打卡第二天-冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通

用）

新高考真题限时训练打卡第二天

一、单选题

1.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I））已知集合

M=1x|-4<x<21,N={x|x2—x—6<0},则McN=

A.B.{X\-A<X<-2]C.{X|-2<X<2}D.{X|2<X<3}

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴

法，利用数形结合的思想解题.

【详解】由题意得，M={x[T<x<2},N={x|-2<x<3},则McN={x卜2Vx<2}.故选

C.

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包

括二者部分.

2.（2020年新高考全国卷I数学高考试题（山东））芸=（）

1+21

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【分析】根据复数除法法则进行计算.

2-i（2-i）d-2i）-5i

【详解】1+2厂（l+2i）（l-2i）5故选：

【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.（2020年新高考全国卷II数学考试题文档版（海南卷））在/WC中，。是AB边上的中

点，则CB=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2CD-CA^j^：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

4.(2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I))古希腊时期，人们认为最美人体

的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是牛好•巾.618,称为黄金分割比例),

著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之

比也是更二1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长

2

度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.

【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则

生=至土土=避二L得X。42.07。%、=5.15cm.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的

xy+1052

长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.

【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，

利用转化思想解题.

5.(2020年新高考全国卷H数学考试题文档版(海南卷))已知函数/(x)=lgQ2-4x-5)在

上单调递增，则a的取值范围是()

A.(2,+co)B.[2,+oo)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【答案】D

【分析】首先求出/(x)的定义域，然后求出;■。)=电(/一4彳-5)的单调递增区间即可.

【详解】由/一4彳-5>0得x>5或x<-1所以f(x)的定义域为(YO,-1)55,3)

因为y=工2-4x-5在(5,+8)上单调递增，所以/(%)=Ig(x2-4x-5)在(5,包)上单调递增

所以。之5故选：D

【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

,>2

6.(2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标H))设尸为双曲线C：与-4=1(«>0,

〃>0）的右焦点,0为坐标原点，以OF为直径的圆与圆/+产=。2交于尸、。两点.若FQ|=|OF|,

则C的离心率为

A.41B.6

C.2D.后

【答案】A

【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双

曲线的离心率.

【详解】设尸。与x轴交于点A,由对称性可知轴，

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑

几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲

线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.

二、多选题

7.（2020年新高考全国卷H数学考试题文档版（海南卷））我国新冠肺炎疫情进入常态化,

各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

【答案】CD

【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复

产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可

以判定CD正确.

【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10

天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所

以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

由图可知，第3天至第H天复工复产指数均超过80%,故C正确；

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；

【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，

难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.

8.（2020年新高考全国卷I数学高考试题（山东））下图是函数产sin（3x+0）的部分图像，

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定。的值，然后确定夕的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导

公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：2=马兀一々=々、则网=§=女=2,所以不选A,

23627TC

271_q

不妨令/=2,当_3乃+6_5乃时，y=2x—+^=—+2^（^eZ）,

X———I、

212

解得：。=2版•+§乃/£Z）,即函数的解析式为：

y=sin2x+一乃+2々乃=sin2XH----1■•—=cos2x-i■—=sin2x.

I3）I62jI6jUJ

而cos（2x+«）=-cos（-^—2x）故选：BC.

【点睛】已知f（x）=Asin（3x+（p）（A>0,3>0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图

得出，困难的是求待定系数3和（P，常用如下两种方法：

（1）由3=点2万即可求出3;确定<p时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零

点“横坐标xO,则令3XO+（P=O（或o）xO+<p=n）,即可求出（p.

（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形

解出3和（P，若对A,3的符号或对（？的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

三、填空题

9.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H））已知Ax）是奇函数，且当》<0时，

/（月=-记.若/（1112）=8,则。=.

【答案】-3

【分析】当x>0时一x<0,/（x）=-/（-*）=e-«代入条件即可得解.

【详解】因为Ax）是奇函数，且当x>0时—x<0,/W=-/（-X）=6<-M.

又因为ln2e（0,l）,/（In2）=8,

所以e-"n2=8,两边取以《为底的对数得-aln2=31n2,所以-a=3,即〃=-3.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算.渗透了数学运算、直观想象素养.使用

转化思想得出答案.

10.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II））中国有悠久的金石文化，印信是

金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤

信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多

面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点

都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,

其棱长为.

图1图2

【答案】共26个面.棱长为血-1.

【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，

平面几何解决.

【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半

正多面体共有18+8=26个面.

如图，设该半正多面体的棱长为x,则A3=3E=x,延长BC与FE交于点G,延长BC交

正方体棱于“，由半正多面体对称性可知，AfiGE为等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,:.GH=2x显x+x=（V2+l）x=b

22

•."=7占=夜-1,即该半正多面体棱长为

【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，

题目其实很简单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能

力，快速还原图形.

四、解答题

11.（2020年新高考全国卷I数学高考试题（山东））已知公比大于1的等比数列｛““｝满足

a2+q=20吗=8.

（1）求他“｝的通项公式；

（2）记0为&｝在区间（0,W］（meN-）中的项的个数，求数列｛九｝的前100项和S侬.

【答案】（1）4=2"；（2）Sloo=48O.

