2022-2023学年山东省济宁市高三年级上册期中考试数学试题2

2022-2023学年第一学期期中质量检测

高三数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合尸=｛划k也（1）｝,集合。=｛yly=2-｝,则（）

A.P=QB.PUQc.Q[PD.PI2=0

*

2.给出的下列条件中能成为的充要条件的是（）

22v

A.xt>ytB.y>yC.lnx>lnyD.e'>e

3.已知数列｛《,｝成等差数列，其前〃项和为S.，若q=5,S3=S”则S“=（）

A.7B.6C.5D.4

4.函数/（力=〈.；I八（是偶函数，贝la,人的值可能是（）

[sin（x-/?）（x>0）

71.兀71.71

A.a=—,b=一B.a=一,b

3336

2兀.712兀75兀

a=——,/?=—D.ci=—=—

3636

已知向量由=（。-5,1）,「=（1,。+1），若，且&丄方，则11

5.------------1------------的最小值为（）

3a+2。2。+3b

丄11

A.B.—C.—D.—

5101520

6.已知函数/（x）=&sinx,函数g（x）的图象可以由函数/（x）的图象先向左平移0">0）个单位长

IJT

度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一®>o）得到，若x=w是函数g（x）的一个

极大值点，*=一己是与其相邻的一个零点，则的值为（）

A——血B.0C.1D.72

7.已知函数/(力=3/一一占+2,且/(/)+/(3。-4)>2,则实数〃的取值范围是()

A.(-4,1)B.(-8D5L+8)

C.(―oo,-1)U(4,4W)D.(—1,4)

第页1

8,设a20222022,c=202『°23,则()

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设等比数列｛为｝的公比为4,其前〃项和为S“，前”项积为Z,,且满足条件4>1,。2022"2023>1，

（出022—1）•（出023-1）<。,则下列选项正确的是（）

A.｛4｝为递减数列

B.$2022+1<^2023

C.4022是数列｛1｝中的最大项D.7^5<1

10.数学家们在探寻自然对数底e=2.71828与圆周率兀之间的联系时，发现了如下的公式:

23n

rtxxxx

(1)e=1H---------1-----------1-----------F...H-----------F...

1!2!3!n\

3

.XvXVXY5d\/?+!01

(2)sinx-------------------1-----------------------F...4-(—1)+

1!3!5!7!v7(2n-l)!'"

v246丫2〃一2

♦XX/-xn+1X

(3)COSX=1---------1----------------------F...4-(-1I-------------;—卜・・.

2!4!6!'丿(2〃-2)!

据此判断以下命题正确的是（）（已知i为虚数单位）

A.eu=cosx+isinxB.eu=sinx+icosx

LvLv

C./+1=0D.|e+e-|<2

11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断,

图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFG”的边长为1,P是正八边形

ABCDEFGH边上任意一点,则（）

图1图2

UUL1tUULUUULU^ULIH

A.A”与CF能构成一组基底B.OA+OC=垃OB

第页2

c.乳在法向量上投影向量的模为+D.荡•防的最大值为3+20

12.设定义在R上的函数〃尤)与g(x)的导函数分别为尸(X)和g'(x),若/(x+2)-g(l—x)=2,

/'(x)=g'(x+l),且g(x+l)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.g(l)=OB.函数g'(x)的图象关于x=2对称

20212022

c.£/(i)g(女)=0D.伙)=0

A=1£=1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设。>0/>0,则使得命题“若ln(a+b)>0,贝iJlna+lM>C”为假命题的一组。,人的值是

-ax+1,x<a,

14.设函数〃x)=、2若/(X)存在最小值，〃的取值范围___________.

(x-2),x>a.

15.若△ABC的边长a,b,c成等差数列，且边。，c的等差中项为1,则

siq+A)+(A&81的取值范围是

16.定义：设函数y=/(x)在m3上的导函数为了'(X),若/'(X)在(。力)上也存在导函数，则称函数

y=/(%)在(。,〃)上存在二阶导函数，简记为y=/"(x).若在区间(。/)上/"(x)>0,则称函数

।I(3、

y=/(x)在区间(。⑼上为''凹函数”.已知/(%)=弓恁"一弓％2Inx—lna—；在区间(0,+e)上为

“凹函数”，则实数a的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.命题P：已知事函数/(x)=(，〃—1)2——+2在(0,+8)上单调递增，且函数

g(x)=；/(x)+4x-31nx在(a,a+l)上单调递增时，实数”范围为集合A；命题，关于x的不等式

2/+1)40的解集为反

(1)若命题P为真命题，求集合A；

(2)在(1)的条件下，若xeA是xeB的充分不必要条件.求实数f的取值范围.

