新教材苏教版高中数学选择性必修第二册 练习 03 共面向量定理

03共面向量定理

目录

☆【题型一】共面向量的概念..........................................................................ɪ

☆【题型二】共面向量定理............................................................................2

☆【题型三】利用共面向量定理证明向量共面...........................................................3

☆【题型四】利用共面向量定理证明线面平行...........................................................4

☆【题型五】空间四点共面的条件.....................................................................6

☆【题型六】利用共面向量定理证明空间四点共面.......................................................9

☆【题型一】共面向量的概念

【例题】在平行六面体/88—48∣GDl中，向量屈1,讹，彳百是（）

A.有相同起点的向量B.等长向量

C.共面向量D.不共面向量

【答案】C

【详解】如图所示.向量屈!,由二方不是有相同起点的向量，故A错误；三个向量的模不一定相等,

故B错误；又在平行六面体∕8CO-48∣Gd中，∖'AC=A↑C∖,而线段DM,D↑C,4C构成aA∕C的三

个边，故向量说!,亦，彳君'是共面向量，故选C.

【变式训练】

L（多选）下列说法错误的是（）

A.空间的任意三个向量都不共面

B.空间的任意两个向量都共面

C.三个向量共面，即它们所在的直线共面

D.若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面

【答案】ACD

2.下面关于空间向量的说法正确的是（）

A.若向量α,6平行，则a,b所在直线平行

B.若向量α,6所在直线是异面直线，则”，6不共面

C.若N,B,C,。四点不共面，则向量法，无不共面

D.若/,B,C,。四点不共面，则向量法,就，而不共面

【答案】D

【详解】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，

故B,C错误；由向量平行与直线平行的区别，可知A错误；因为/8,AC,是空间中有公共端点/但

不共面的三条线段，所以向量法,病，疝不共面.故选D.

☆【题型二】共面向量定理

【例题圮知A,8,P共线，°为空间任意一点（OtXtB不共线）,且存在实数a,0,使0P=aO4+0OB,

求1+£的值.

【分析】分析可知存在加eR使得苏=加而，利用空间向量共线的基本定理可求得α+夕的值.

【详解】因为A,B,尸共线，则存在加∈R使得方=加在，即况—而=加（历—07）,

所以，。尸=（1+加）。!一,又因为丽=αE+/?而，则α+夕=（1+加）一"?=1.

【变式训练】

1.对于空间的任意三个向量α,b,2a-b,它们一定是（）

A.共面向量B.共线向量

C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量

【答案】A

【详解】由向量共面定理可知，三个向量％b,2α-b为共面向量.

2.已知就，而是空间两个不共线的向量，MC=3MA-2MB,那么必有（）

X.MA,证共线Q.MB,流■共线

C.MA,MB,诜共面D.MA,MB,证不共面

【答案】C

【详解】由共面向量定理知,届,施，欣7共面.

2.如图，在长方体ZBC。一N'B'C'D'中，向量",ADr,防是向量（填“共面”或“不共

面”）.

【答案】共面

【详解】ABr+B'D'^ADr,而近)=B'D；,

所以"+BD^ADr,所以衣,ADr,访是共面向量.

☆【题型三】利用共面向量定理证明向量共面

【例题】己知48,C三点不共线，平面/8C外一点M满足改=15+1协

333

(1)判断而，MB,加7三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面/8C内.

【详解】(1)因为%+为+灰1=3血，

所以为一血=(而一励)+(∂⅛—南，

所以麻=病+砺=一话—庆，

所以向量届，MB,庆共面.

(2)由(1)知向量届，MB,谎共面，

而它们有共同的起点M,且48,C三点不共线，

所以点M48C共面，即点M在平面NBC内.

【变式训练】

1.已知向量诵，诙分别在两条异面直线上，MN分别为线段/C,8。的中点，求证：向量次，CD,MN

共面.

