河南省郑州市基石中学2023-2024学年高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

郑州基石中学高三开学入学考试数学试卷

考试时间：120分钟分值：150分

一、单选题(8小题，每题5分，共40分)

ɪ已知集合A={x∣2≤*<4},β={x∣3%-7≥8-2x}则AB=()

A.{x∣2≤x≤3}B.{x∣3<x≤4}

C.{%∣3≤x<4}D,{x∣2≤x<3}

【答案】C

【解析】

【分析】先利用一次不等式的求解化简集合8,再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为8={x∣3x-7≥8-2x}={小≥3},A={x∣2≤x<4}

所以AB={x∣3≤x<4}.

故选：C.

2.若复数z=i(2-i)(i为虚数单位)，则Z的虚部是()

A.1B.2iC.2D.i

【答案】C

【解析】

【分析】根据虚部的概念可得结果.

【详解】z=i(2-i)=ι+2i,

Z的虚部为2.

故选：C

3已知向量a=(3,4),Z>=(4,w),且∣α+b∣=Ia-4，则W=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据卜+6=|。-4，两边平方后可得.∙A=0,求出加的值，进而求出W

【详解】∣a+⅛∣=∣Λ-⅛∣,两边平方得(α+4=(α-。，

展开整理得.∙.α∙Z7=O.

.∙.Q∙∕?=3x4+4m=O，解得m=-3.

22

.∙.∣⅛∣=λ∕4+(-3)=5

故选：C

4.下列函数中，在定义域上单调递增的是()

A/(ɪ)ɪɪB./(χ)=(g)C./(x)=-2x+lD./(x)=Iog2X

【答案】D

【解析】

【分析】对四个选项，直接根据函数解析式判断单调性可得答案.

【详解】对于A,7(x)=L在(-8,0)和(0,+°o)上为单调递减函数，故A不正确；

X

(IY

对于B,/(%)=-在(-8,+0。)上为减函数，故B不正确；

\2?

对于C,〃力=-2》+1在(—8,+0。)上为减函数，故C不正确；

对于D,/(x)=Iog?X在(0,+8)上为单调递增函数，故D正确.

故选：D

5.(x—I1(x—2)的展开式中，V项的系数为()

A.2B.14C.48D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】/项由的f项与X的积和(X-I)4的/项和一2的积组成，再结合二项式定理得出系数.

【详解】(χ-l)4展开式的通项为(-l)’C：Xj,在(X—1)4(X—2)中，/项由(χ-l)4的炉项与X的积和

(%-1)4的『项和-2的积组成，

故可得*3的系数为(一1)2c^×l+(-l)'C)X(—2)=14.

故选:B.

6.椭圆N+4y2=ι的焦距为()

A.BB.√3C.2√3D.2√5

2

【答案】B

【解析】

【分析】先把椭圆方程化为标准方程，得到。力，结合C=Ja2_。2得到结果.

2

【详解】先将椭圆N+4y2=l化为标准方程√X+>ɪL--l1,

4

则4=1,6=；,c-ʌ/ɑ2-b2=ɪ.

故焦距为2c=√3.

故选：B.

7.函数y=Asin(6u+c)[A>O,<υ>O,∣同<])的图象如图所示，则()

Tx,

X

-1

ππππ

A.φ-B.(P——C.φ=—D.φ--

63126

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的图象，依次求得AG和。的值.

TTT(兀、JrSπ

【详解】由图可知A=l,—=-τ---=—ʃ-2π=-一,69=1,

46I3J21O

则y=sin(x+°),

则当X=S时，y=sin(E+e)=l,

,■兀兀2兀LL1,兀兀兀

由于一一<一+0<—，所以一+0=_,"=一.

363623

故选：B

8.己知函数/(x)=gχ2j]nx-x在定义域上单调递增,

则实数〃的取值范围是（）

A.I-∞,--B.(→w,-l]

C.--,+∞D.[-l,+∞)

【答案】A

【解析】

【分析】转化为/'(x)N0,即α≤χ2.χ在(0,+8)上恒成立可求出结果.

【详解】"x)=gχ2-ainx-x的定义域为(0,+8),

f'(x)=x---∖,

X

因为/(X)在(0,+8)上单调递增，所以/'(x)≥0,即α≤χ2-χ在(0,+8)上恒成立，

因为χ2-χ=(χ-,)2-"Lz-J.,当且仅当尤=1时，等号成立，

2442

所以α≤—.