第页3

18.在①（sinA—sinC）tz=（Z?-c）（sinB+sinC）,②=―-—，③sin（B+C）=@cos（8-'］这

cosC2a-c〃I6丿

三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知Y4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,冃.

（1）求角8；

（2）若a+c=6，点。是4c的中点，求线段8。的取值范围.

19.已知〃eN*，抛物线y=一/+〃与x轴正半轴相交于点A,在点A处的切线在y轴上的截距为

（1）求数列｛%｝的通项公式;

4〃cos〃兀

（2）若么=（&_］）g+i），求数列也｝的前项和S,.

20.2022年夏季各地均出现了极端高温天气，空调便成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定

t

律.如果物体的初始温度为北，则经过一定时间f后的温度7满足7—7；其中北是环

境温度，〃称为半衰期，现将一杯80℃的茶水放在250c的空调房间，1分钟后茶水降至75C.（参考数据：

lg3®0.4771,lg5«0.6990,lgll»1.0414)

（1）经研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃,为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等

待多少分钟？（保留整数）

（2）为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，

1a

-x3+10X72,0<X<40

3

每生产x千台空调，需另投入成本/（X）万元，且/（%）=＜已知每台空调售价

301%+^^-3700,%>40

x

3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利

最大?并求出最大利润.

21.已知函数/(x)=2sinX--sinx+—+2A/3COS2

13丿I6丿卜一訐亚

（1）求函数/（x）的单调递增区间;

7TC

（2）若函数g（x）=/（2x）—a在区间0,—上恰有3个零点玉,工2，毛（七＜W＜七），

（i）求实数。的取值范围;

第页4

(ii)求sin。％+%-刍)的值.

22.已知函数/(x)=odnx+%2,g(x)=e*+x-l,aeR.

(1)讨论函数/(x)极值点个数；

(2)若0＜。＜1,求证：/'(x)＜g(x).

第页5

2023届山东省济宁市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1.已知集合P=卜B=11)(》-1)},集合Q={y|y=2*T},则()

A.…B.PUQC.Q=PD.PI(2=0

w

【答案】B

【分析】求得集合尸，。对应函数的定义域和值域，根据集合之间的包含关系和集合运算即可求得结果.

【详解】P={x|y=ln(x-1)}={巾)1},Q={y|y=2"T}={y|y)O},

故PrQ,PU。，。不包含于P,PlQ=P,则ACD错误，B正确.

*

故选：B.

2.给出的下列条件中能成为x>y的充要条件的是()

A."2>城B.C.lnx>lnyD.

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，结合对数函数和指数函数的单调性，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当f=0时，无法由推出4>”2,不符合；

对B：若f<o,由%>y,无法得到不符合；

对C：根据y=lnx是(0,”o)上的单调增函数，故lnx>lny,等价于x>y>0,不是的充要条件，不

符合；

对D：根据y=e''是R上的单调增函数，故e'>e>等价于》>丫，即e、>e>是工>丫的充要条件，D符合.

故选：D.

3.已知数列{%}成等差数列，其前〃项和为S.,若4=5,83=69,则、=()

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

【分析】设出公差，根据前〃项和基本量计算岀公差，从而求出酝=5.

【详解】设{《,}的公差为d,由q=5,S3=当得：

3q+3d=9/+364,解得：(1=--,

第页6

10

故S"=llq+55d=55+55x5.

故选：C

4-函数小)/二曝0；是偶函数，则〃，b的值可能是()

71.兀兀,71

A.a=—,b=—B.a=一,b=一

3336

2兀,712九,5兀

C.a=—,/?=—D.a=—,b=—

3636

【答案】D

【分析】根据题意，x<0时，一>。，代入分段函数，又函数为偶函数，可得cosa-a)=-sin(x+»,利

用诱导公式化简为同名函数，就可得到自变量之间的关系.

