2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）（解析版）

备战2024年高考数学模拟卷

(新高考n卷专用)

01

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合A={M%+l)(x-4)<o},B=^x\lx+a<6^,AnB=1x|-l<x<3},贝!Ja=()

A.6B.4C.—4D.―6

【答案】D

【解析】A={X|-1<X<4},B=1|,

VAnB=1x|—l<x<31,=3,a=-6,

故选：D.

71

2.已知丁一=1一，则同=().

1+1111

A.J2B.变C.2D.1

2

【答案】C

719

【解析】由3=l,=l+i,得z=(l+i)2=2i,

则彳=—2i,所以同=2.

故选：c.

3.已知〃x)=sin]s-T(0eN)的图象与直线y=”在区间[0,可上存在两个交点，则当。最大时，曲线

y=的对称轴为()

兀攵兀，〜一兀％兀，〜

A.x=-----1,kGZB.x=1,kGZ

244305

—571kli[~—itku,

C.x=1—,kGZD.x=—l,kGZ

24465

【答案】D

【解析】当xe[O,对时吟-枭,

要使得f(x)的图象与直线>存在两个交点，

71711ITCATT,口535

贝」7<兀6y—，解得，

232oo

又因为GGN,所以GE{L2,3,4,5},所以4ax=5,

此时曲线y=f(x)的对称轴为5x-g=]+E,左eZ,

&Rzi=t兀kiL

解传x=:+-—,左wZ,

65

故选：D

4.函数〃无)=17^―的图像大致为()

Inh/x+l-x

【解析】设g（尤）=ln（V?W—目,

对任意xeR,,尤，+1>|x|>x,

所以，d+l-x>0,

所以g(x)的定义域为R，

1

=ln=-ln

J%?+1—x

所以函数g(%)=lnJV+i—x)为奇函数.

令g(x)=In(A/X?+1一x)=0,

可得+1_%=1，即J九2+]=%+],

所以x+120,可得x2—l,

由JX2+1=x+]可得％2+]=(%+1)2,解得％=0,

2X+2-X

所以〃x)=的定义域为{尤|尤片0},

InyJx+l-x

2T+2XTx+2X

又==-〃x),

g(f)g")

所以函数/(x)为奇函数，排除BD选项,

x)=ln共二是减函数,

当x>0时，In+1-

则ln(&+l-x)<ln(，0+l-0)=Ini=0,2"+2r>0,

所以/(x)<0,排除A选项.

故选：C

5.如图，正方形ABC。中，。石=2石C,P是线段跖上的动点，_aAP=xAB+yAD(x>0,y>0),则|+；的

c4+26

A.2近B.D.4

3

【答案】C

22

【解析】正方形ABCQ中，DE=2EC，贝UAO=AE+ED=AE+§CD=AE—,

_,___—一22

而AP=xAB+yAD,贝！JAP=xAB+y(AE~—AB)=(x--y)AB+yAE,

又点B,P,E共线，于是(x-gy)+y=l,BPx+j=l,而尤>0,y>0,

e”11/yl1、4xy、4cxy_4+2百

因此一+—=(%+5)x(z一+—)=一+—+上之一+2,

3xy3y3%3y3x3

巫口时取等号,

当且仅，弋即y=y/3x

2

所以当X二三诋立时,工+工取得最小值3立

2'片2xy3

故选：C

6.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1）,沿

三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2）,对剩下的三个小三角形继续以上

操作（如图3）,按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2,则图4

3773

D.

64

【答案】D

【解析】第一种挖掉的三角形边长为2x；=l,一昱

共1个，面积为lx

4-4

7

2

第二种挖掉的三角形边长为共个,3G

lxg=g,3面积为3x----X

4216

第三种挖掉的三角形边长为汨［,共9个,

29指

面积为9x旦

"Tx464

故被挖去的三角形面积之和是乎+笔+等二萼

故选：D

25

X—2dXH—,X<1

2

7.已知函数〃到=，满足对于任意实数％N%,都有〃%）-〃々）＜0成立,则实数。的

^,x>l国-x2

X

取值范围是（）

A.(1,2)B.[1,2)C.[1,1]D.1,1

【答案】D

【解析】依题意，对于任意实数为工马，都有"百)一"无2)<。成立，

玉一%2

不妨设看<玉，则(检)>。,/(西)>f(%)，

所以f(x)在R上单调递减，

-->1

23

所以件a>0,解得iWaW工

252—(2

r-2a+->----

I21

故选：D

8.已知双曲线[-1=1(">0b>0)右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为81为双曲线的右焦点，若

ab

(TTJI1

AF±BF,设=且ce则该双曲线的离心率的取值范围为()