【详解】证明：MN=MA+AB+BN,MN=MC+CD+DN,

两式相加得2疚=届+欣r+J⅛+δb+丽+5k

又因为届十证=0,BN+DN=O,

所以2疝=前+δb,

BPΛ⅛=⅛+⅛,

22

所以∕⅛,CD,而共面.

2.如图，在四面体P48C中，点M,N分别为P/,尸B的中点，问：丽与就，怒是否共面？

【答案】而与锭,%共面.

【详解】因为MN=PN—PM=—PB——PA=-(PB-PA]=-AB^-AC一一BC.

222、>222

所以砒与灰，％共面•

☆【题型四】利用共面向量定理证明线面平行

【例题】如图，已知矩形/58和矩形NDEF所在平面相交于/O,点M,N分别在对角线8。，AEl.,

且=‘80,AN=LAE.求证：MN//平面CDE.

33

【分析】要证明MN//平面CDE,只要证明向量丽可以用平面C。E内的两个不共线的向量诙和反

线性表示.

【详解】证明如图，因为〃在8。上，且

3

—■1—■1―■1―-一1—•1―■1—■

所以MB=—DB=-D4+-AB.同理ZN=-ZE=—4。+—。E.

333333

又丽=画=-赤

所以丽=砺+①+京=∣∣Λ4+∣∑g∣+æ4+[+JBA+DECD+DE.

又丽与万万不共线，根据共面向量定理，可知而，CD-反共面.

因为MN不在平面CDE内，所以初V//平面COE.

【变式训练】

1.如图，四棱锥尸-ZBC。的底面是平行四边形，M是尸。的中点，求证：P4//平面BMD.

【分析】连接4C交80于。，连接。〃，得OM//AP,利用线面平行的判定定理即可证得.

【详解】证明(方法1)证明：连接ZC交8。于。，连接OM.

因为ZBC。是平行四边形，所以。是ZC中点.

因为"为PC的中点，所以OM//ZP.

因为P4«平面BDE,OMu平面5。/，所以24//平面8Λ∕D.

（方法2）++UD+DA=PM+CB+MD=MC+CB+MD=MB+MD

因为痂与必行不共线，所以沙与赤，必万共面，

又尸ZZ平面BMD,所以P4//平面BMD.

2.如图，在底面为正三角形的斜棱柱N8C—48IG中，。为/C的中点.

求证:481〃平面CiBD

【详解】证明记48=α,AC=b,AA↑-c,

则成ι=α+c,DB^AB-AD=a--b,DCi^DC+CC↑^-b+c,

22

所以法+比I=α+c=与I,

又命与53不共线，

所以施1,加，皮洪面.

又由于∕8∣不在平面G8。内，所以/8|〃平面G8D

【总结】如果两个向量”，6不共线，则向量P与向量明〃共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使

P=Xa+功.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量明》不共线”的要求.

3.如图，已知斜三棱柱Z8C∕山∣C∣,在NCl和BC上分别取点使M/=函∣,BN=kBC,其中0<

kWl,求证：MN〃平面4BBA.

【详解】证明因为施=标'∣=A∙(与I+石+南，AN^AB+BN^AB+kBC,

所以疝=而一嬴=(l—k)赢一k筋i,

所以加与向量前，筋I共面.

而MN。平面48814，

所以MN〃平面∕88M∣.

☆【题型五】空间四点共面的条件

【例题】在平面向量中有如下结论：

已知37，砺不共线，^OP=xOA+yOB>且x+V=l,则尸，A,B三点共线.

你能据此得到空间向量中类似的结论吗？

【分析】通过猜想得到类似的结论，通过向量法证明结论成立.

【详解】类比上论，猜想：已知而，OB,反不共面，若而=xN+y赤+z5δ,且x+y+z=l,

则尸，A,B,C四点共面.

证明如下：

由x+y+z=l,可得x=l-y-z.

则OP=XO4+yO8+z反-(l-y-z)OA+yOB+zOC=OA+y^OB-OA^+z^OC-OA^,

所以加一E=yN5+zN?,即=y方+Z*.