【详解】当x<()时，-x>0,f(-x)=sin(-x-b)f因为函数〃力是偶函数，〃一x)=/(x),即

cos(x-〃)=sin(-x-0)=-sin(x+/?),即一sin(手+(x-a))=-sin(x+Z?),则有〃+8=手+2%4,分析选项,

只有D选项满足。+6=彳37r.

2

故选：D

rr11

5.己知向量加=(。一5」),〃=(1力+1),若。>0活>0,且方丄力则一二+丁二的最小值为()

3a+2。2。+3b

1111

A.-B.—C.—D.—

5101520

【答案】A

【分析】根据向量垂直的坐标公式求得。力满足的等量关系，结合基本不等式，即可求得结果.

【详解】根据题意，mn=a-5+b+\=Q,即a+6=4,pllJ（3a+26）+（2a+3Z?）=20,又a>0]>0,

故一!—+―!—=—|―5—+—-—|f（3a+2Z>）+（2«+3b\]

3a+2b2a+3620\3a+2b2a+36丿L'丿'〃

1f_2a+3h3a+2h\^1f__l2a+3h~~3〃+2Z?）1

=—2+---------+---------->—x2+2J---------x----------=-,

20V3a+2b2a+3b）20（\3a+2b2a+3b）5

当且仅当当1=手?，且4+6=4,即。=6=2时取得等号.

3a+2b2a+3b

故选：A.

6.已知函数〃x)=J^sinx,函数g(x)的图象可以由函数〃x)的图象先向左平移底0>0)个单位长度，

1

再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的丄(。>0)得到，若X=7rg是函数g(x)的一个极大值

CDO

点，X=-^是与其相邻的一个零点，则的值为()

A.-V2B.0C.1D.>/2

第页7

【答案】c

【分析】根据三角函数图象的变换，以及g(x)的极大值点和零点求得解析式，再求函数值即可.

【详解】函数/(x)的图象先向左平移°">0)个单位长度，得到y=0sin(x+9)的图象，

再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的>0)得到g(x)=&sin(8+9)的图象;

由题可知，(=(,解得T=?，则取乎|，又g倍)伝呜、看+4=夜，

TTTTJT

故可得—卜(p=2kjtH—,kwZ,解得(p-2k冗-\—,kGZ,

424

故=V2sinxy+2kn:+=夜sin(2k?r+与)=>/2sin=1.

故选：C.

7.已知函数〃x)=3/-高+2,且/(経)+〃3a-4)>2,则实数”的取值范围是()

A.(<l)B.(-8,-4)7(1,+8)

C.(-00,-1)U(4,-KO)D.(-1,4)

【答案】B

【分析】设8(*)=3/+芸(xeR),即/(x)=g(x)+l,结合条件得到：gS)>_g(3“_4),

再由g(x)的奇偶性和单调性得到：«2>4-3«,即可求解.

【详解】由题意得，函数/"(x)=3x3--一+1+1=3/+1二1+1,

e+1e+1

设g(x)=3d+記(XGR),则〃x)=g(x)+l,

由f(42)+f(3a-4)>2,得g3)+g(3a-4)>0ngS)>-g(3“-4),

又因为g(-x)=3(T)3+1^=-货=-g(x)，

所以g(x)是R上的奇函数,即-g(x)=g(-x),

又有g(x)=3x3+^—^-=3x3--^—+1>

e+1e+1

2

因为丫=3/是R上的增函数，y=—是R上的增函数，

e+1

所以g(x)是R上的增函数；

则g(/)>-g(3a-4)og(42)>g(4-3a),即〃>4-3«,

整理得：a2+3a-4>0,解得：或。<-4,

第页8

所以实数a的取值范围为(v,T)U(l,小)，

故选：B.

8.ig：a=2O23202',b=2O222022,c=20212023,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】A

【分析】同时取自然对数可得Ina=2021In2023,In=2022In2022,Inc=2023In2021,根据

2021+2023=2022+2022=4044,考虑构造函数.f(x)=(4044-x)Inx,利用函数单调性比较大小.