A.(1,A/2)B.(72,2)C.(也+8)D.(2,+8)

【答案】C

【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为广，连接AF',BF',

因为则四边形AFB尸为矩形,

所以|明=|FF[=2c,

则|AF|=2csina,|BF|=2ccosa.

\AFr\-\AF\=2a.

/.2ccos«—2csina=2a.

即c(cosa-sina)=a,

11

即双曲线离心率的取值范围是（JI+8）,

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆M：x2+y2-4y-5=0,则下列关于圆M的结论正确的是（）

A.点（3,1）在圆M内

B.圆M关于直线x+y-2=0对称

C.圆M与圆O：/+,2=1相切

D.若直线/过点（1,0）,且被圆M截得的弦长为4后，则/的方程为3尤-4y+3=0

【答案】BC

【解析】圆加的方程为炉+（丫-2）2=9,即圆心为（0,2）,半径为3,

对于A：因为3?+。-2）2=10>9,所以点（3,1）在圆加外，故选项A错误；

对于B：因为0+2-2=0,所以圆心在直线上，故选项B正确；

对于C：因为圆。、圆土的圆心距为J（0-21+0=2,两圆的半径差为3-1=2,

所以两圆内切，故选项C正确；

对于D：当直线/的斜率不存在时，其方程为x=l,圆心（0,2）到直线/的距离为1,

直线被圆所截得的弦长为2出口=40，

kxO-2-A:l

当直线/的斜率存在时，设其方程为y=1）,圆心（0,2）到直线/的距离为।],1=1,

y11+k

3

解得上=-：，可得直线/的方程为力-分+3=0,综上所述，直线/的方程为3x-4y+3=0或x=l,故选

项D错误.

故选：BC.

10.下列说法正确的是（）

A.若数据士,々，••，%的方差为1，则新数据玉+1，Z+1，…，龙陵+1的方差为1

B.已知随机事件A和B互斥，且尸（AB）=0.8,P（B）=0.3,则P（K）等于0.5.

C.“。-1”是直线a2x-y+l=0与直线尤-◎-2=0互相垂直的充要条件

D.无论实数九取何值，直线（22一1）彳+（九+3）了一（九一11）=0恒过定点（2,-3）

【答案】ABD

【解析】对于A：若数据为,%,，%的方差为1,则新数据玉+1,%+1,…，和+1的稳定程度没有发生

改变，方差还是1,A正确；

对于B：随机事件A和8互斥，且尸（A3）=0.8,P（B）=0.3,

贝尸（A）=尸（AU3）—尸（3）=0.8—0.3=0.5,

则尸（司=1-尸（A）=0.5,B正确；

对于C：若直线〃x-y+l=0与直线尤一0一2=。互相垂直，贝lj/+（-l）x（-a）=0,

解得a=0或a=—1,

故七二-1”是直线/%7+1=。与直线a"一2=0互相垂直的充分不必要条件，C错误；

对于D：直线（2"l）x+（X+3）y_（"n）=0

/、[x=2

即为（2fT"x+3y+ii=。，令Lf2x++；yy-l+=i0i=o,解得

即无论实数％取何值，直线（2"1户+（/1+3万-（/1-11）=0恒过定点（2,-3）,D正确.

故选：ABD.

