2021年中考三轮冲刺复习 同步练习圆的相关证明与计算

培优同步练习：圆的相关证明与计算

1.如图，已知AB是。0的直径，AB=4,点C是AB延长线上一

点，且BC=2,点D是半圆的中点，点P是。。上任意一点.

(1)当PD与AB交于点E且PC=CE时，求证：PC与。。相切;

(2)在(1)的条件下,求PC的长;

(3)点P是。0上动点，当PD+PC的值最小时，求PC的长.

解：（1）证明：如图1,

•・•点D是半圆的中点，

.•.zAPD=45°,

连接0P,

/.OA=OP,

.,.zOAP=zOPA,

•.NPEC=NOAP+NAPE=zOPA+zAPE=zAPE-zOPE+zAPE

=2zAPE-zOPE=90°-zOPE,

.PC=EC,

.•.zCPE=zPEC=90°-zAPE,

.-.zOPC=zOPE+zCPE=zOPE+90°-zOPE=90°,

1/55

..点P在。。上,

・•.PC是。。的切线；

(2)解：由(1)知，NOPC=90°,

.AB=4,

.-.OP=OB=1AB=2,

2

•/BC=2,

.-.0C=0B+BC=4,

根据勾股定理得，CP=^oc2_op2=2”；

(3)解：连接0D,如图2,

.」D是半圆。的中点，

/.zBOD=90°,要使PD+PC的值最小，则连接CD交。。于P',

即点P在P'的位置时，PD+PC最小,

由(2)知，OC=4,

在RNCOD中,OD=OB=2,

根据勾股定理得，CD=6020c2=2后,

连接BP,AD,则四边形ADP'B是。0的内接四边形，

.•.zCBP'=zCDA,

,/zBCP=zDCA,

・•.△CBP'iCDA,

•_CPy-BC,

ACCD，

2/55

■CPJ2

.-.CP'=675.

图2

图1

2.如图，已知AB是。0的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB

上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于。。点E,连接

AE、BE,过点A作AF_LBC,垂足为F,zABC=30°.

(1)求证：AF是。。的切线；

(2)若BC=6,CD=3,贝UDE的长为9;

(3)当点D在弦AB上运动时，口_的值是否发生变化？如果变

AE+BE

化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值.

3/55

三

§(1)证明：如图1中,连接AC,OC,OA.

1

图3

•/zAOC=2zABC=60',OA=OC,

・•.△AOC是等边三角形,

/.zCAO=60°,

•—

.BC-AC，

/.AB±OC,

.-.zOAD=lzOAC=3C)°,

2

•.zABC=30°,

/.zABC=zOAD,

.,.OAllBF,

/AF±BF,

/.OA±AF,

4/55

・•.AF是。0的切线.

(/)解••Be一AC，

/.zCBD=zBEC,

,.zBCD=zBCE,

.,.△BCDs^ECB,

,-.BC=CD

ECCB'

••.A=3,

EC6

/.EC=12,

・••DE:EC-CD=12-3=9.

故答案为9.

(3)解：结论：二返,工^的值不变.

AE+BE3AE+BE

理由：如图2中，连接AC,0C,0C交AB于H,作ANIIEC交

,BC-AC'

.'.OC±AB,CB=CA,

5/55

.-.BH=AH=1AB,

2

•.zABC=30°,

•.BH=通BC,

2

..AC二通AB,

3

•/CEllAN,

•.NN=zCEB=30°,zEAN=zAEC=zABC=30°,

/.zCEA=zABC=30°,zEAN=zN,

.-.zN=zAEC,AE=EN,

/zACE=zABN,

・.△ACEiABN,

,-.CE=AC=V3_,

BNABV7

二比二相,

AE+BE3

的值不变.

AE+BE

3.如图1所示，以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴，x轴分别交

于点A,B,C,D,与OM相切于点H的直线EF交x轴于点E

(-5,0),交y轴于点F(0,/逅).

