺最小值点，即要使平均成本至少，应生产50件产品.

(2)C(50)=—+20+—=30(元/件)

5010

积分学部分综合练习题

一、单项选择题

L下列等式不成立的是().对的答案：A

A.e'dx=d(e%)

B.-sinxdx=d(cosv)。

C.一dVxD.Inxdx=d(—)

分析；解答本题的关键是记住几类常见日勺凑微分（见讲课笔记）

X

2.若=-e万+c,贝!J/'(九)=(）.对的答案:D

X[%1--1」

A.-e5B.—e万C.-e2D.--e2

244

X"(x)=.犷

解：/(x)=(-e2+c)'=-e「"）=m

注意:重要考察原函数和二阶导数，但考试关键是要懂得f（x）怎么求，即f（X）的

不定积分是f（X）日勺全体原函数，如下面的第4题。

3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.对的答案:C

A.jcos(2x+l)dxB.jxJl-Jdx

X

C.Jxsin2xdxDj---------7dAx

1+x

££

4.若j/(x)e*d_x=-eA+c,则f(x)=(）.对的答案：C

A.-B.--

Xx

1

7

1II1111

解：f(x)ex=(-ex+c)r=-e%(——-)=—ex;f(x)=-

XXX

5.若方（x）是/（x）日勺一种原函数，则下列等式成立的是（）.对的答案：B

A.f/(x)dx=F(x)B.f/(x)dx=F(x)-F(a)

JaJa

,b

c-jF(x)dx=/(Z>)-/(A)D.ff'(x)dx=F(b)-F(a)

JaJaC

6.下列定积分中积分值为0的是（）.对的答案：A

1e—%-eie+eA

A.------drB.''clx

-12-i2

C.I(x3+cosx)dxD.f(x2+sinx)dx

J-71J-71

7.下列定积分计算对的的是（）.对的答案:D

f16

A.j2xdx=2B.J]dx=15

_三

,冗

C.1/sinx|dx=0D.sinjdx=0

~2—7V

分析：以上两题重要考察“奇函数在对称区间的定积分知为o"，这一点要

记住!

8.下列无穷积分中收敛的是（）.对的答案:C

「+824-00p4-001

A.fInxdxB.[e'dxC.[—dx

z

JiJoJix

D.r二

J|VI

解:G+oo41dx=-1-+00=1,故无穷积分收敛

J1XX1

9.无穷限积分「"二口=（）.对的答案:C

J1X

A.0B.--C.-D.oo

22

冷刀产-2+°0

角牛：-1rd4x=_—1x=----1--=—1

J1/22/12

二、填空题

l.d%.口=.应当填写：尸2dx

注意：重要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分

后求导（微分），还是先求导（微分）后积分。本题是先积分后微分，别忘了dx.

2.函数/（x）=sin2x日勺原函数是.应当填写：

--cos2x+c

2

r1

角星:sin2xdx=——cos2x+C

J2

3.若广(X)存在且持续，则[j4(x)r=.应当填写:

广(X)

注意：本题是先微分再积分最终在求导。

4.若■(尤)(比=(尤+1)2+C,则/(X)=.应当填写：2(x+1)

5.若j/(x)dx=F(x)+c,则JeT/(ef)dx=.应当填写：

-F(e-x)+c

注意:J/()d()=F()+C,凑微分I公=-de-"

6.—[eln(x2+l)dx=__________.应当填写：0

dxJi

注意:定积分日勺成果是“数值”，而常数日勺导数为0

7.积分「，J，、2改=一4应当填写：0

J-1(必+I)2

注意：奇函数在对称区间日勺定积分为0

8.无穷积分厂.应当填写：收敛时

J。(x+1)2

解:Eni，故无穷积分收敛。

J。(x+1)2x+10

三、计算题(如下的I计算题要纯熟掌握!这是考试的10分类型题)

j—~=J(x-2)dr=^x2-2x+c

4.计算卜sin^dx解：

jxsinxdx=-xcosx+jcosxdx=-xcosx+sinx+c

5.计算J(%+l)lmxk

解：j(x+l)lnxdr=-(%+1产=;(x+1)21nx_g=

^■(x+1)2Inx-^j(x+11Y2

2+—)dx=—(x+l)2Inx---x-lnx+C=

1-

一(x2+2x)lnx-----x+c

24

£1I12।

6.计算解：£^ydx=-J^e^dC—)=-ex=e-e^

i

e21

7.1f.dx

J1xvl+lnx

解：「Jdx='/1d(l+Inx)=2jl+In=2(73-1)