11.如图，在棱长为2的正方体A3C。-44GR中，M,N分别是棱4耳，AR的中点，点E在3。上,

点厂在8。上，且3E=CF,点P在线段CM上运动，下列说法正确的有（）

A.当点E是3。中点时，直线EF〃平面DCCQI；

B.直线与A到平面CM2V的距离是变；

2

C.存在点尸，使得48/2=90。；

D.面积的最小值是还

6

【答案】AC

【解析】对于A,由E是3D中点，BE=CF,得点尸是用C的中点，连接BC-显然b也是BG的中点,

连接DQ,

于是EF〃cp,而EfV平面DCG2，DGu平面。CG2,所以直线班〃平面。CG2,A正确;

对于B,M,N分别是棱A片,AR的中点，则BQ//MN,平面CMV,跖Vu平面CACV,于是耳，//

平面CMN,

因此直线BQ到平面CMN的距离等于点2到平面CMN的距离h,

MN=^2,CM=CN=[CD；+DN=7（2^）2+l2=3,

Vc-MND、=-x（—xlxl）x2=—,SCMN=；x应x卜一（*）2=^~'VD「CMNh，

J乙J乙、乙乙D乙

由VJMNDI=YD「CMN，得〃=与叵^,B错误；

以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则4(1,0,2),。(2,2,0),4(2,0,2),〃(0,2,2),

对于C,设AiP=/-MC=《1,2,-2),贝I)+1,2f,—2r+2),PBX=(1-r,-2r,2r),PD}=(-?-1,2-2r,2。"e[0,1],

由N4PR=90。，得尸4=(lT)(—f—1)+(—2。(2-2。+2/2=9/—4f—1=0,解得/=生普，

由于f=2+ji?e[0,]],因此存在点尸，使得487口=90。，C正确；

对于D,由选项C得尸。+12,-2/+2)在的投影点为(0,2,-2f+2),

则P至I」DD、的距离d=7(/+l)2+(2-2r)2=卜Q-|)2+y,

△PDR面积为s=g2・d=1(f一/2+g(re[0,1]),所以当/=1时，s取得最小值为竽，D错误.

故选：AC

12.已知〃x)、g(x)都是定义在R上的函数，且为奇函数，g(x)的图像关于直线x=l对称，则下列

说法中一定正确的是()

A."0)=0B,g(l)=0

C.y=g[f(x)]为奇函数D.y=/[g(x)]的图像关于直线X=1对称

【答案】AD

【解析】解：因为〃尤)是定义在R上的函数，且为奇函数，所以"0)=0,故A正确；

因为g(x)是定义在R上的函数，且g(x)的图像关于直线x=l对称，所以g(l-x)=g(l+x),g。)不一定为

0,故B错误；C明显错误；

因为g(lr)=g(l+尤)，所以y=/[g(x)]的图像关于直线x=l对称，故D正确.

故选：AD

第口卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知（3工-?，彳-：]的展开式中各项系数的和为4,则实数。的值为.

【答案】7

【解析】因为13X-£|[X—的展开式中各项系数的和为4,

令％=1,可得(3—a)(—1)=4,解得&=7.

故答案为：7.

14.已知等差数列｛q,｝,也｝的前"项和分别为S.Z，且宁=藐百，则清=

【答案】217

47

S2〃5

【解析】等差数列也｝,也｝的前〃项和分别为S"Z，且流=了不，

11(%+%)

。6=2〃6=4+4=25n_2x11-517

/工—/+儿一］电+4)工1—4、11+3-47

2

17

故答案为：—

47

15.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知c=4,C=60°,BD=—+DA,则ZMDB

2

的最大值为.

OQ

【答案】-u/-3.52

【解析】由题意,

DC3

BD=—+DA=-DC+CA

22

2

BD=BC+CD，所以消去BD得CD=-(CA+CB)

DA-DB=(DC+CA)-(DC+CB)=^CA-^CB^-^CB-^CA^=-^a2+b2)+^abcos600,

由COS60°="+”76,得/+/=必+1622",当且仅当a=6时等号成立，

2ab

0<4zZ?<16,

.h—6“八13,1,9688

・・JM=-----(16+ab)H-----ctb=—cib-----W------

2550502525

QQ

故答案为：-

16.在棱长为2的正方体ABC。-44G〃中，点加是对角线AG上的点（点〃与A、Q不重合），则下列

.（请填写序号）

①存在点使得平面平面BCQ；

②存在点使得DM//平面

③若AOM的面积为s,贝l]Se

IJ7

④若S、、邑分别是^DM在平面ABCR与平面BBGC的正投影的面积，则存在点M,使得H=邑.