3

(1)求。171的半径。

(2)如图2所示，连接CH,弦HQ交x轴于点P,若COSNQHC

=3，砂的值；

4PD

(3)如图3所示，点P为。M上的一个动点，连接PE,PF,求

PF+1PE的最小值.

2

6/55

•••E(-5,0),F(0,-阻),M(-1,0),

3

.-.OE=5,OF=左，EM=4,

.•在Rt^OEF中,tanzOEF=0fl=-|V3，

0E〒下

/.zOEF=30°,

.」EF是。M的切线，

/.zEHM=90°,

/.sinzMEH=sin30°=,

ME2

.-.MH=1ME=2,

2

即r=2;

7/55

(2)如图2,连接DQ、CQ,MH.

•/zQHC=zQDC,zCPH=zQPD,

・•.△PCH-WQD,

.-.PHCH

PD=DO，

由(1)可知，NHEM=30°,

.-.zEMH=60°,

•/MC=MH=2,

」.△CMH为等边三角形，

.CH=2,

〈CD是。M的直径，

/.zCQD=90°,CD=4,

•.在RbCDQ中,COSNQHC=COSNQDC二毁工

CD-4

.-.QD=2CD=3,

4

.".PHCH2•

雨而方，

(3)连MP,取CM的点G,连接PG，则MP=2,G(-2,0),

8/55

图3

.-.MG=2CM=1,

2

•MGMP1

MP-ME"2

又.NPMG=NEMP,

.-.△MPG-AMEP,

.-.PG_MG_1,

闲话而，

.•.PG=1PE,

2

.•.PF+1PE=PF+PG,

2

当F,P,G三点共线时，PF+PG最小，连接FG,即PF+1PE有

2

最小值=FG,

在RNOGF中,OG=2,OF=^V3,

_________3

「•FG=而中=旧+半2=驾1・

VS3

.•.PF+1PE的最小值为迎.

23

4.如图，OO的直径AB=10,弦BC=2击，点P是。。上的一动

点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连

接PA,PC,过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D.

(1)求tan/BPC的值;

9/55

(2)随着点P的运动，毁的值是否会发生变化？若变化，请说明

AP

理由，若不变，则求出它的值；

(3)运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来.

.「AB是。。的直径，

/.zACB=90°,

在RNABC中，AB=10,BC:2后,

•・A。-VAB2-BC2二，

/.tanzBPC=tanzBAC=BC=A;

AC2

(2)验的值不会发生变化，理由如下：

AP

•.zPCD=zACB=90°,

.,.zl+zPCB=z2+zPCB,

/.zl=z2,

・•N3是圆内接四边形APBC的一个外角,

/.z3=zPAC,

10/55

..△CBDs^CAP,

,-.BD=CD

AFCP'

在RbPCD中，CD=tanzBPC=l,

CP2

/.BD=CD=1；

APCP2

(3)由(2)知BD=1AP,

2

.•.AP+2BP

=2(1AP+BP)

2

=2(BD+BP)

=2PD

二2PC,

cos/BPC

由tanzBPC=±，得:coszBPC=_2_,

2V5

••.AP+2BP=^PCK^AB=1(^，

「.AP+2BP的最大值为10而.

5.在图1至图3中，OO的直径BC=30,AC切。。于点C,AC

二40,连接AB交。。于点D,连接CD,P是线段CD上一点，

连接PB.

11/55

(1)如图1,当点P,0的距离最小时，求PD的长；

(2)如图2,若射线AP过圆心O,交。O于点E,F,求tanF

的值；

(3)如图3,作DH±PB于点H,连接CH,直接写出CH的最

小值.

解：(1)如图1,连接OP,

.AC切。O于点C,

/.AC±BC.

•/BC=3O,AC=40,

/.AB=50.

即2x50XCD^X40X30,

解得CD=24,

当OP±CD时，点P,O的距离最小，此时m*D=12

(2)如图2,连接CE,

12/55

守

图2

.」EF为。。的直径，

/.zECF=90°.

由（1）知,zACB=90°,

由A02=AC2+OC2，彳导（AE+15）2=402+152,

解得皿=5/河-15・

•.zACB=zECF=90°,

.-.zACE=zBCF=zAFC.