4

故选：A

二、多选题(4小题，每题5分，共20分)

9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()

A.圆柱的侧面积为2TΓR2

B.圆锥的侧面积为2兀六

C.圆柱的侧面积与球面面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

【答案】CD

【解析】

【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积公式，结合圆柱、圆锥、球的体积公式逐一判断即可.

【详解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，

则圆柱的侧面积为2πR2R=4πR?,A错误;

222

圆锥的母线长I=y∣R+(2R)=√5∕?，侧面积为πR∕=√5π7?，B错误；

球的表面积为4兀/?2,所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；

23Π

%柱=%R2.2R=2π∕Λ=L71R.2R=∖R,‰=∣^

3

/.%柱：％1锥：％=2π∕?:∣∙πN:gπK=3:1:2,D正确.

故选：CD.

10.已知等差数列｛4｝的前项和为s“，q=11,%=3，则()

A.S5=35B.an=13—2n

C.的最小值为0D.S”的最大值为36

【答案】ABD

【解析】

【分析】设等差数列｛α,,｝的公差为d,根据已知条件求出d的值，利用等差数列的求和公式可判断A选项；

利用等差数列的通项公式可判断B选项；求出的最小值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可

判断D选项.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则为=4+4d=ll+4d=3,解得。=一2.

5×4

对于A选项，S5=501H——J=5×11+10×(—2)=35.A对；

对于B选项，a”=q+(〃—l)d=11—2(〃-1)=13—2〃，B对；

,,.f11-2n,n≤5,,

对于C选项，%=11-2〃l=心，，，，故当n=5或6时，㈤取最小值1，C错：

[2n-ll,rt≥6

22

对于D选项，Srt=nai+ʃɪ—--=1ln-n(n-l)=-n+12n=-(∕∕-6)+36.

故当〃=6时，S.取得最大值36,D对.

故选：ABD.

11.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是()

A.若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种

B.若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种

C.若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种

D.若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：先排甲同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于B：先排甲、丙、

丁同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于C：利用插空法运算求解；对于选项D：

利用间接法运算求解.

【详解】对于选项A：因为甲不在正中间，则甲的不同的排列方式有C；=4种，

剩余的四人全排列，不同的排列方式有A：=24种，

所以不同的排列方式共有4x24=96种，故A正确；

对于选项B：若甲、乙、丙三人互不相邻，则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位，

则不同的排列方式有A；=6种，

剩余的2人全排列，不同的排列方式有A；=2种，

所以不同的排列方式共有6x2=12种，故B错误；

对于选项C：若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则有四个间隔空位，

若乙、戊不相邻，把乙、戊安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A：=12种；

若乙、戊相邻，把两人看成整体安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A；C：=8种；

所以不同的排列方式共有12+8=20种，故C正确；

对于选项D：若丙和丁相邻，不同的排列方式共有A；A：=48种，

若甲在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有C；A；A；=24种，

所以甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有48-24=24种，故D正确；

故选：ACD.

12.已知。为坐标原点，抛物线^^=20X5>0)的焦点F为(1,0),过点"(2,2)的直线/交抛物线C于

A,B两点，点P为抛物线C上的动点，则()

A.IPMl+1尸产|的最小值为3

B.C的准线方程为广一1

C.OAOB>0

D.当PF/〃时，点尸到直线/的距离的最大值为石

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据焦点坐标求出准线方程即可判断B,利用图形根据抛物线的定义结合三点一线即可判断A,设

直线/的方程为X=m(y-2)+2,将其与抛物线方程联立得到关于ʃ的一元二次方程，则得到韦达定理式，

计算得QA∙O8=4M2-4≥-4,则可判断C,因为可知P到直线/的距离等于F到直线/的距离，则点F

到直线/的距离d=-驾二，利用导数即可求出最大值即可判断D.

【详解】如图：对于A,B,由抛物线的焦点/为(1,0),

则p=2,即∕=4χ,其准线方程为x=—1,设点尸到准线的距离为dp,

则IPMl+1PFI=IPM∖+dp,设点〃(2,2)到准线的距离为公，

易知归M+4,≥4"=3,故选项A正确，B正确；

由题意可知，过点"(2,2)的直线/的方程可设为

x=m(y-2)+2,代入抛物线C:y2=4x,可得y2-4my+8∕%-8=0,

Δ=16m2-4(8m-8)=16(∕n-l)2+16>0,则直线/始终与抛物线图象有两个交点,

8w

设A(Xl,y),8(%,%)，则y+%=4m,y%=~^>,OAOB=xlx2+ʃɪ%

(My2『2

+X%-4∕n-4≥-4-当m=。时，取到最小值-4，故选项C错误;