由4,B,C三点不共线，可知而和祝不共线，

所以万，~AB>X共面且有公共起点4.从而尸，4,B,C四点共面•

【变式训练】

1.设空间任意一点O和不共线的三点4B,C,若点P满足向量关系3>=xa+yδ⅛+z灰？

（其中x+y+z=l）,试问：848C四点是否共面？

【分析】通过分析，将判断A48,C四点是否共面转化为空间向量是否共面.即要判断巴48,C四点是否

共面，可考察三个共起点的向量成，AB,而是否共面.

【详解】由x+y+z=l（不妨设xWO）,可得X=LZ—y,

则∂>=（l-z-y）%+y无+z衣—亦）+z（历一届），

所以3>一a=武励一^4）+z（灰7一晶），即万=通+zk.

由A,B,C三点不共线，可知诵和太不共线，

所以万，AB,公共面且具有公共起点/,从而248C四点共面.

2.（多选）对空间任一点。和不共线的三点力，B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是（）

∖.OP^OA+OB+OC

^.OP=-OA+-OBjT-OC

333

C.OP=-OA+-OB+-OC

488

D.OP^20A-OB-OC

【答案】BC

【详解】（方法1）A选项，OP=OA^OB^OC,不能转化成成=X厢+y元的形式，所以A不正确；

B选项，V5>=⅛+∣δβ+⅛,：.WP=OAA-OB+OC,：.OP-OA=（OB-OP）+（OC-OP）,

：.AP^PB+PC,：.PA^~PB~PC,：.P,A,B,C共面.故B正确；

C选项，+∣δβ+⅛=⅛+AB）+^OA+AC）^OA+⅛+∣^C,.

：.OP-OA^-AB+-AC,

88

Λ^P=⅛+⅛,

由共面的充要条件知P,A,B,C四点共面，故C选项正确；

D选项，OP^2OA-OB-OC,无法转化成瀛=X而+），记的形式，所以D项不正确.

（方法2）点尸与4,B,C共面时，对空间任意一点。，都有∂>=x亦+贯系+z无，且x+y+z=l,

可判断出只有选项B,C符合要求.

3.（多选）下列条件中，使朋`与4B,C一定共面的是（）

∖.OM=2>OA-OB-OC

Q.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MBΛ-MC=Q

D.∂Λ∕+O4+δβ+δC=0

【答案】AC

【详解】A选项中，3—1-1=1,四点共面，

C选项中，MA=-MB-MC,；.点M,A,B,C共面.

4.给出下列四个命题：

①若存在实数X,y,使P=Xa+yB,则P与a，反共面；

②若P与a,B共面，则存在实数X,y,使P=Xa+歹儿

③若存在实数X,y,使血=X版+》砺，则点尸，M,A,8共面；

④若点P,M,A,8共面，则存在实数X,y,使丽=X必+y砺.

其中是真命题.（填序号）

【答案】①③.

【详解】①由共面向量定理知，①正确：

②若Z，族共线，则万不与£，区共线，则不存在实数X,A使7=石+远，故②错误；

③由共面向量定理知，③正确；

④若Λ√4"8共线，不与4,共线，则不存在实数X,y,使初尸=xA£4+yΛ∕8，故④错误.

故答案为①③.

5.平面ɑ内有五点4,B,C,D,E,其中无三点共线，。为空间一点，满足为=金为+χj∂+y∂b,嬴=

2xOC+^OD+yOE,则x+3y等于（）

5757

A.-BAC.-D.-

6633

【答案】B

【详解】由点4B,C,。共面得x+y=1,①

2

ɔ

又由点8,C,D,E共面得2x+y=：,②

联立①②，解得X=Ly=~,

63

所以x+3y=Z.

6

6.若点P与不共线的三点/,B,C共面，且对于空间任意一点O,都有5>=∙L晶+2无+2∂b,贝!U=_.

2

【答案】一

2

☆【题型六】利用共面向量定理证明空间四点共面

【例题】在长方体ZBCD—小BCLOI中，点M为。Z)I的中点，点N在ZC上，且/N：Mr=