又NCAE二NFAC,

・•.△ACEiAFC,

•CEAE

FC-AC

.CEAE153

t海^而■记F-飞飞-万,

（3）CH的最小值为纣/g.

解：如图3,以BD为直径作。G，则G为BD的中点,DG=9,

-/DH±PB,

・••点H总在。G上，GH=9,

」•当点C,H,G在一条直线上时，CH最小，

止匕时,CG=\/CD2+DG2=V242+92=3\/73ZCH=3帏-9，

13/55

即CH的最小值为对两一9.

A

图3

6.如图，在RfABC中，NC=90°,AD平分NBAC交BC于点D,

。为AB上一点，经过点A,D的。O分别交AB,AC于点E,F,

连接OF交AD于点G.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)^iiE:AD2=AB«AF;

(3)若BE=8,sinB二旦，求AD的长，

解：（1）如图1,连接0D，则0A=0D,

/.zODA=zOAD,

•.AD是NBAC的平分线,

..zOAD=zCAD,

/.zODA=zCAD,

.'.ODllAC,

/.zODB=zC=90°,

14/55

,.点D在。。上,

・•.BC是。。的切线；

(2)如图2,

连接0D,DF,EF,

••.AE是。。的直径，

/.zAFE=90°=zC,

.'.EFIIBC,

/.zB=zAEF,

•/zAEF=zADF,

/.zB=zADF,

由(1)知，zBAD=zDAF,

.'.△ABD^AADF,

•ABAD

AD-AF

.-.AD2=AB«AF;

(3)如图3,

连接OD,由(1)知，OD_LBC,

.-.zBDO=90°,

设。。的半径为R,则OA=OD=OE=R,

/BE=8,

/.OB=BE+OE=8+R,

15/55

在RtABDO中,sinB=_L,

13

,-.sinB=OP=R=,

OB8+R13

.,.R=5,

/.AE=2OE=10,AB=BE+2OE=18,

连接EF,由（2）知，NAEF=NB,NAFE二=90°,

/.sinzAEF=sinB=A,

13

在RbAFE中,sinzAEF=AF=AF=_L,

AE1013

.-.AF=50

13

由（2）知，AD2=AB«AF=18x50=900,

1313

.-.AD=[900=30^13.

V1313

图2

图1

7.如图，AB为圆O的直径，C为圆。上一点,D为BC延长线一

16/55

点，且BC=CD,CE_LAD于点E.

(1)求证：直线EC为圆0的切线;

(2)设BE与圆0交于点F,AF的延长线与CE交于点P,

①求证：PC2=PF«PA

②若PC=5,PF=4,求sin/PEF的值.

证明：(1):CE_LAD于点E,

/.zDEC=90°,

•/BC=CD,

-C是BD的中点,

又丁。是AB的中点，

•••0C是YDA的中位线，

.,.OCllAD,

/.zOCE=zCED=90°,

/.OC±CE,

又二点C在圆上，

「•CE是圆。的切线；

(2)①连接AC,

17/55

D

B

-.OC±CE,

/.zECO=90°,

/AB是直径，

.-.zACB=90°=zECO,

/.zECA=zOCB,

-/OC=OB,

.-.zOCB=zOBC=zACE,

•/zABF=zACF,

.-.zOBC-zABF=zACE-zACF,

.•.NEBC=NECF,且NEBC二/CAP,

/.zECF=zCAP,且NCPF二/CPA,

・•.△PCiPAC,

,•»PC—,PF—

PA-PC

..PC2=PF-PA

@-.AB是直径，点F在圆上，

.-.zAFB=zPFE=90o=zCEA,

•.zEPF=zEPA,

・•.△PE—PAE,

.-.PE_PF

PA-PE

18/55

..PE2=PF・PA

..PE=PC

在直角APEF中，sinzPEF=PL4

PE5

8.如图1,在平面直角坐标系内，A,B为x轴上两点,以AB为直

径的。M交y轴于C,D两点，C为标的中点，弦AE交y轴于点

F,且点A的坐标为(-2,0),CD=8.