16

由C可得直线/的方程为X—，2+2m-2=0,由PF///,可知P到直线/的距离等于F到直线/的距

离,

点F到直线/的距离d=IV

√m2÷1

4m+3，-4m2-6m+4-2(2m-l)(m+2)

令f(m)=,IB∣∣J("2)一~—~~2

1+/T?2(∕√+lΓ仇2+1)-

当加∈(-8,-2),(g,+f时，f'(m)<O,/(㈤单调递臧;

当机时，/'(利)＞0,/(利)单调递增，由当初＜一2时，f(m)＜0,当初＞：时,/(〃。＞0,

则当他=—2时，f(m)min=-l,所以dmax=石，故选项D正确.

故选：ABD.

对于较难的CD选项，采用设线法，设直线/的方程可设为x=m(y-2)+2,将其与抛物线方程联立得到

一元二次方程，则得到韦达定理式，再计算。4∙OB=4,∕-4≥-4,对D,根据平行，将其转化为点产

到直线/的距离d再利用导数求出其最值即可.

三、填空题(4小题，每题5分，共20分)

823

13.lg20+lg5+2'°=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得.

【详解】Ig2θ+lg5+2tofe3=ig(2θχ5)+3=lglθ2+3=2+3=5.

故答案为：5

14.已知Sina=且α∈(∙^,兀J,则tan2α的值是.

243

【答案】—##3-

77

【解析】

【分析】先利用平方关系和商数关系求出tana,再根据二倍角的正切公式即可得解.

4π

【详解】因为Sina=:，且ae∣],7iJ,

5

I----34

所以CoSa=I-Sin-a=——，则tana=——

53

8

2tana3_24

所以tan2a

l-tan2a167

1ι-----

9

故答案为：—■

15.直线X+y-l=O与圆/+y2-2x+4y+l=0相交，所得的弦的长为.

【答案】2√Σ

【解析】

【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.

【详解】因为圆d+V-2x+4y+l=0即：(x—1了+(y+2)?=4,

由弦长公式可得弦长为：2//_储=2"^=2√L

故答案为：2√Σ∙

16.2022年北京冬奥会期间，出现一“墩”难求的现象，现有甲、乙、丙3个好朋友商定3人分别去不同的

官方特许零售店购买，若甲购买到的概率为)，乙购买到的概率为,，丙购买到的概率为则甲、乙、

234

丙3人中至少有1人购买到的概率为.

3

【答案】-##0.75

【解析】

【分析】利用对立事件概率求法，和相互独立事件概率公式求解.

【详解】设事件A=“甲购买到”，事件B="乙购买到“，事件C="丙购买到”,

由于A、B、。相互独立，所以,、耳、？相互独立，

事件O="甲、乙、丙3人中至少有1人购买到“，

则力="甲、乙、丙3人都没买到”,

则P(Z))=1-P(B)=I-P(AfiC)=1-P(A)P(B)P(C)

1113

=1-(1——)x(1——)x(1——)=-.

2344

3

故答案为：一

4

四、解答题（6小题，共70分）

17.在JLBC中，角A3,C所对的边分别为",4c,（2〃-C）COSA=QCOSC.

（1）求A的大小；

（2）若α=√74=2,求BC边上的高.

TT

【答案】（1）A=§

⑵迎

7

【解析】

【分析】（I）由正弦定理及两角和的正弦公式即可得解;

（2）由余弦定理求出c=3,再由面积等积法求解即可.

【小问1详解】

由正弦定理」½b_c

SinAsinBsinC

得(2sin3—sinC)cosA=SinAcosC,

.,.2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，

:.2sinBcosA=sin(A÷C),

A+C=π-β,

.∙.2sinBcosA=sinB

因为3e(0,π),所以sin8≠(),所以CoSA=g,

TT

因为0<A<7i,所以A=

【小问2详解】

在_A6C中，H√⅛6∕2-h^+c2—2Z?ccosA>

所以(α)=22+c2-2×2×c×cos^,

所以。2一2。—3=0∙

解得c=3,或C=-I（舍）,

设BC边上的高为/?,

因为SxBC=-bcsinA=-ah,

22

所以,besinAz2x×j3x×2-3√/—21.

n=---------=-------=-----------

α√77

18.己知等差数列｛凡｝满足：①4一%=6,②4-1,4，生成等比数列∙

(1)求数列｛a,,｝的通项公式;

,1，、

(2)若"=嬴，求数列｛〃｝的前〃项和S

【答案】(1)%=2n+2

C«

(2)Srl=歹飞

【解析】

【分析】(1)由已知条件列方程组求出数列｛q｝的首项与公差，可求通项公式；

(2)由数列抄“｝的通项，利用裂项相消法求前W项和S”.

