2024年中考数学复习（全国版）第28讲 与圆有关的计算（讲义）（原卷版）

第28讲与圆有关的计算目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一正多边形与圆题型01求正多边形中心角题型02求正多边的边数题型03正多边形与圆中求角度题型04正多边形与圆中求面积题型05正多边形与圆中求周长题型06正多边形与圆中求边心距、边长题型07正多边形与圆中求线段长题型08正多边形与圆中求最值题型09尺规作图-正多边形题型10正多边形与圆的规律问题考点二弧长、扇形面积、圆锥的有关计算题型01求弧长题型02利用弧长及扇形面积公式求半径题型03利用弧长及扇形面积公式求圆心角题型04求某点的弧形运动路径长度题型05求扇形面积题型06求图形旋转后扫过的面积题型07求圆锥侧面积题型08求圆锥侧面积题型09求圆锥底面半径题型10求圆锥的高题型11求圆锥侧面积展开图的圆心角题型12圆锥的实际问题题型13圆锥侧面上的最短路径问题考点三不规则面积的有关计算题型01直接公式法题型02直接和差法题型03构造和差法题型04等面积法题型05旋转法题型06对称法题型07全等法考点要求新课标要求命题预测正多边形与圆了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，2024年各地中考肯定还是会考查.弧长、扇形面积、圆锥的有关计算会计算圆的弧长、扇形的面积.不规则面积的有关计算考点一正多边形与圆1.正多边形的相关概念正多边形概念各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形的边心距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.2.正多边形的常用公式边长an=2Rn⋅周长Pn=n⋅an外角/中心角度数360°面积Sn=12an⋅rn⋅对角线条数n边心距rn=Rn⋅cos180内角和（n-2）×180°.内角度数（n边形的边数（内角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an24（an【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．3.正多边形常见边心距与边长的比值图形OA:AB:OB内切圆与外接圆半径的比等边三角形1:3:1:2正方形1:1:1:正六边形3:1:23:2【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.题型01求正多边形中心角【例1】（2021·辽宁沈阳·统考二模）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（

）A．30°,1 B．45°,2 C．60°,3 D【变式1-1】（2022·四川广安·统考二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（A．72° B．60° C．48° D．36°【变式1-2】（2020·上海金山·统考一模）正十边形的中心角等于度．题型02求正多边的边数【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【变式2-1】（2023·广东阳江·统考二模）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【变式2-2】（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（A．7 B．8 C．9 D．10【变式2-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为．题型03正多边形与圆中求角度【例3】（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（

A．30° B．36° C．45° D．60°【变式3-1】（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,CA．144° B．130° C．129° D．108°【变式3-2】（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为°．题型04正多边形与圆中求面积【例4】（2022·山西大同·校联考一模）如图，是一张边长为2的正六边形纸版，连接对角线，则阴影部分的面积是（）

A．33 B．63 C．6 D【变式4-1】（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．【变式4-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙【变式4-3】．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，已知正六边形ABCDEF，⊙O是此正六边形的外接圆，若AB=2，则阴影部分的面积是

题型05正多边形与圆中求周长【例5】（2023·广西钦州·统考一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（）

A．5 B．6 C．30 D．36【变式5-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为24，则图中阴影部分图形的周长是（结果保留π）．

【变式5-2】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于33，则⊙O的周长等于【变式5-3】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点A1、B1、C1、D1、E1、题型06正多边形与圆中求边心距、边长【例6】（2023·河北衡水·衡水桃城中学校考模拟预测）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（

A．r=Rcos36° B．a=2R【变式6-1】（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为【变式6-2】（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是3，则正六边形的边长为【变式6-3】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知圆的半径为R，那么它的内接正三角形的边长是．【变式6-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）半径为4的正六边形的边心距为．题型07正多边形与圆中求线段长【例7】（2023·安徽六安·统考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点O是其中心，点P是AB上一点，且AP:BP=1:2，连接OP，则OP

A．2 B．27 C．4 D．【变式7-1】（2023·河北石家庄·统考二模）如图，在边长为63的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，相交于点O，若点M，N分别为OB，OF的中点，则MN

A．6 B．63 C．8 D．【变式7-2】（2023·浙江·统考二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（

）

A．2a B．3a C．32【变式7-3】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，正方形ABCD和等边三角形AEF均内接于⊙O，则ABAE的值为（A．62 B．32 C．23题型08正多边形与圆中求最值【例8】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将一个正n边形绕其中心O旋转45°或60°都能和其本身重合，则n的最小值是（

）

A．6 B．8 C．12 D．24【变式8-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在边长为2的正六边形纸片ABCDEF上剪一个正方形GHIJ，若GH∥AB，则得到的正方形边长最大为(