【详解】ia^a=2O232O2'^=2O222O22,c=2O212023,同时取自然对数可得lna=20211n2023,

In6=2022In2022,Inc=2023In2021,因为2021+2023=2022+2022=4044,故考虑设

/(x)=(4044-x)lnx(x>1011),则lna=/(2023),lnfe=/(2022),lnc=/(2021),且

4044,、4044

r(x)=-lnx+竺竺—1因为函数y=—Inx—1在1011,+8)上单调递减，函数丫=竺竺在

XX

(1011,+8)上单调递减，所以尸(X)=一111万+多巴-1在。011,+8)上单调递减，又

/,(10U)=-lnl011+4-l<0,所以当x>10H时,所以函数f(x)=(4O44-x)lnx在(1011,+oo)上

单调递减,又2021<2022<2023,所以〃2023)<“2022)<“2021),所以

2021In2023<2022In2022<2023In2021,即lna<ln8vine,所以a<6<c,

故选：A.

二、多选题

9.设等比数列｛《,｝的公比为q,其前n项和为S”,前n项积为Z,,且满足条件4>1，密必，的必>1，

(%侬-1)•(g023-l)<0，则下列选项正确的是()

A.｛a”｝为递减数列B.&«22+1<$2023

C.%22是数列｛ZJ中的最大项D.7LM5<1

【答案】ACD

【分析】根据题意，求得4的范围，再根据等比数列的性质，对每个选项进行分析，即可判断和选择.

【详解】因为数列｛%｝为等比数列，且4>1,«2022辺2023>1，故9>。，该数列为正项等比数列；

若4=1,显然不满足题意，舍去；若4>1,则%=a4i>l,不满足(%)22-1),(。23-1)<0,舍去；

第页9

若"（0,1）,则该数列为单调减数列，由（%>22-1）-（4023-1）<0,

故可得“2022>］，°V“2023<1或°<。2022<1,叼023>】,

显然。<。2022<1，。2023>1不满足题意，故舍去，则県2>1，0<^2023<1

对A：因为4>1国«0,1）,故数列｛6｝为单调减数列，A正确;

対B：%O23<1，即$2023-$2022<1，即,^2022+1>,^2023，故B错误;

对C:因为｛4｝单调递减，且%«2>1，4023<1，故Z,的最大值为n。22,C正确;

对D：GMS“4045=(旳023)故D正确;

故选:ACD.

10.数学家们在探寻自然对数底ez2.71828与圆周率兀之间的联系时，发现了如下的公式:

..xx2x3xn

(1)e=l+—+—+—+.・・+—+

1!2!3!n\

(2)sinx=----F…+(-If

F与+不7!

，，+1

(3)cosx=l-—...+(-l)-^——+...

2!4!6!'，(2n-2)!

据此判断以下命题正确的是（）（己知i为虚数单位）

A.eu=cosx+isinxB.eu=sinx+icosx

C.ei/r+1=0D.b+e士<2

【答案】ACD

【分析】根据复数运算以及已知条件，结合三角函数有界性，即可判断和选择.

【详解】对A：由e'=1+“+土+土+…+土+

1!2!3!n\

w+l工"2丫2”-1

可得/=1+士一二一Ei+L+(-l)+㈠向

"可1!2!3!'丿(2n-2)l

3512nl

X.X.X.X.7八“+1x~.

乂isinx=-1-----1-<-----1------1+...+(—I)---------1+...,

1!3!5!7!V'(2n-l)!

cosx=l±+--2

----1-…+(-if(2〃_2)!+…'

2!4!6!

故口J得e"=cosx+isinx,A正确;

第页10

一—2x2n-l

对B.eu=l+-i--i+L+(-l)"+1+(f"i+L,

」1!2!3!V'(2n-2)!⑵Ll)!

，，+

icosx=i-—i+—i-—i+...+(-l)'7^Ti+...,

2!4!6!、丿(2〃-2)!

357

「.xxxX

Vsinx=--------H-----------+...++...

1!3!5!7!

显然e"wsinx+icosx,B错误；

对C：由=cos为+isinx可得3"=—1,故e'"+l=O,C正确；

对D：由『=cosx+isinx可得e7=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,则卜"+e-1=|2cosx|,

又|cosx|〈l,故卜"+6士卜2,D正确.

故选：ACD.