(1)求。M的半径；

(2)动点P在。M的圆周上运动.

①如图1,当EP平分NAEB时，求PN-EP的值；

②如图2,过点D作。M的切线交x轴于点Q,当点P与点A,B

不重合时，生是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理

PQ

由.

解：(1)如图1中，连接CM.

19/55

,-.0C=0D=4,

设CM=AM=r,

在Rt△CMO中，.CM2=OC2+OM2,

.-.r2=42+(r-2)2,

解得r=5,

・•・OM的半径为5.

(2)①如图2中，连接AP,BP.

20/55

.•.zAPB=zAEB=90°,

/PE平分NAEP,

.•.zAEP=zPEB=45°,

,

,TA-PB'

•.PA=PB,

/AB=10,zAPB=90°,

.•.PA=PB哼xAB=5、丐，

./PAN=zAEP=45°,zAPN=zAPE,

・.△APNiEPA,

,-.PA=PN

PEPA'

.•.PN-PE=PA2=50.

②如图3中，连接PM,DM.

.」DQ是。M的切线，

/.DQ±DM,

/.zMDQ=zMOD=90°,

21/55

/zDMO=zQMD,

..△DMOiQMD,

.-.DM=OM,

QMDM'

..DM2=MO・MQ,

.MP=MD,

•.MP2=MO・MQ,

.•里=蚂，//PMO=NPMQ,

MOMP

」.△PMOSAQMP,

*•*OP二PM,,

PQQM

.DM2=MO・MQ,

•.25=3MQ,

/.MQ=25,

3

■.0P=5^=3.

PQ等5

9.如图，已知AB,CD为。O的直径，过点A作弦AE垂直于直径

CD于F,点B恰好为近的中点，连接BC,BE.

(1)求证：AE=BC;

(2)若AE=2愿，求。。的半径；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

22/55

(1)证明：连接BD,

.AB,CD为。。的直径，

.-.zCBD=zAEB=90°,

丁点B恰好为正的中点，

‘丽二五，

/.zA=zC,

•/zABE=90°-NA,zCDB=90°-zC,

/.zABE=zCDB,

,.—,,—

一皿一BC，

.-.AE=BC;

(2)解：•••过点A作弦AE垂直于直径CD于F,

,—

,AC-EC'

.*---**».-

•AE_BC，

,AC-BE--gAE，

.-.zA=lzABE,

2

/.zA=30°,

在RtAABE中,COSNA二迪,

AB

23/55

・•・AB二AE

cos300

2

.•・。0的半径为2.

(3)连接OE,

•.zA=30°,

/.zEOB=60°,

・•.△EOB是等边三角形，

•/OB=OE=2,

.,.SAEOB=±X2XV1=^3,

2X242"J

・••S阴二S扇形-S^EOB二空*1-6二空-

-360733

10.如图，AB为。O的直径，CD±AB于点G,E是CD上一点，

且BE=DE,延长EB至点P,连接CP,使PC=PE,延长BE与

。。交于点F,连结BD,FD.

(1)连结BC,求证：WCD%DFB;

(2)求证：PC是。。的切线；

(3)若tanF=1.,AG-BG=.y,求ED的值.

24/55

解：(1)证明:因为BE=DE,

所以NFBD=NCDB,

在ABCD和ADFB中:

zBCD=zDFB

zCDB=zFBD

BD=DB

所以ABCD当DFB(AAS).

(2)证明：连接OC.

因为NPEC=NEDB+NEBD=2NEDB,

zCOB=2zEDB,

所以NCOB=NPEC,

因为PE=PC,

所以/PEC二NPCE,

所以NPCE二NCOB,

25/55

因为AB_LCD于G,

所以NCOB+NOCG=90。，

所以NOCG+NPEC=90°,

gPzOCP=90°,

所以OC_LPC,

所以PC是圆O的切线.