【答案】①②④

①设平面\B.CD与对角线AG交于M,

由BXC1Be】,DC1BQ,

且4CU平面4与。0,CDu平面ABC。，且反CcCD=C,

所以平面A4CD,即36,平面A。”，

所以存在点使得平面AOWL平面BG。，所以①正确;

②连接

由BD〃BR,BD.平面CBQi,耳鼻u平面C2Q,

所以BDH平面CBR,同理由//BO可得A.DII平面CB,D},

乂ADcBD=D,ADu平面A]DB,_06匚平面4。8,

所以平面A"?//平面C8Q,

设平面与AG交于点M,则DMu平面

所以DM〃平面。旦。|,所以②正确；

③连接AD,交A.D于点O,过O点作OM±AG,

在正方体ABCD-AgGR中，

由①BQ，平面A^CD,同理可证ADtL平面ABCXD,,

且OMu平面A5CQ,

所以ADJOM，所以OM为异面直线AD与AC,的公垂线,

根据4。加6,4^2,所以方77=亍，

即。“=如旭=君3=逅，

AC,2A/33

此时\DM的面积为s.DM=-xAiDxOM=-x2y/2x^-=^.

■AD"2233

所以③不正确；

④设点M在平面4月GA的正投影为，在平面的正投影为A/?

如图，因为恒，平面4AGA，

则AG在平面A及GA内的射影为AG，

由MeAC1,则MeACi，

故在点M从AG的中点向着点A运动的过程中，

点Mx也从4G的中点向着点A运动.

由MMl1平面4片GR,则MMJ/AA,,

故当加为AQ中点时，正投影也为AG中点，

此时AQM在平面A瓦GR的正投影的面积=gx2xl=l,

因此，在点M从AG的中点向着点A运动的过程中，

A2Ml的面积即加从1减少到趋向于0,即SIe(0,1),

同理，在点M从AG的中点向着点A运动的过程中，

点”2也从BC「的中点向着点B运动，△AQM2的面积即邑从0开始增加,

当”与A重合时，正投影与8重合,

此时A｛DM在平面BBgC的正投影的面积Sz=S1cB=：x2夜x0=2,

所以$2e(0,2),

故在此过程中，必存在某个点M使得S,=S2，所以④正确，

故答案为：①②④.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.(10分)己知点(-2,1)是角a终边上一点.

sin（兀-a）+cos（兀+a）

(2)若将角a终边绕着坐标原点逆时针旋转!•得到角B的终边，求cos尸的值.

【答案】⑴-3

0、275+715

【解析】(1)因为点(-2,1)是角a终边上一点,

,1V52后11

所以2=卮升、u9tancc=—=—

5-22

sin（兀-a）+cos（7i+a）sina-cosatan-1

sing-^-cos^-^cosa+sina1+tana

(2)将角。终边绕着坐标原点逆时针旋转g得到角夕的终边,

故"=a+1,

所以cos£=cos[a+q]=cosacos3—sinasinq=cosa=—^xL—@x3=-^^l

33525210

18.(12分)已知正项数列｛%｝的前〃项和S,,满足：$“=］寸

(1)求数列｛见｝的通项公式；

(2)记2=翟-,设数列｛2｝的前几项和为求证

16

【答案】(1)%=2〃-1

2

【解析】(1)当〃=1时，"

，解得«1=1.

当时，由S“J等］①，可得I-,②

①—②得：4a„=a；｝-+2an-2an_t,BP(a„+an_x)(a„-an_r-2)=0.

a„>0,

.••{%}是以1为首项，以2为公差的等差数列,

二数列｛%｝的通项公式a“=l+(〃T)x2=2〃-l.