11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断,

图2是从窗花图屮抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为1,P是正八边形

ABCDEFGH边上任意一点，则()

C.器在戏向量上的投影向量的模为等D-既規的最大值为3+20

【答案】BCD

【分析】A选项，作出辅助线，证明出NBAF=90。，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到罚

与器平行，故A错误;

B选项，求出QA,0C,。8得到B正确；

C选项，求出髭，AB,利用投影向量的计算公式求出答案；

onuuuuuuuiuruuuu)

D选项，取A8的中点"，得至2-MA;=PM2求出1蹣111'H的最大值，从而得到「1小1tll心1tMi的

最大值.

第页11

【详解】连接4R

1800-45°

因为厶。8=45。，故N048=-------------=67.5°,

2

1©no_13s。

因为ZAOF=3x45°=135°,故ZOAF=———=22.5°,

2

故ZBAF=67.5°+22.5°=90°,

以48所在直线为了轴，AF所在直线为），轴，建立平面直角坐标系,

CI1+也，遮

则A（0,0）,8（l,0）,H_孚等）?（。⑸

22

7

故AH=---\,CF=-1----+1

I22丿(22丿

所以游与器平行，不能构成一组基底，A错误;

uum

03=0,0)

iwiurLUL®

故OA+OC=二008,B正确;

/0夜、iur在，立+力

G-+1,AGAB=(1,0),

T'T22丿

+1-(1,0)「

故泥在益向量上的投影向量的模长为冷豊I22JV2,C正确;

i

IBJUl_a.a(LKJUKl■■■■■■■1I■■■I■■■

取AB的中点M,贝IJPA+PB=2PM，PA-PB=BA=2MA，

LU1UUU\2ULUlizlUlUll\2UULT

则例Z+啊=4PM',(PA-啊=4MA2,

第页12

nuULUixui，airiixmoi

两式相减得：PAPB=PM~-MA2=PM~一一,

4

当点P与点E或尸重合时，蹣2最大，

最大值为厶"+4尸=；+(0+1)2=3+2&,

则PB的最大值为9+2夜一：=3+2应，D正确.

故选：BCD

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的

特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解

等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

12.设定义在R上的函数〃力与g(x)的导函数分别为尸⑺和g'(x),若J(x+2)-g(l-x)=2,

/'(x)=g'(x+l),且g(x+l)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.g⑴=0B.函数g'(x)的图象关于x=2对称

20212022

c.£〃%)g(k)=OD.£g(左)=0

A=lJt=l

【答案】AC

【分析】由g(x+l)为奇函数可得g⑴=0,由”x+2)-g(l—x)=2取导数可得_f(x)+g，(3—x)=0,结合

20290()21

条件ra)=g'(x+i),判断B,再由条件判断函数/(力，g(x)的周期，由此计算£g(z),口孙⑻,

k=lk=\

判断C,D.

【详解】因为g(x+l)为奇函数，所以g(x+l)=—g(—x+1),取x=0可得g(l)=0,A对，

因为〃x+2)-g(l-x)=2,所以r(x+2)+g，(I)=0；

所以/'(x)+g'(3T)=0,又r(x)=g'(x+l),g'(x+l)+g'(3-x)=0,

故/(2+x)+g，(2-x)=0,所以函数g'(x)的图象关于点(2,0)对称，B错，

因为/'(x)=g'(x+l),所以[〃x)-g(x+l)]'=0，所以〃x)-g(x+l)=c,c为常数，

因为f(x+2)-g(l—x)=2,所以"x)—g(3—尤)=2,

所以g(x+l)-g(3-x)=2-c,取x=l可得c=2,所以g(x+l)=g(3-x),

第页13

又g(x+l)=—g(—x+l)，所以g(3-x)=-g(-x+l),所以g(x)=-g(x-2),

所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故函数g(x)为周期为4的函数，

因为g(x+2)=-g(x),所以g(3)=-g(l)=。，g(4)=-g(2),

所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0,

2022

所以Zg⑻=[g⑴+g⑵+g⑶+g(4)]+[g(5)+g⑹+g(7)+g⑻]+…

Jl=l

+[g(2017)+5(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)+g(2022),

2022

所以£g(%)=505x0+g(2021)+g(2022)=8⑴+g⑵=g⑵，

k=\

2022

由已知无法确定g(2)的值，故2g仏)的值不一定为0,D错；

&=1

因为/(x+2)-g(l-x)=2,所以〃x+2)=2-g(x+l),〃x+6)=2-g(x+5),

所以/(x+2)=/(x+6),故函数/*)为周期为4的函数，/(x+4)g(x+4)=/(x)g(x)