J1xVl+lnx"Vl+lnx11

71

8.「xcos2Mlx解:pxcos2xdx二Lsin2x2--J万sin2出

Jo

71

_1c5_1

——cos2x-——

4o2

9.feln(%+l)dx

J0

解:J。ln(x+l)dx=^〃n(x+DoJ。—dx=xln(x+l)0J°——

人1J.41J.

e1J(1)dx—e—1—[x—ln(x+1)]|0一

。％+1

lne=l

注意：纯熟解答以上各题要注意如下两点

(1)常见凑微分类型一定要记住

dx=-d(kx±C),xdx=—dx2,exdx=dexdx=-d—dx=2dG,

k2xx«x

—dx=dlnx,sinxdx=-dcosx,cosxdx=dsinx

x

hb/»h

(2)分部积分：fuvdx=[udv=uv-f，常考有三种类型要清晰。

JaJaaJa

四'应用题(如下的应用题必须纯熟掌握!这是考试的20分类型题)

1.投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(x)=2x+40(万元

/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，

可使平均成本抵达最低.

解：当产量由4百台增至6百台时，总成本日勺增量为

AC=+40)dx=(x2+40x)|^=100(万元)

C(x)=「C(x)dx+c=f'(2t+40)ck+36=x2+40x+36,

J0J00

C(x)=x+40+型，令C'(x)=1—七=—~=0，即x?=36,

x厂x

解得x=6.x=6是惟一的I驻点，而该问题确实存在使平均成本抵达

最小日勺值。因此产量为6百台时可使平均成本抵达最小.

2.已知某产品的边际成本C'(x)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R(x)=12-0.

02羽问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润

将会发生什么变化？

解：由于边际利润L'(x)=R(x)—C(无)=12-0.02%-210-0.02%

令Z/(x)=O,得x=500;x=500是惟一驻点，而该问题确实存在

最大值.

因此，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增长至550件时，利润变化量为

1*550°|550_.、

2

AL=(10-0.02x)ck=(10x-O.Olx)|5oo=500-525=-25(兀)

即利润将减少25元.

3.生产某产品日勺边际成本为C'(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100-2x(万

元/百台)，其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时日勺产量再生产

2百台，利润有什么变化？

解：L'(x)=R(x)-C'(x)=(100-2x)-8x=100-10%

令Z/(x)=O,得％=10(百台);又％=10是L(x州唯一驻点，该问题确实存在最

大值，

故x=10是乙(x)日勺最大值点，即当产量为10(百台)时，利润最大.

又△L=j：〃(x)dx=［：(100—10无)dx=(100x—=—20

即从利润最大时日勺产量再生产2百台，利润将减少20万元.。

4.已知某产品的边际成本为C(q)=4q-3(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成

本为18(万元)，求最低平均成本.

解：由于总成本函数为C(q)=「4q-3)由=2/-3q+c

当夕=0时，C(0)=18,得c=18；即C(q)=2q2-3^+18

又平均成本函数为A(q)=g"=2q-3+”

qq

令4(q)=2-鸟=0,解得q=3(百台)，该题确实存在使平均成本最

q

低日勺产量.

因此当q=3时，平均成本最低.最底平均成本为A(3)=2x3-3+y=9

(万元/百台)

5.设生产某产品日勺总成本函数为C(x)=3+x(万元)，其中x为产量，单位:百

吨.销售x吨时日勺边际收入为R(x)=15-2%(万元/百吨),求:⑴利润最大时

的产量；

(2)在利润最大时日勺产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

解：(1)由于边际成本为C(x)=l,边际利润Z/(x)=R(x)—。(无)=14—2

X

令〃(x)=0,得x=7；由该题实际意义可知，x=7为利润函数

L(x)日勺极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2)当产量由7百吨增长至8百吨时，利润变化量为AL=，(14-2X)&=(14X-X2)[=

—1(万元)

即利润将减少1万元.

线性代数部分综合练习题

一、单项选择题

1.设A为3x2矩阵,5为2x3矩阵,则下列运算中()可以进行.

对的答案：A

A.ABB./加C.A+BD.B

分析:左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，乘法才故意义。

2.设A,3为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）对的答案：B

A.(AB)T=ATBT(AB)T=5TAT

C.（田）-1=川面尸(AfiT)T=

注意:转置矩阵、逆矩阵的性质要记住

3.如下结论或等式对日勺日勺是（）.对时答案：C

A.若A,3均为零矩阵，则有A=5B.^AB=AC,且AwO,则5=C

C.对角矩阵是对称矩阵D.若A/0,5/0,则ABwO

4.设A是可逆矩阵，且A+AB=/,则.对的答案：C

A.BB.1+BC.I+BD.(I-ABY1

注意：由于A(I+B)=I,因此A1=I+B

5.设A=(l2),5=(-13),/是单位矩阵，则A4—/=().