(2)由(1)可得⑤=(1+2；1加="2,

.51〃+11__

一"一〃2(〃+2)2一砧“2("+2刃’

44mL'高-^4

T.,1f,111111111)

乜=4+2++a=T守+*不+三一"+许一西？+刖一谑犷J，

1(111)155

一队4(M+1)2(n+2)2J44-16,

19.(12分)如图，在四棱柱ABC£>-A4GR中，四棱锥R-ABC。是正四棱锥，AD^D.C.

(1)求AQ与平面BCQB,所成角的正弦值；

3

(2)若四棱柱ABCD-A4GR的体积为16,点E在棱A3上，且AE=《AB,求点G到平面人65的距离.

【答案】

c、12屈

-----

59

【解析】（1）因为四棱锥2-ABC。是正四棱锥，连接AC、B£＞交于点。，则AC4BD,

连接20,则Z）。，平面ABCD,所以。4。民两两垂直.

如图所示，以点。为坐标原点，。4。民。2所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-DZ,

设OA=Q(4>0),因为AD]_L_D]C,AD{=D{C0D}=a,

设8,与AC交于点尸，则尸为32的中点,

所以0(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),D(0,-a,0),Dx(0,0,a),

,吟f

nBC=0

所以3。二（一〃,一〃,0）,。。1="）1=（044）,设平面BCG用的一个法向量为。=（无y"）,则有，

,

n-CCl=0

/曰\-ax-ay=0

w]八'

[ay+az=v

取z=L得〃=(1,-1,1),

2

直线AG的一个方向向量为t=~AF=「J』)，

设AG与平面BCC.B.所成角为0,

t-n|(-2)xl+lx(-l)+lxl|J2

WBJ(-2)2+F+俨J12+(一[)2+]23

所以直线AG与平面BCG月所成角的正弦值为—.

3

（2）因为四棱柱245。。—4片££）1的体积为丫=5钻8。。1=（夜。）2〃=16,所以〃=2,

由（1）知,0（0,0,0）,A（2,0,0）,5（0,2,0）,C（—2,0,。）,。（0,—2,0）,“（0,0,2）,

AB=（—2,2,0）,BC=（—2,—2,0）,。。]=（0,2,2）,。£=（0,2,2）.

32

因为A£=gA3,贝fjM=gA5,

所以AE=AE—=—AB—DDX=^——,——,—2^,

EC=EB+BC=-AB+BC=0]f

5I55J

-/-2zr=0

55

设平面A^c的一个法向量为a=（YV，z）,则有1,得《

m-EC=0--x'--y'=0

取z'=1,得机=（3,—7,1）,

——\m-CC\|3x0+(-7)x2+lx2|12J59

所以点C1到平面第E的距离为LJ=J_—।=”也.

Hj32+(-7>+F59

20.(12分)第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务

亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融・爱答亚运”知识挑战赛.挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战

者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜.若赛制要求挑战者先答题，守擂者和

挑战者每次答对问题的概率都是0.5,且每次答题互不影响.

(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少？

⑵在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少？

(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之

二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利.若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并

说明理由.

【答案】⑴0.25

⑵！

3

(3)没有增加，理由见解析

【解析】(1)设事件A为挑战者获胜，事件B为不多于两次答题比赛结束.

P(A18)=0.5x0.5=0.25.

(2)设尸为先答题者获胜的概率，贝IJ尸=0.5x(0.5+0.5尸)，解得P=；,

所以挑战者获胜的概率是:.

（3）设随机变量X为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，片为此时挑战者获胜的概率;

y为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，鸟为此时挑战者获胜的概率.

^=P(X>6)=C：

6=P(XN7)=C；

显然，£＞巴，即该挑战者胜利的概率没有增加.

22

21.（12分）已知椭圆M：亍+a=1（。＞6＞0）,点片（-1,0）、。（一2,0）分别是椭圆M的左焦点、左顶点,

过点片的直线/（不与x轴重合）交椭圆M于A,8两点.

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）若4仅,⑹，求二AO3的面积;

（3）是否存在直线/,使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明

理由.

22

【答案】（1）乙+工=1

43

⑵半

（3）不存在，理由见详解

【解析】（1）由左焦点片（T，。）、左顶点C（一2,0）可知：c=l,a=2,贝Ij62=〃-c2=3,

2