A．6 B．23 C．3-3 D【变式8-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，O为AD的中点，以O为圆心，3为半径作⊙O，M为⊙O上一动点，设点M（1）OA=（2）当△BCM面积最小时，点M到BC的距离为，d的最大值为【变式8-3】（2022·陕西西安·统考一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP=4，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为题型09尺规作图-正多边形【例9】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙【变式9-1】（2019·江西南昌·校联考三模）已知正八边形ABCDEFGH，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图①中，作一个正方形；（2）在图②中，作一个与原图形不相同的正八边形．【变式9-2】（2022·江西九江·统考模拟预测）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，已知CF(1)在图1中的边DE上求作点G，使DG=(2)在图2中的边DE上求作点H，使EH=题型10正多边形与圆的规律问题【例10】（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原点O重合，顶点A，E在y轴上，顶点G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB的垂线，垂足为P，将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P的坐标为（

A．32,-32 B．-3【变式10-1】（2023·河南南阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，AB=2．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（

A．-3,-23 B．-2,-23 C．【变式10-2】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（A．3,-1 B．-1,-3 C．-【变式10-3】（2023·黑龙江绥化·统考一模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B考点二弧长、扇形面积、圆锥的有关计算设⊙OQUOTE的半径为R，n°QUOTE圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则扇形弧长公式l=nπR180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关扇形面积公式S扇形=nπR2圆锥侧面积公式S圆锥侧=πrl（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）圆锥全面积公式S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）圆锥的高h，圆锥的底面半径rr1）利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式l=nπR180中，已知l，n2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S扇形3）扇形面积公式S扇形=12lR与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即2πr=nπR180，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．题型01求弧长【例1】（2023·河北沧州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（

）A．π B．43π C．53π D．【变式1-1】（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若∠B=30°．则AC的长为（结果用含有【变式1-2】（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长是（结果保留π【变式1-3】（2023·湖南长沙·长沙市第十一中学校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD（1）求∠B（2）若AB=2，求EC【变式1-4】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△

A．3π B．2π C．π D．1题型02利用弧长及扇形面积公式求半径【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长12π，则扇形半径是【变式2-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）一个扇形的圆心角为36°，面积为π10cm2，则该扇形的半径为cm．【变式2-2】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为45°．若AB，AC，CD的长分别为π，π和3π，则

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【变式2-3】（2020·甘肃酒泉·统考二模）已知一个扇形的弧长为2π，扇形的面积是4π，则它的半径为题型03利用弧长及扇形面积公式求圆心角【例3】（2021·山东德州·统考二模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（

）A．120° B．60° C．180° D．450°【变式3-1】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为【变式3-2】（2021·浙江金华·统考一模）一个圆被三条半径分成面积比为2：3：4的三个扇形，则最小扇形的圆心角为．题型04求某点的弧形运动路径长度【例4】（2022·河北·校联考一模）如图，已知AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB的中点，将AB绕点A逆时针旋转90°后得到AB'，则在该旋转过程中，点P

A．52π B．5π C．25π D．【变式4-1】（2021·贵州遵义·校考二模）如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它在水平直线上向右无滑动滚动到O'A'B'的位置时，则点O【变式4-2】（2023·陕西·模拟预测）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为．（结果保留π）

【变式4-3】（2022·四川泸州·四川省泸县第一中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,4，B1,1(1)请画出△ABC关于原点对称的△(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2题型05求扇形面积【例5】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（

）A．2π B．4π C．33【变式5-1】（2023·广东梅州·校考模拟预测）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为．【变式5-2】（2023·广西百色·模拟预测）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是．题型06求图形旋转后扫过的面积【例6】（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转

A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【变式6-1】（2020·四川成都·统考一模）如图，在ΔAOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90∘A．π2 B．2π C．178【变式6-2】（2023·山东东营·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段【变式6-3】（2021·山东淄博·统考一模）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为．【变式6-4】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）在平面直角坐标系中，已知A2,0，B3,1，

(1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A1B1(2)以A1点为旋转中心，将△A1B1C1逆时针方向旋转90°(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为___________．题型07求圆锥侧面积【例7】（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（

）A．23π-32 B．23【变式7-1】（2022·四川德阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为43，∠CDF=15°，则阴影部分的面积为（A．16π-12C．20π-12【变式7-2】（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=6【变式7-3】（2023·山东德州·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，(1)求证：直线CE是⊙O(2)若∠ABC=30°,⊙O【变式7-4】（2021·山东临沂·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝12

题型08求圆锥侧面积【例8】（2023·安徽合肥·模拟预测）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2【变式8-1】（2023·浙江金华·校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（