对的答案:D

120-3

6.设A=00-13,则4A)=().对的答案：C

24-1-3

A.4B.3C.2D.1

120-3120-31[120-3

解：00-1300-13-00-13故秩(A)=2

24-1-300-130000

7.设线性方程组AX=匕的增广矩阵通过初等行变换化为

13126

0-1314

,则此线性方程组日勺一般解中自由未知量的个数为

0002-1

00000

()对的答案:A

A.1B.2C.3D.4

分析：自由未知量日勺个数=n(未知量个数)一秩(A)=4-3=1,

考试要直接会用眼看出来。

8.线性方程组+0=1解的状况是().对的答案:A

再+%2=0

A.无解B.只有0解C.有唯一解D.有无穷多

解

解r(A)=l#r④=2,故无解。

11UUU-1

注意:化成阶梯型矩阵后，最终一行出现矛盾方程“0=K”就无解。

9.设线性方程组=6有无穷多解的充足必要条件是().

对的答案:D

A.r(A)=r(A)<mB.r(A)<nC.m<nD.r(A)=r(A)<n

注意：线性方程组解得状况鉴定定理在理解日勺基础上要背下来。

10.设线性方程组AX=A有唯一解,则对应的齐次方程组AX=O().

A.无解B.有非零解C.只有零解D.解

不能确定

对时答案：C

注意:AX=b有唯一解，阐明

(4)=厂(4)=〃,故改成人*=0时，r(4)=",所以，只有唯一零解。

但要注意:若AX=O只有唯一零解，而人*=1?也许无解(或说解不确定)

二、填空题

1.若矩阵A=[-12],B=[2-31],则,应当填写：

-23-f

4-62

J-23-11

解：2-31=

2JL」[4M2

2.设A,3均为〃阶矩阵，则等式(A-5)2=4一2AB+1成立日勺充足必要条件

是,应当填写：人,3是可互换矩阵或人1}=15人

~102_

3.设人=tzO3,当〃=时,A是对称矩阵.应当填写：0

23-1

注意：对称矩阵元素的分布有关主对角线对称，因此对称阵是可以看出来的。

4.设A,8均为”阶矩阵，且(/-B)可逆,则矩阵A+5X=X的解X=.

应当填写：(I-B^A

解：A+3X=X,X—BX=A,(1—3)X=A,X=(/—3尸4

5.若线性方程组[~一3=0有非零解，则7t.应当填写：—1

%+AJC2=0

1-11-1

解：A=->,4=—1H寸，r(A)=1<n=2,)有非零解。

1202+1

6.设齐次线性方程组=0,且秩（A）=r<%则其一般解中的自由未知

量日勺个数等于..应当填写:A-r

注意：关键是由=0要看出未知量日勺个数是n

1-123

7.齐次线性方程组AX=O日勺系数矩阵为A=010-2则此方程组的一般

0000

解为

1-11

解:01-2

000

再=-2X3-x4

方程组的一般解为（其中％3,是自由未知量）

2S

三、计算题（如下的各题要纯熟掌握!这是考试的15分类型题）

012

1.设矩阵人=114求逆矩阵

2-10

-21

-21

]_

1

2

注意:本题也可改成如下日勺形式考:

例如：解矩阵方程AX=B，其中

答案:

又如:

-113

2.设矩阵/1-15，求逆矩阵(1+A),

1-2-1

100

解:由于I+A=010+且

001

0131001050100-106-5

105010->0131010-53-3

1-200010-2-50012-11

-106-5

因此(1+A)T-53-3

2-11

11

12-3

3.设矩阵A0-2,B=，计算(B4尸.

0-12

20

1

12-3-5-3

解：由于340-2

0-1242

0

-5-310-1-11111-1101

(BAI)=T%

420142010-2401-2

因此

121

4.设矩阵A=,B=，求解矩阵方程XA=3.

352

-i

1210121010-5212-52

解:由于,即

35010-1-31013-1353-1

-1

121212-5210

因此X=

2335233-1-11

Xi+2X3-x4=0

5.求线性方程组（一七+%-3%3+2工4=0日勺一般解.

2匹-x2+5X3-3X4=0

102-11「102-iirio2-1

解:由于A=-11-32-01-11-^01-11

2-15-30-11-10000

因止匕一般解为

（其中/，乙是自由未知量）

氏=/一巧

2项—5%2+2%=-3

6.求线性方程组\占+2%-％=3的一般解.

-2%1+14X2-6X3=12

2-5