(3)因为直径AB_L弦CD于G,

所以BC=BD,CG=DG,

所以/BCD二NBDC,

因为NF=/BCD,tanF=Z,

3

所以Ntan/BCD=Z坦，

3CG

设BG=2x,则CG=3x.

连接AC,则NACB=90。，

由射影定理可知：CG2=AG-BG,

所以AG=述=211卫,

BG-2x-2

因为AG-BG=5隗,

3

所屿一2x*，

23

解得X=2区，

3

所以BG=2X=¥，CG=3x=2好

所以K;而肃誓，

所以BD二BC二晅，

3

因为NEBD=NEDB=/BCD,

26/55

所以ADEBADBC,

所以理旦

DCDB

因为CD=2CG=4、a

所以DE二处一强.

CD-9

11.如图1,在直角坐标系中，直线I与X、V轴分别交于点A(2,

01B(0,1)两点，zBAO的角平分线交V轴于点D.点C为

直线I上一点，以AC为直径的OG经过点D,且与x轴交于另一

点E.

(1)求出。G的半径r,并直接写出点C的坐标;

(2)如图2,若点F为。G上的一点，连接AF,且满足NFEA二

45°,请求出EF的长？

解：（1）连接GD,EC.

••2OAB的角平分线交y轴于点D,

/.zGAD=zDAO,

•/GD=GA,

/.zGDA=zGAD,

/.zGDA=zDAO,

.".GDIIOA,

27/55

/.zBDG=zBOA=90°,

.」GD为半径，

••.y轴是。G的切线；

•.A(2,0),B(0,国)，

3

.-.OA=2,OB=8.,

3

在RfAOB中,由勾股定理可得:AB=，A2制82=荷吟2寸

设半径GD=r,则BG=12.-r,

3

,.GDllOA,

.".△BDG^ABOA,

,-.DG=BG

0AAB'

/.>r=2O-r),

33

/.r=i.,

4

/AC是直径,

/.zAEC=zAOB=90°,

/.ECIIOB,

.-.EC=AC=AE

OBABAOZ

V102

3T

/.EC=2,AE=2,

2

/.OE=2-3.=!,

22

・•.C的坐标为(1,2);

2

28/55

(2)过点A作AH_LEF于H,连接CE、CF,

/AC是直径,

..AC=2x且二旦

42

/.zAEC=zAFC=90°

•.zFEA=45°

/.zFCA=45°

••在RbAEH中，

由勾股定理可知：AF二CF二星反，

4

设OE=a

.-.AE=2-a

•.CEllOB

」.△ACEs△ABO

,-.AE=CE

OAOB/

.-.CE=2,

.CE2+AE2=AC2,

.-.22+(2-a)2=25

4

••a=1Ma=Z(不合题意，舍去)

22

.-.AE=2

2

・•・在RbAEH中,

由勾股定理可得，AH=EH二还，

4

••在RbAEH中,

由勾月殳定理可知：FH2=AF2-AH2=(h<2)2-(隹)2=2,

44

29/55

.-.FH=

.-.EF=EH+FH=±/2.

12.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为（0,

4）,点B的坐标为（4,0）,点C的坐标为（-4,0）,点P在

AB±,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P,D,B三点作

OQ与y轴的另一个交点为E,延长DQ交。Q于点F,连结EF,

30/55

(2)求证:zBDE=zADP;

(3)设DE=x,DF二y.请求出y关于x的函数解析式.

解：(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+4,

将点B(4,0)代入y=kx+4,

得：4k+4=0,

解得：k=-1,

则直线AB的函数解析式为y=-x+4;

(2)由已知彳导：OB=OC,zBOD=zCOD=90°,

X/OD=OD,

・•.△BOD^COD(SAS),

/.zBDO=zCDO,

,.zCDO=zADP,

/.zBDE=zADP;

(3)如图2,连结PE,

•.•NADP是^DPE的一个夕卜角,

•.NADP=NDEP+NDPE,

■「NBDE是AABD的一个夕卜角,

/.zBDE=zABD+zOAB,

•/zADP=zBDE,zDEP=zABD,

/.zDPE=zOAB,

31/55

-，0A=0B=4,zAOB=90°,

/.zOAB=45°,

・•.NDPE=45°,

.•.zDFE=zDPE=45°,

•.DF是CQ的直径,

•.NDEF=90°,

「.△DEF是等腰直角三角形，

「.DF=,

即y=«x.