）A．12π B．15π C．20π D．24π【变式8-2】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2【变式8-3】（2023·广东广州·统考一模）已知：M(1)化简M；(2)如图，a、b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为24π，求M题型09求圆锥底面半径【例9】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（

）

A．2 B．1 C．22 D．【变式9-1】（2020·河北石家庄·统考模拟预测）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm【变式9-2】（2023·江苏苏州·校联考一模）一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°A．1cm B．2cm C．3cm D．3【变式9-3】（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（）A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5题型10求圆锥的高【例10】（2022·广东珠海·校考一模）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（

）A．2 B．3 C．2 D．3【变式10-1】（2022·云南昆明·统考三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=∠ACOA．6 B．26 C．15 D．【变式10-2】（2021·云南曲靖·统考一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OCA．2 B．210 C．42 D题型11求圆锥侧面积展开图的圆心角【例11】（2023·湖北黄冈·校考一模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（

A．90° B．120° C．150° D．180°【变式11-1】（2022·福建福州·福州华伦中学校考一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（

）A．214° B．215° C．216° D．217°【变式11-2】（2019·内蒙古呼和浩特·校联考一模）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（

）A．120° B．180° C．240° D．300°题型12圆锥的实际问题【例12】（2023·四川成都·模拟预测）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（A．2cm B．3cm C．4cm D【变式12-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（

）A．(30+529)π米2 B．C．(30+521)π米2 D．【变式12-2】（2020·浙江·一模）某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为24cm，底面半径为10cm，若小李用漂亮的彩纸做一顶这样的纸帽，则纸帽的外部面积为【变式12-3】（2021·山东德州·统考二模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（A．4πcm2 B．5πcm2 C．6πcm2题型13圆锥侧面上的最短路径问题【例13】（2020·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考模拟预测）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为．

【变式13-1】（2023·黑龙江·模拟预测）如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到【变式13-2】（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作TA，即TA=∠A(1)T90°=，T120°=，TA的取值范围是(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T140°≈0.53考点三不规则面积的有关计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1）直接用公式求解．图形公式S阴影=S扇形ABCS阴影=S△ABCS阴影=S四边形ABCD=ab2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形）图形面积计算方法图形面积计算方法S阴影=S△ACB−S扇形CADS阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆ABS阴影=S△AOB−S扇形CODS阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACBS阴影=S半圆AB−S△AOBS阴影=S扇形BAD−S半圆ABS阴影=S扇形EAF−S△ADES阴影=S扇形之和=nπR2②构造和差法图形公式S阴影=S扇形AOC+S△BOCS阴影=S△ODC-S扇形DOES阴影=S扇形AOB-S△AOBS阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．①全等法图形公式S阴影=S△AOBS阴影=S扇形BOCS阴影=S矩形ACDFS阴影=S正方形PCQE②等面积法图形公式S阴影=S扇形COD③平移法图形公式S阴影=S正方形BCFES阴影=S矩形ABHG④旋转法图形公式S阴影=S扇形BOES阴影=S扇形BODS阴影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤对称法图形公式S阴影=S△ACDS阴影=S扇形CDES阴影=S△OBC=14S正方形AS阴影=S扇形ACB-S△ACD题型01直接公式法【例1】（2021·河北石家庄·校考一模）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与A．S1>S2 B．S1=【变式1-1】（2020·浙江舟山·统考中考真题）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为．【变式1-1】（2021·山东东营·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC=60°，∠ABC=100°，BC【变式1-3】（2021·广东佛山·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，把△ABC绕着点A按逆时针方向旋转到（1）求∠BAC（2）求扇形CAC题型02直接和差法【例2】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，有一个半径为5cm的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，其中A、B、C都在圆O上，则被剪掉阴影部分的面积是．

【变式2-1】（2023·四川泸州·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△A．52πcm2 B．132πcm2【变式2-2】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F

【变式2-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°，以AC

【变式2-4】（2018·吉林长春·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点

A．4-2π B．8-2π C．8-π【变式2-5】（2021·河南周口·统考二模）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2A．6π B．5π C．4π题型03构造和差法【例3】（2020·辽宁抚顺·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C(1)求证：EM是⊙O(2)若∠A=∠E，⊙【变式3-1】（2021·广东江门·校考三模）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知AB=4，∠BAF

A．32+π3 B．33+【变式3-2】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P为DC边上的一个动点，将△ADP沿AP折叠得到△AEP，DE为点D关于AP对称时对称点E的轨迹，

【变式3-3】（2023·吉林松原·统考二模）如图，矩形ABCD内接于圆中．若AB=3cm,BC=1

【变式3-4】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA=2，则图中阴影部分的面积