三角函数知识点总结与方法训练-2024届高三数学一轮复习

学生：科目：高三数学教师：

时间：年月日讲义主题：三角函数图象与性质方法总结

一、三角函数的图像和性质：(其中左ez)

y=sinxy=cosxy=tanx

*

yy

图象

飞4Vlyr44

/f7n1r

定义域RXX^K7l-\­——,kGZ>

2J

值域[-1,1[-1』R

当x=2k7t+%(kGZ)当x=2左％(左eZ)时，

；

时，Nmax=1；Vmax=1既无最大值也无最小

最值当x=2k兀+7i

当x=2版■—丘z)时，值

(ZeZ)时，ymin=-1.

Vmin=-1•

周期性2〃2万71

奇偶性奇函数偶函数奇函数

在2^-—+—

22_在\2k7T~7V,2k/c\GZ)

在[—*»+f]

(k£Z)上是增函数上是增函数；

单调性

…nAt37c在[2左1,2左"+万]

在2kji+-,2左万H——(左eZ)上是增函数.

(左wZ)上是减函数.

(keZ)上是减函数

对称中心对称中心

(^,0)(^GZ)(左万+],()](%eZ)寸称中心

g,01eZ)

对称性对称轴(

对称轴

x=k兀+eZ)后对称轴

【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是

在定义域内，将三角函数式化为j=Hsin®x+c)+3的形式，然后再求解.

⑶求函数,其x)=Hsingx+0)(0>O)的单调区间常用换元法：将公\，+。作为一个整体，若

求单调增区间，令cax+12tot-2阮+,(^EZ)；若求单调减区间，则令ox+

归2E+S2fcr+誉i#GZ).值得注意的是，若3<0,则需要利用诱导公式将其转换为贝x)

=」sm®x+0)(0>O)的形式，再用换元法求单调区间.

对称轴：G)X+<pF=对称轴公式求X；对称中心：OX+声对称中心横坐标公式求X,对称中心则为(X»B)

(1)五点法作丁=Asin3c+o)的简图，设『=0¥+0,取0、y>万、三、2TZ■来求相应x的

值以及对应的y值再描点作图。--

(2)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。

(3)形如y=Asin(ox+o)的函数：

(1)几个物理量：A—振幅；/=!■一频率(周期的倒数)函数

T

y=Asin(oiv+(p)+B(其中A>0,co>0)；最大值是A+B,最小值是B-A,

⑴『=3(9")+小>。…>。)，则人与女的确定方法由下列公式确定：即

一，,At•

⑵振幅为A,周期是T=二，频率是/=卫，相位是好+0,初相是°；其图象的对称轴是

O)2%

直线5+夕=k7v+^(kGZ),凡是该图象与直线y=3的交点都是该图象的对称中心。

一、三角函数值与最小正周期

171

1、函数y=Asin(0v+0)和y=Acos@v+0)的周期都是T

2、函数y=Atan(@:+o)的周期都是T=「

37r

3、函数y=4cos①x的最小正周期为—，则co=.

7T

3.函数产2cos(3x+j的最小正周期为=.

4.函数产cosx的最小正周期为=.

5、函数〃x)=2sin2x-cos2x的最小正周期为()

n71

A•乃B.2»C.—D.一

24

3

6.已知角。的终边经过点P(九,一3),且tana=——，则cosa=()

4

3444

A.±—B.±-C.----D.

5555

7^已知cos%=—,则COS2JT=

4

1111

A.——B.-C.—D.—

4488

4

8、若a,尸为锐角，sina=—,cos(cif+J3)=得，则sin"等于()

1656847

A.—B.——C.—D.—

65656565

9、已知函数/(x)=sin2x+£,(1)/(A)=1,A=，(2)f(B)=-l,B=

(3)f(C)=-^,C=(4)函数零点：

10、已知函数/(x)=co13x—(l)f(A)=l,A=,(2)f(B)=-l,B=

(3)/(C)=^,C=(4)函数零点：

二、三角函数的单调性与对称性

y=sinx,五个关键点：(0,—)(1,_)(»,_)(y,_)(2乃,一)

1.最值：

当且仅当x=时，y=sinx取得最大值____

当且仅当x=时，y=sinx取得最小值____

2.单调性

正弦函数丁=sinx,在每一个闭区间(keZ)上都是增函数，其值从—增大

到—.在每一个闭区间(keZ)上都是减函数，其值从—减小到—.

3、对称轴：.对称中心：如：已知函数f(x)=2sin(xnx+(p)对

任意x都有f(三+x)=f(三-x),则|f(2L)|=

666

y=cosx,五个关键点：(0,—)(y,_)(乃,_)吟，—)(2万,—)

1.最值：

当且仅当x=时，y=sinx取得最大值____

当且仅当％=时，y=sinx取得最小值____

2.单调性

正弦函数丁=sinx,在每一个闭区间(keZ)上都是增函数，其值从—增大

到—.在每一个闭区间(keZ)上都是减函数，其值从—减小到—.

3、对称轴：.对称中心：如：已知函数f(x)=2cos(xnx+(p)

对任意x都有f(工+x)=f(2L-x),则|f(2L)|=

666

【例1】、求函数y=sin(2x+g)的单调减区间、取最小值时的x值、对称轴和对称中心及在区

间［-色二］上的值域.

33

【例2】、求函数y=3co«2x-(的单调增区间、取最大值时的x值、对称轴和对称中心及在

区间0,-上的值域

2

【例3］.已知函数/(x)=sin3x—Gcos3x,则在下列区间使函数/⑺单调递减的是()

57rlnn

C.D.