图i

13.如图，在平面直角坐标系中,A(0,4),B(3,4),P为线段

0A上一动点，过0,P,B三点的圆交x轴正半轴于点C,连结

AB,PC,BC,设0P=m.

32/55

(1)求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形.

(2)连结PB,求tan/BPC的值.

(3)记该圆的圆心为M,连结0M,BM,当四边形POMB中有

一组对边平行时，求所有满足条件的m的值.

(4)作点0关于PC的对称点0,，在点P的整个运动过程中，当

点0'落在MPB的内部(含边界)时，请写出m的取值范围.

W：(l)vzCOA=90°

••.PC是直径,

.•.zPBC=90°

.A(0,4)B(3,4)

轴

.•.当A与P重合时，NOPB=90°

••・四边开?POCB是矩开?

(2)连结0B,(如图1)

/.zBPC=zBOC

/ABHOC

/.zAB0=zB0C

/.zBPC=zBOC=zABO

33/55

/.tanzBPC=tanzABO=

AB-3

(3)/PC为直径

••.M为PC中点

①如图2,当OPllBM时，延长BM交x轴于点N

,/OPllBM

・•.BN_LOC于N

.•.ON=NC,四边形OABN是矩形

.-.NC=ON=AB=3,BN=OA=4

设0M半径为r,则BM=CM=PM=r

•.MN=BN-BM=4-r

-/MN2+NC2=CM2

/.(4-r)2+32=r2

解得：r=生

8

/.MN=4-25.J.

8-8

.」M、N分别为PC、OC中点

.•.m=0P=2MN=Z

4

34/55

②如图3,当OMIIPB时，zBOM=zPBO

•.zPBO=zPCO,zPCO=zMOC

・•.NOBM=zBOM=zMOC=zMCO

在ABOM与ACOM中

-ZOBW-ZOCM

・.△BOM2coM(AAS)

OC=OB=22=5

•■•VOA+AB

■/AP=4-m

.•.BP2=AP2+AB2=(4-m)2+32

•/zABO=zBOC=zBPC,zBAO=zPBC=90°

..△ABOSABPC

.-.OB_AB

PC=BP

■-.PC=OB>BP_5

AB-3即

.-.PC2=25BP2=25[(4-m)2+32]

9q

又PC2=OP2+OC2=m2+52

.-.25[(4-)2+32]=m2+52

9m

35/55

解得：m=皿m=10(舍去)

(4)•••点0与点0’关于直线对称

.•.zPO'C=zPOC=90°,即点0'在圆上

当0,与0重合时，得m=0

当0'落在AB上时，则m2=4+(4-m)2,得m二旦

2

当0与点B重合时，得m二至

8

.,.0<m<^6m=丝

28

14.已知在平面直角坐标系中，点A(3,0),B(-3,0),C(-

3,8),以线段BC为直径作圆，圆心为E,直线AC交。E于点D,

连接0D.

(1)求证：直线0D是OE的切线；

(2)点F为x轴上任意一动点，连接CF交。E于点G,连接BG;

①当tan/ACF=J时，求所有F点的坐标立肆&，F2(5,0)

(直接写出)；

②求眠的最大值.

CF

36/55

解：(1)证明：如图1,连接DE,/BC为圆的直径，

/.zBDC=90°,

/.zBDA=90°

•/OA=OB

.-.OD=OB=OA

/.zOBD=zODB

/EB=ED

•.NEBD=NEDB

「.EBD+NOBD=NEDB+NODB

即：zEBO=zEDO

,.•CB_l_x轴

/.zEBO=90°

.-.zEDO=90°

..点D在。E上

「•直线OD为OE的切线.

