电路相量法课件教材

第八章相量法

复数

相量法的基础31

正弦量2第八章相量法

电路定律的相量形式4

本章的要求：第八章相量法1.理解与正弦量有关的概念2.掌握正弦量的相量表示3.掌握电路定律的相量形式1.复数A表示形式：一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量，此时a可看作与实轴同方向的向量，b可看作与虚轴同方向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A的向量，其模为|A|，幅角为

。所以复数A又可表示为A=|A|ejq

=|A|q

AbReImaOA=a+jbAbReImaO

代数式指数式极坐标式复数1两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示或2.复数运算则

A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——推荐用代数式若

A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法---平行四边形。AbReImaO

∣A∣(2)乘除运算——推荐用极坐标若

A1=|A1|

1，若A2=|A2|

2

则A1

A2=|A1||A2|q1+q2乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相减。例1.5

47+10-25=(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48-2.61复数1例2.

(3)旋转因子：复数ejq

=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。Aejq

=∣A∣∠θ1×1∠q=∣A∣∠θ1+θ

在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：注意：复数11.正弦量的三要素正弦量的表达式：f(t)=Fmcos(wt+

)Fm,w,

这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这3个量为正弦量的三要素。波形：tO

/TFmf(t)正弦量：正弦电压、电流及电动势的总称。正弦量2(1)振幅

(amplitude)：反映正弦量变化幅度的大小。(2)角频率(angularfrequency)w

：反映正弦量变化快慢。即相角随时间变化的速度。

正弦量的三要素：相关量：频率f(frequency)：每秒重复变化的次数。周期T(period)：重复变化一次所需的时间。f=1/T单位：w：rad•s-1，弧度•秒-1

f：Hz，赫(兹)

T：s，秒市电：f=50Hz,T=1/50=0.02(s),w=2/T=2

f=314rad/stO

/TFmf(t)ω

=2/T=2f(4)初相位(initialphaseangle)：反映了正弦量的计时起点。

—初相位角，简称初相位。一般规定：|

|即：-

②初相位是由f(t)=Fmcos(wt+

)标准形式确定，若原用sin表示，求初相位时应先化为cos形式在求

令t=0→f(0)=Fmcos

→

=arccos[f(0)/Fm±2n

]，

可能为多值。tO

/TFmf(t)(3)相位(phase)标准正弦函数f(t)=Fmcos(wt+

)中的wt+

(wt+

)——相位角例1：f(t)=Fmsin(t+/2)，其初相位

≠

/2.而应化为cos形式，即：

f(t)=Fmsin(t+/2)=Fmcost,故初相位

=0同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO

=0

=-/2

=例2：f(t)=Fmsin(t+/6)=Fmcos(/2-

t-/6)=Fmcos(/3-

t)=Fmcos(t-/3)

故初相位

=-/3

2.相位差(phasedifference)：两个同频率正弦量相位角之差。设

u(t)=Umcos(wt+

u),i(t)=Imcos(wt+

i)则相位差

j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i

若j>0，则u超前

i相位角j，或i滞后

u相位角j。

若j<0，则i超前u相位角

j

，或u滞后i相位角

j

。从波形图上看相位差可取变化趋势相同点来看。

tu,iu

i

u

ijOj=0，同相：j=±(180o)

，反相：规定：|

|(180°)。特例：

tu,iu

iO

tu,iu

iO正弦量2

=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2。

tu,iu

iO

=p/2,正交:正弦量23.有效值

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来衡量。3.1.有效值(effectivevalue)定义定义：若周期性电流i流过电阻R，在一周期T内产生的热量，等于一直流电流I流过R,在时间T内产生的热量，则称电流I为周期性电流i的有效值。正弦量2Q2=I2RTRi(t)RI同样，可定义电压有效值：有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为rms。)当Q1（t）=Q2时，即：周期电流有效值计算普遍适用。周期电压有效值计算普遍适用。3.2正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+

)Remember:只适用于正弦量。正弦量2同理，对正弦电压也有：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um

311V；U=380V，Um

537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。例：求如图周期信号的有效值。(a)101230-1-2u1(t)(V)t(s)(b)A1230-1u2(t)(V)t(s)-A解：(b)U2=A（有效值）若加在1

电阻上，则平均功率：为什么要研究正弦信号?主要考虑以下几点：1.正弦量是最简单的周期信号之一，同频正弦量在加、减、微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量；2.正弦信号应用广泛（如市电，载波等）；3.非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦函数。正弦量23.用相量表示正弦量