【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为4,4的形式，求解出4M，由此求得

数列｛%｝的通项公式.

（2）方法一：通过分析数列也“｝的规律，由此求得数列也,｝的前100项和

【详解】（1）由于数列｛4｝是公比大于1的等比数列，设首项为4,公比为夕，依题意有

20,解得解得4=2,q=2,或q=32,q=：（舍）,

a,q~=82

所以4=2”,所以数列｛q｝的通项公式为a„=2".

（2）[方法一]:规律探索

由于2=2,2?=4,23=8,2,=16,=32,2$=64,27=128,所以

4对应的区间为（。用,则4=o；

&么对应的区间分别为（0,2],（0,3],则H=4=1,即有2个1；

么也也也对应的区间分别为（0,4],（0,5],（0,6],（0,7],则仇=4="="=2,即有22个2；

瓦力9,，九对应的区间分别为（0,8],（0,9],,（0,15],则4=。==砥=3,即有2,个3；

篇，如，，“对应的区间分别为（0/6],（0,17],,（0,31],则%=%==%=4,即有24个4；

期也3，也3对应的区间分别为（0,321,（0,33],,（0,63],则42=%=1=%=5,即有2$个5；

心也5，L,瓦X）对应的区间分别为（0,641,（0,65],,（0,100],则3=%=L=4co=6,即有37

个6.

所以=1x2+2x22+3x23+4x2"+5x25+6x37=480.

[方法二]【最优解】：

由题意，2"<m,即〃Wlog?"?,当机=1时，4=0.

当加£[2",27一1）时，b,“=k,kwN「贝！|

Soo=〃+（4+&）+（2+&++伪）+（42+43++力63）+（%+%++4oo）

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6x37=480.

[方法三1:

由题意知0=%,m因此，当机=1时，4=0；机e[2,4）时，篇=1；相€[4,8）时，

b,„=2；机e[8,16）时，Z?„,=3；，〃€[16,32）时，耙=4；，“e[32,64）时，bm=5；me[64,128）

时，2,=6.

所以，00=仿+4+4+为++伉00

=0+（1+1）+（2+2+2）++（6+6++6）

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6x37=480.

所以数列也｝的前100项和5侬=480.

【整体点评】（2）方法一：通过数列｛为｝的前几项以及数列｛〃,,｝的规律可以得到小打，，狐。

的值，从而求出数列｛粼｝的前100项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式

可得数列｛0｝的通项公式，从而求出数列｛耳｝的前100项和，是本题的最优解；方法三，是

方法一的简化版.

12.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I））已知抛物线C：V=3x的焦点为凡

斜率为3的直线/与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

⑴若|AQ+IM=4,求)的方程;

(2)若=求|A8].

【答案】⑴12x-8y-7=0；（2）生叵.

3

【分析】（1）设直线/：丫=3+相，A（x,,y）,双芍由）；根据抛物线焦半径公式可得3+为=，

联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于用的方程，解方程求得结果；（2）

设直线/：x=；y+f；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用AP=3P8可

得乂=-3%，结合韦达定理可求得,必；根据弦长公式可求得结果.

【详解】（1）设直线/方程为：y=^x+m,A（x,,yJ,8（孙力）

4S

由抛物线焦半径公式可知：|AF|+|BF|=x,+"2+5=4♦•♦玉+工2=5

_3

22

联立)2，+"'得：9x+(12m-12)x+4An=0

丁=3九

1

则△=(12小一12『一144"2>0；/.ni<—

2

12/21-12=|,解得:7

Xy+%2=一m=­

98

37

..直线/的方程为：?=即：12x-8>-7=0

2o

（2）设尸&0）,则可设直线/方程为：x=jy+t

_2

联立得：丁-2),-3/=0贝必=4+12/>0•1>-§，y+y2=2,A%=_3f

y2=3x

AP=3PB=-3y2y,=3¥%=_3

则IAB卜Jl+[-7（＞'I+＞，2）2-4＞I＞，2=平-J4+12=生普

【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、

弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.

13.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I））为了治疗某种疾病，研制了甲、

乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两

只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮

的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多

4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮

试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施

以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未

治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和。，一轮试验中中药的得分记

为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，P,(/=O,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时,

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则为=0,R=l，Pt=aPi+bp：+cpm(i=1,2,,7),

其中a=尸(X=-1),b=P(X=O),c=P(X=l).假设a=0.5,Z?=0.8.

⑴证明：{PM-P,}(i=0,1,2,,7)为等比数歹ij；

(ii)求P4，并根据P,的值解释这种试验方案的合理性.

【答案】(D见解析；(2)(i)见解析；(ii)幺=3.

【分析】(1)首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分

布列；(2)(i)求解出仇c的取值，可得Pj=0.4p,T+0.5pj+0.1pM(i=l,2,…,7),从而整

理出符合等比数列定义的形式，问题得证；(ii)列出证得的等比数列的通项公式，采用累

加的方式，结合P&和P。的值可求得Pi；再次利用累加法可求出外.

【详解】(1)由题意可知X所有可能的取值为：-1,0,1

；.p(X=—1)=(1—a)夕；P(X=0)=阴+(l-a)(l—⑼；P(X