24

【例4】函数y=tan[2x+3J的图象()

A.关于原点对称B.关于点对称C.关于直线x=-£对称D.关于点[:,()]对称

【例5】设函数〃x)=cos12x-/给出下列结论：

/(%)的一个周期为〃②y=/(尤)的图象关于直线》=今对称

③产/⑺的图象关于点对称④/(%)在高看单调递减

其中所有正确结论的编号是()

A.①④B.②③C.①②③D.②③④

【巩固练习】

1、函数y=sin(2x+m)的图像的对称轴方程是=,

2.函数y=cos(2x+g)的图象的一条对称轴方程是()

7171

A.x="fB-x------c.X--D.X=71

48

3.函数y=-cosg-[)的单调递增区间是()

42-42一

A.2k兀——712k兀+—7i(左EZ)B.4k兀-—兀,4k7v+—(k£Z)

L33J

二72c78

C.2k兀+—兀2女兀+一〃(左eZ)D.4k兀+乙兀,4k兀+0兀(^GZ)

一3333

4、已知函数〃x)=sin2x+?,则下列结论中正确的是

(A)函数4％)的最小正周期为2兀(B)函数了⑴的图象关于点对称

(C)由函数"％)的图象向右平移1个单位长度可以得到函数丁=而2工的图象

(D)函数/(%)在区间上单调递增

三、三角函数的奇偶性

y=Asinwx是奇函数，y=Acoswx是偶函数.

jr

y=Asin(cox+(p)为偶函数时(p=—+k兀，为奇函数时(p=kjc

2

y=Atan(cox+(p)为奇函数时cp二k冗(keZ)

7T

y=Acos((ox+(p)为偶函数时(p=k;i,为奇函数时(p=—+k%

2

【例1】判断下列函数的奇偶性:

3兀71

(1)/(x)=cos(2^--x)-x3sinx;(2)y=sin(x-)(3)y=x+cos(x+—)

2工

jr1

【例2】函数/(x)=sin2(z-x)-万是()

A.最小正周期为万的偶函数B.最小正周期为万的奇函数

C.最小正周期为5的偶函数D.最小正周期为券的奇函数

【巩固练习】

1、函数y=sin3x+x的奇偶性是______,函数y=cos5x+3的奇偶性是______,函数

y=s沅仔-2d的奇偶性是

2、已知函数/(x)=奴+"苏》+1(。乃为常数)，且"5)=7,则/(-5)=

3、设«v)=(ax2+l)sinx,其中a为常数，则火工)是()

A.既是奇函数又是偶函数B.奇函数

C.既非奇函数也非偶函数D.偶函数

5、已知函数/(x)=cos(2x-9)为奇函数，则0

四、三角函数的值域与最值

(1)y=asinx+b(或y=acosx+b)型，利用|sinx|W1(或|cosx|W1),即可求解，此时必须注意字

母a的符号对最值的影响。

(2)y=asinx+bcosx型，引入辅助角0,化为y=Ja?+&sin(x+O)，利用函数卜in(x+°l<1即

可求解。

1例11函数y=-2sinx-l的最大值及取得最大值时xj，的值是（）

A.y=ln=彳B,y=ln=2fai+.:氏Z

22

3兀冗

C.y=ln=-D.y=l,x=2far-~氏Z

TT_

【例2】已知函数/（x）=2sin（（yx—：）—1（。＞0）的周期是万.

6

（1）求/'（X）的单调递增区间；

（2）求八龙）在［0,耳］上的最值及其对应的工的值.

［例3］已知函数/（x）=2sinxcosx—2sin2x+l.

（1）求的值；

（2）求/（司的最小正周期；

（3）求〃力在区间-于。上的最小值.

【例4】函数於）=sin（2x一守在区间0,方上的最小值为

【例5】函数产石sin%+cosx的最大值是（）

【例6】函数y=；sinx-坐cos期值域是（）

AR当B.[-i1]C[当当D-[-l=l]

【例7】函数产cosx(-60。^烂60。)的值域是

【例8】已知sinx-cosx=2a-3,求。的取值范围.

【巩固练习】

y=—sin(2x+—)+—

1、函数"264的最大值为,最小值为

2^函数y=2cos(x-—)(—WxW24)的取值范围是

363

3、若/(x)=sing,则f(l)+f(2)+f(3)+...+f(2023)=

4、使等式sinx=tz+l有意义的a的取值范围是区间=

7T31

f(x)=a-bcos(2x+-)(6>0)-

6

5、已知函数的最大值为2,最小值为〜

⑴求a,b的值；

q(x)=­4aszn(6x-)

(2)求函数,3的最小值并求出对应x的集合.

五、函数图象变换

函数的平移变换：

①y=/(%).y=/(x±a)(a>0)将y=/(x)图像沿X轴向左(右)平移。个单位(左加右减)

②y=/(x)fy=/(x)土地>0)将y=/(x)图像沿y轴向上(下)平移。个单位(上加下减)

冗

cos%=sint+—sint=cost

I2

③函数图像平移异名化同名的公式:

函数的伸缩变换：

①y=/(x)-y=/(wx)(w>o)将y=/(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的工倍

(w〉l缩短，0<w<l伸长)

②…/(x)(A>0)将y=/(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍

(A>1伸长，0<4<1缩短)

［例1］如何由y=sinx的图像得到y=2sin［3x-［)的图像

方法一：y=sinxy=sin［x—y=sin［3x—y=2sin^3x-^

方法二：y=sinxy=sin3xy=sin［3x—y=2sin(3x一(

［例2］如何由y=gco{2x+［的图像得到y=cos%的图像

【例3］下面函数图象是由函数向平移个单位长度得到。

【例4】为了得到函数y=sin［2x+?J的图象，可以将函数尸sin12x+；|的图象()

A.向左平移2个单位长度B.向右平移［个单位长度

C.向左平移［个单位长度D.向右平移［个单位长度

【例5】函数y=sin2x的图象可由函数>=<^