(2)①如图2,当F位于AB上时，过F作F1N_LAC于N,

37/55

/F1N±AC

.-.zANFl=zABC=90°

.•.△ANiABC

」.ANJFi_AFI

AB^BC-=-A^

,.AB=6,BC=8,

二•AC={/龊2=十=10,即AB:BC:AC=6:8:10=3:

4:5

「•设AN=3k,贝UNFl=4k,AFl=5k

.-.CN=CA-AN=10-3k

.•.tanNACF=F3=4k=1,解彳导：|<=>

CN10-3k731

•••AFi=5k=1^

叫=3号号

即Fl(丝，0)

31

如图3,当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M_LCA于M,

•.△AMF2sAABC

・•・设AM=3k,则MF2=4k,AF2=5k

/.CM=CA+AM=10+3k

/.tanzACF=卜21_A_1

CM-10+3k-7

解得：k=f

/.AF2=5k=2

OF2=3+2=5

即F2(5,0)

38/55

故答案为：Fl(丝，0),F2(5,0).

31

②方法1:如图4,过G作GH_LBC于H,

•.CB为直径

/.zCGB=zCBF=90°

.".△CBG^ACFB

,-.BGBCCG

BF'CF"BC

/.BC2=CG<F

」.BG=BG・CG=GH・BC-里

CFCF-CGBC2BC~2

・••当H为BC中点，即GH=1BC时，毁的最大值二上.

2CF2

方法2:设NBCG=a,贝Usina二股,cosa二毁,

BCCF

.,.sinacosa=BG

CF

(sina-cosa)2>0,即：sin2a+cos2a>2sinacosa

,.sin2a+cos2a=1,

/.sinacosa<A,即幽V」

2CF2

・••地的最大值;上.

39/55

15.如图F为。。上的一点，过点F作。0的切线与直径AC的延

长线交于点D,过圆上的另一点B作A0的垂线，交DF的延长

线于点M,交。。于点E,垂足为H,连接AF,交BM于点G.

(1)求证：AMFG为等腰三角形.

(2)若人811171口,求证：FG2=EG・MF.

⑶在(2)的条件下，若DF=6,tanNM力求AG的长.

B

40/55

(1)证明：连接OF.

:DM是O。的切线,

.-.DM±OF,

.•.zMFG+zOFA=90°,

/BM±AD,

/.zAHG=90°,

/.zOAF+zAGH=90°,

/OF=OA,

.'.zOFA=zOAF,

.NMGF=NAGH,

.-.zMFG=zAGF,

•.MF=MG,

・•.△MFG是等腰三角形.

(2)证明：连接EF.

,/ABllDM,

/.zMFA=zFAB,

•/zFAB=zFEG,zMFG=zMGF,

.-.zFEG=zMFG,

.NEGF=NMGF,

.△EGF-AFGM,

.-.EG-FG,

FG赢'

41/55

/.FG2=EG«GM,

.MF=MG,

・•.FG2:EG・MF.

(3)解：连接OB.

,/zM+zD=90°,zFOD+zD=90°,

/.zM=zFOD,

/.tanM=tanzFOD=DL=3.,

OP4

•/DF=6,

「.OF=8,

,/DMIIAB,

.-.zM=zABH,

/.tanM=tanzABH==M,

4BH

..可以彳取设AH=3k,BH=4k,贝UAB=BG=5k,GH=k,AG=

而匕

在RNOHB中，.OH2+BH2=OB2,

/.(8-3k)2+(4k)2=82,

解得k=型,

25

,-.AG=48^10.

25

42/55

16.如图，AB是。0的直径，弦CD±AB于点H连接AC,过弧

BD上一点E作EGIIAC交CD的延长线于点G连接AE交CD

于点F,且EG=FG,连接CE.

(1)求证:AECF-AGCE;

(2)求证：EG是。。的切线;

(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tmG=±业=3«，求EM

4

的值.

