复变函数试题及答案

大学考试题

成绩

课程_复变函数(A)

系别—___________________考试日期2007年7月5日

专业班号____________________

___________________学号_____________期中匚期末

姓名—

一.填空(每题3分，共30分)

1.3，=________________________

2.2。=0是函数/(乃=半口的

Z

(说出类型，如果是极点，那么要说明阶数)

3./(z)=+3%2)7/-3孙2-y3i,刃口么广(z)=

里Res[#sinz，5=________________________

TT

5.函数w=sinz在z=—处的转动角为

4------------------------

00

6.幕级数£(cosin)z"的收敛半径为R=

n=0

7.[zsinzdz=

Jo------------------------

i

8.设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，那么，0dz二

CZ

9.函数/(z)=二看在复平面上的所有有限奇点处留数的和为

10.(~^二

J2

392+1)(Z+4)

，Z，=2

二.判断题(每题3分，共30分)

1./(2)=分〃在2=0解析。【】

2.，(z)在Z。点可微,那么/(z)在z0解析。【

3.7（z）="是周期函数。【】

4.每一个幕函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】

0088

5.设级数“收敛，而£|%|发散，那么的收敛半径为1。【]

〃=0〃=0n=0

6.1血（与能在圆环域0<|2]<R（0<尺<+00）展开成洛朗级数。【】

Z

7.〃为大于1的正整数，Lnz"=〃Lnz成立。[）

8.如果函数刃=/（z）在z0解析，那末映射G=/（Z）在z0具有保角性。【】

a[力

9.如果〃是。内的调和函数，那么f=--—i—是。内的解析函数。【

dxdy

1

TT1

—：--------dz——dz=2Tli—|z=1=2Tlio[

z2(z—1)z—1z

三.（8分）v="%siny为调和函数，求p的值，并求出解析函数/（z）=〃+iv。

四.（8分）求/(z)=------------在圆环域]<目<2和1<|z-2|<+8内的洛朗展开式。

(z-D(z-2)

五.18分）计算积分「“『cos"dx。

j-8%~+4x+5

设/（z）=g四,其中C为圆周|z|=3的正向，求r（1+i）。

六.18分)1

七.18分）求将带形区域{2|0<11110）<研映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换（A）的参考答案与评分标准（2007.7.5）

一.填空（各3分）

[A2o

]e-2*in3；2.三级极点；3.3z?；4.0；5.0；6.-；7.：一③；8.0；

9.0;10.—[―-------1—；-------F7lS（G—2）+7lS（69+2）]o

2j（①—2）j{co+2）

二.判断1.错；2.错；3.正确；4.错；5.正确；6.错；7.错；8.错；9.正确；10.错。

三（8分）解：1）在1V|NIV2

1118718]8n+\1

/(Z)="KF=z(-或(于二亚)')=?(k+式)—4分

2)在1<|z-21<8

1111]co1

于⑶=（i+—-一）=」一（1+----------------------）二」一+y--一7-4分

n+

z-2z-2+1z-2（Z2）（]।1）z-2n=0（z-2）

z-2

四.（8分）解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有一个一级极点

-2+i,故

p+OO。P

[—7------------dx=2mRes[--------------2+z]--------3分

J-%+4%+5z+4z+5

e'zjr

=2力lim(z-(-2+z))-.................=—(cos2-zsin2)--------6分

z->-2+iz'+4z+5e

产2cosx/GDf+8寸42〃

故--------(ir=2Re--------------dx-——cos2---------8分

j-8x+4x+5J+4x+5e

五.(8分)解：尸(z)=『；二一—―3分

由于1+i在|z|=3所围的圆域内，故

，，八•、f3^2+7^+l.“二”i、，i

/(l+o=j———卡兹=2加(3U+7^+1)"=2^(-6+13z)・8分

c-U十i))

六.（8分）解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射，可以得到

n

—z

/（z）=e/———（映射不唯一，写出任何一个都算对）

ca-A

七.（8分）解:对方程两端做拉氏变换：

代入初始条件，得y（s）=年」————4分

s+2s—3

351

故，XO=--e-（+-er+-e-3z---------8分（用留数做也可以）

488

复变函数（A）的参考答案与评分标准（2007.7.5）

一.填空（各3分）1.12加+加3；2.三级极点；3.3Z2；4.0；5.0；6.-；7.sinl-cosl；8.0

e

9.0；10.0o

二.判断1.错；2.错；3.正确；4.错；5.正确；6.错；7.错；8.错；9.正确；10.错。

三.(8分)解:因为丫=""siny是调和函数,那么有

22

PVPVc

—-+—-=0，即p2epxsiny—epxsiny=(p2-l)epxsiny=0故p=±1---------2分

dxdy

1)当夕=1时，v=exsiny,由C-R方程，

c)v

—=—=excosy,i/(x,y)=excosy+g(y),又由

dxdy

-=-exsmy+gXy)=--=-exsiny,故g，(y)=0,所以g(y)=c。

oyox

那么/(z)=片+c----------3分

2)当p=—l时，v=e~xsmy,由C-R方程,

dudv_w//、-x/、d4

-=--=-excosy,那么〃(羽y)=_ecosy+g(y),又由

oxoy

a

du_x.，/、x

k=esmy+g(y)=-^-=esinyf故婷(y)=0,所以g(y)=。

oyox

那么f(z)=-e-z^-c

四(8分)解：1)在1<|N|v2

11[81CO18n+\1

于⑶=z(・)=z(-wE(w)"_7X(；)")=(诃+>)--4分

z-22-1乙n=0乙Z〃=。Zn=0乙Z

2)在1<|z-21<oo

/(z)='(l+—1—)=’(1+1

z—2z—2+1z-2

(z-2)(l+士),

4分

100]

=+(-1)

IZiSn+2

/乙n=0(z-2)

五.（8分）解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次，且在实轴上无奇点，在上半平面有一个一级极点

-2+i,故

»+oop