【小问1详解】

[a+5√-(a+2√)=6

设等差数列｛4｝公差为d,依题意有/、2/、,、，

[(q+d)~=(qτ)(%+44)

解得＜121所以4=4+("-l)a=2"+2.

【小问2详解】

b=1=1=W1)

"nan2n(π+l)n+∖)'

c..,,If11111111、n

"∣-∙"2(22334nn+∖)2(n+∖)2(n+l)

19.某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备

改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计

如下表：

一等品二等品合计

设备改造前12080200

设备改造后15050200

合计270130400

（I）判断能否在犯错误的概率不超过0∙01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有

关;

（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现

从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X,求X的分布列及均值E（X）.

n(ad-bc)一

附：K2

(α+⅛)(c+J)(α+c)(⅛+J)

P(KWko)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

9

【答案】（I）能（2）分布列见解析，-

【解析】

【分析】（1）先计算K2,再根据独立性检验思想即可判断;

（2）根据超几何分布即可求解分布列，再根据期望公式即可求解期望.

【小问1详解】

零假设“0：产品的质量与设备改造无关,

5400(120×50-150×80)2

K=----------------------------

200×200×270×130

="”10.256>6.635

39

根据小概率值0.01的独立性检验，推断不成立，即认为在犯错误的概率不超过OOl的前提下，该企业

生产的这种产品的质量与设备改造有关.

【小问2详解】

依题意，X的可能值为1，2,3,

P(X=I)=罟=I^P(X=2)=罟*,P(X=3)=罟=历

所以X的分布列为:

XI23

361

P

IOIo10

数学期望E(X)=IXa+2χ9+3χL=2.

1010105

20.如图，在直三棱柱ABC-中，AB=AC=AA1=2,ZBAC=90°,E,F依次为CC,BC

的中点.

(1)求证：ʌβɪβ∣C；

（2）求Af与平面AM所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）显

6

【解析】

【分析】（1）由直棱柱的性质可得AAl•平面ABC,则AClA4∣,而ACLAB,则由线面垂直的判定

可得AC_L平面ABA一则ABLAC,而ABLAg,则L平面AC8∣,再由线面垂直的性质可得结

论；

（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【小问1详解】

证明：连接Ag,

因为三棱柱ABC-4gC∣为直三棱柱，所以AAl，平面ABC,

又ACU平面ABC,所以AClAA],

又ACLAB,A5cA4∣=A,Afi,A4,u平面ABA∣,所以AC_L平面AB4,

又ABU平面AB4,则ABLAC,

因为在直三棱柱ABe-48Cl中，AB=AAt,所以四边形为正方形，

所以A1B_LAg,

因为ACCAg=A,AC,Agu平面AeS,所以平面AC隹，

又BCU平面AC8∣,则AI8,8c.

【小问2详解】

因为直三棱柱ABC-45G中，ZBAC=90°，

所以AB,AC,AΛ1两两垂直，

所以以A为原点，分别以AB,AC,A4,所在直线为x,Xz轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,l),F(l,l,0),

所以AB=(2,0,-2),AE=(0,2,1)，AF=(1,1,0).

n∙AE=2Z?+c=0

设平面AETr的一个法向量为〃=(〃,〃,c),贝匹，

n∙AF=a-^-h=0

令。=1可得〃=(1,-1,2).

设AjB与平面A£：尸所成角为夕，

/.λ除4耳2√3

所以Sine=cos(zz,A∣B)=,∣τ,-=∣------~∣=—>

、'“A.√4+4×√l+l+46

即A/与平面AEf'成角的正弦值为立.

6

Z

21.已知椭圆C£.£=1(4＞万＞0)的一个焦点为尸卜目,0),且离心率为

cr+b2

(I)求椭圆C的方程;

(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点，求一AOB的面

积.

r22

【答案】(1)—+ɪv-ɪl

96

36

(2)—

11

【解析】

【分析】(I)根据椭圆的几何性质求出。*可得椭圆C的方程；

(2)联立直线与椭