(1)证明：如图1中，

/.zG=zACG,

43/55

/AB±CD,

,,---J—,----

一&一AC，

/.zCEF=zACD,

/.zG=zCEF,

/zECF=zECG,

.△ECF-AGCE;

(2)证明：如图2中，连接OE,

图2

.GF=GE,

.-.zGFE=zGEF=zAFH,

/OA=OE,

/.zOAE=zOEA,

•.zAFH+zFAH=90°,

.•.zGEF+zAEO=90°,

/.zGEO=90°,

.-.GE±OE,

「•EG是。。的切线.

44/55

(3)解：如图3中，连接OC.设。O的半径为r.

在Rt^AHC中,tanzACH=tanzG二旦,

4

.AH=3g,

二.HC=4代,

在RbHOC中，/OC=r,OH=r-3,HC=4日，

・・•(—36)2+(4退)2=r2,

.j二25点,

6

,/GMIIAC,

/.zCAH=zM,

/zOEM=zAHC,

・.△AHJMEO,

,-.AH=HC,

EMOE'

••普二器，

EH

.-.EM=2^3.

8

17.如图，AB为。O的直径,CD±AB于点E,F是CD上一点，

且BF=DF,延长FB至点P,连接CP,使PC=PF,延长BF与

45/55

。。交于点G,连结BD,GD.

(1)连结BC,求证：CD二GB;

(2)求证：PC是。。的切线；

(3)若tanG=」，且AE-BE=年，求FD的值.

33

/.zBDF=zDBF,

在ABCD与^DGB中，

2BCD=/G

<ZDBF=ZBDF/

,BD=DB

..△BCD%DGB(AAS),

/.CD=GB;

图i

•/zC0B=2zCDB,zCFB=zCDB+zDBF=2zCDB,

/.zCOB=zCFB,

.PC=PF,

46/55

.-.zCOB=zCFB=zPCF,

,.AB±CD,

/.zCOB+zOCE=90°,

.•.zPCF+zOCE=zPCO=90°,

/.OC±CP,

•.OC是半径,

・•.PC是。。的切线；

(3)如图2,连接AD,

图2

:AB是。。的直径，

/.zADB=90°,

/AB±CD,

-,BD=BC'

/.zBDE=zA=zG,

/tanG,

3

.•.tanA=DLJ,,即AE=3DE,

AE-3

同理可得：DE=3BE,

/.AE-BE=3DE-1DE=8V3,

33

解得：DE=«,

47/55

.,.CD=2DE=2M,

.-.BE=1DE=V3,

33

BD=22=

•■•VDE+BE^F^

•/zBCD=zFDB,zBDC=zFBD,

/.△BCD^AFDB,

•CDBC

BD-FD

.BC=BD,

.•.FD="=(等产=殳3

CD2a9

18.如图，。0是3BC的外接圆，AB为。0的直径，过点A作

AD平分NBAC交。。于点D过点D作BC的平行线分别交AC、

AB的延长线于点E、F,DG±AB于点G,连接BD.

(1)求证：SEDSADGB;

(2)求证：EF是。。的切线;

(3)若黑《,OAF’求劣弧丽的长度(结果保留口).

(1)证明：:AB为。。的直径,

/.zACB=zADB=90°,

•••BCllEF,

/.zAED=zACB=90°,

48/55

/AD平分NBAC,

/.zEAD=zDAB,

/.zADE=zABD,

,.DG±AB,

/.zBGD=zAED=90°,

.,.AAED^ADGB;

(2)证明：连接OD,

/OA=OD,

/.zOAD=zADO,

・./DOF=zOAD+zADO=2zDAF,

•/zEAF=2zDAF,

・•.NEAF=NDOF,

/.AEllOD,

/AE±EF,

.-.OD±EF,

・•.EF是。。的切线；

(3)解：•.NEAD+NADE=90°,

/.zDAF+zADE=90°,

•.zBDF+zADE=90°,

.'.zDAF=zBDF,

.'.△ADF^ADBF,

..迪二空二更二，

DBDFBF",

49/55

-/AD2+BD2=AB2=64,

.-.AD2+（返AD）2=64,

3

/.AD=4^3,

.-.BD=4,

.,.tanzDAB=M=,^,