同一正弦电路，各支路响应的频率相同，故只需标明各量振幅及初相位关系,即用复数表示。1.正弦量的三角函数表示

i(t)=Imcos(t+

)tO

/TImi(t)例1已知

i1=3cos314tA

i2

=4cos(314t+90°)A

求i12=i1+i2

与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。计算麻烦！2.正弦量用波形表示相量法的基础3计算麻烦！例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量为：有效值相量为：再次强调:由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。Note:书写符号。乱写符号者，本课程不需考试。成绩为不及格！

按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。把它们表示为相量，并且画在相量图中。例已知解用有效值相量表示，即：U1=U1ψ1U2=U2ψ2画在相量图中：U2U1也可以把复平面省略，直接画作：U2U1虚线可以不画。例1.解：已知①试分别写出i1,i2对应的振幅相量和有效值相量。②求i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。③作i、i1、i2的有效值相量图。将

i1、i2化为标准cos形式:①振幅相量：把正弦量表示成相量或相量图的目的是什么？哎，说来话长呀！有效值相量：②（由相量形式写时域形式）m③i的有效值相量:i、i1、i2的有效值相量图+1O+j注：频率不同的相量不能画在同一个相量图上。又因为：所以：例2.解：①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

i(t)=Imcos(t+

)相量法的基础3⑤相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：④相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形

实际应用中，模多采用有效值，符号：可不画坐标轴如：已知则或相量式:？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45

•？最大值？？

负号2.已知：4.已知：1.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：谁能回答出来吗？电路定律的相量形式42.1电阻时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系：

u=

i

(u,i同相)R+-注：(1)uR,i是同频正弦量2.电路基本元件VCR的相量形式功率：波形图及相量图：

t

iOuRpR

u=

iP=URI≧0（纯耗能）2.2电感时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型有效值关系：UL=wLI相位关系：

u=

i+90°

(uL

超前

i90°)j

L+-（相量形式的欧姆定律）

i

u相量图令XL=L，称为感抗，单位为(欧姆)BL=1/L，感纳，单位为S(同电导)

前节课重点内容回放周期电流、电压普遍适用的公式。1.有效值的计算Um=UIm=IRemember：只适用于正弦电流、电压。

落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量图例1:

将u1、u2

用相量及相量图表示+1+j2.正弦量的相量和相量图表示有效值相量。最大值相量如何？例2:已知有效值I=16.8A求：正弦量用相量或相量图表示的目的？解决正弦量计算难题。解：例3:

图示电路是三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为：试求uAB，并画出相量图。NCANB+–++-+–––解:(1)用相量法计算：

(2)相量图由KVL定律可知R+-3.电路元件VCR的相量形式及功率计算P=URI=UR2/R=I2Rj

L+-XL=ωL感抗感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比,w越大，XL越大，对正弦电流阻碍能力越强。(3)由于感抗的存在使电流落后电压.。wXL写法注意：w

0直流（XL=0)（短路）w

（开路）j

L+-能理解吗?不理解的举手。功率：波形图：

t

iOuLpL（1）平均功率为0（2）功率变化比电压、电流快一倍（倍频）能量流入电感能量流出电感i(t)uL(t)L+-2.3电容时域形式：相量形式：相量模型有效值关系：IC=wCU相位关系：

i=

u+90°

(i超前

u90°)iC(t)u(t)C+-+-

u

i相量图令Xc=1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)

Bc=wC，称为容纳，单位为S容抗和频率成反比,w

0，|XC|

直流开路(隔直)w

，|XC|0高频短路(旁路作用)功率：Xc=1/wCwXC波形图：

t

iCOupC能量流入电容能量流出电容iC(t)u(t)C+-pc（1）平均功率为0（2）功率变化比电压、电流快一倍（倍频）四、单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图(参考方向)阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LC设则则u领先i90°00基本关系+-iu+-iu+-设u落后i90°3.电路的相量模型(phasormodel)时域电路列解微分方程求非齐次方程特解相量形式电路列解代数方程时域电路相量形式电路LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-交流电路分析的秘笈改变形式模仿直流复数计算一般人我都不告诉他！改变形式：电路定律的相量形式4例1:如图(a)电路,us=10cos1000t(V),求i1,i2,i3及i(t)并作相量图。1K

+-(b)相量模型-j103

j103

1H1F1K

uSi3i2i1+-i(a)时域模型由KCL的相量形式：+10+j绝对相量图封闭相量图讨论交流电