所以函数f(x)g(x)为周期为4的函数，

又/⑴=2—g(O),/(2)=2-g(l)=2,/(3)=2—g(2)=2+g(0),"4)=2—g(3)=2,

所以/(Dg(l)+/⑵g⑵+/(3)g(3)+/(4)g(4)=0+2g(2)+2g(4)=0,

2021

所以Z/伙)g(厶)=505[/⑴g(l)+/(2)g(2)+/(3)g(3)+f(4)g(4)]+/(202l)g(2021)

k=l

2021

Xf⑻g㈤=〃l)g(l)=0,c对,

k=\

故选：AC.

【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：

若〃x+a)=f(—x+b),则函数y=f(x)关于》=学对称；

若/(x+a)+/(-x+b)=0,则函数y=/(x)关于(弯,0)中心对称；

若『(x+4)=/(x+S，贝他/是y=/(x)的一个周期

三、填空题

13.设〃>0力>0,则使得命题“若ln(a+6)>0,则lna+lnb>0"为假命题的一组。力的值是

【答案】a=\,b=\(答案不唯一)

【分析】根据对数的运算性质，求得满足的条件，即可选取“力的值.

第页14

【详解】根据题意，满足题意的“力满足ln(a+6)>0,且lna+ln匕40,

即ln(a+/?)>Inl,lna/><In1,解得a+8>\,Q<ab<\,

则答案不唯一，不妨取。=1,6=1,满足题意.

故答案为：。=1/=1.(答案不唯一)

-dx+l,x<a,

14.设函数c、2若/(X)存在最小值，。的取值范围___________.

\x-2),x>a.

【答案】[0,1]

【分析】根据分段函数中的函数丫=-欠+1的单调性进行分类讨论，可知，a=o符合条件，〃<0不符合条件，

a>0时函数尸㈤+1没有最小值，故/(x)的最小值只能取y=(x-2尸的最小值再求解即可.

1,x<0

【详解】若。=0时，"x)=/.2八，・・・/(X)min=0；

(x-2),x>0

若a<0时，当x<a时，/。)=-以+1单调递增，当x—Yo时，/(x)^-oo,故/⑺没有最小值，不符合题

目要求；

若。>0时，

当x<a时，/(x)=-ar+l单调递减，f(x)>/(«)=-«2+1,

0,(0<67<2)

当X"时‘匹"九-2『,(此2)

—a2+12()或-4+12(4-2)2,

解得0<。41,

综上可得04。41；

故答案为：[0,1]

15.若△ABC的边长仇。成等差数列，且边”的等差中项为1,则由6+同卜(泊卜储+与

的取值范围是.

【答案】

【分析】根据等差中项的性质，求得〃以及。关系，利用诱导公式和余弦定理化简目标式为关于。的函数

关系，结合。的取值范围，求函数值域即可.

(详解】sinf+Usinfj-cos(A+fi)=cosA+cos5+cosC,

第页15

.22222i2122

由余弦定理可得：cosA+cosB+cosC=—————+a+C----+-+"

2bclaclab

由题可知a+c=2,BPc=2-a,且〃=1,

1+c2-a2+c2-1a2-c2+\6ac-3.3

故cosA+cos3+cosC=------------+-------------+-------------=----------=3-

lac2a2ac2a(2-&)'

,

由a+l>c,c+l>〃，即a+l>2—a,2—。+1>。可得。w?1J

,1）单调递增，在[1,|

又/⑷=2a(2-a)在单调递减，且/（1）=2,/

J_3时，/(〃)w(g,2,3（3

故当令2。（2_。）=，，又y=3-1,2单调递增,

2,22

I3,故“(3

当t时，y=i,当f=2时，y=,即cosA+cosB+cosCJl,/.

2

故答案为:

16.定义：设函数在（。⑼上的导函数为:（力，若ra）在（。㈤上也存在导函数，则称函数

>=〃%）在（。乃）上存在二阶导函数,简记为y=f〃（x）.若在区间（。⑼上一（力>0,则称函数y=〃x）在

区间（。㈤上为"凹函数".已知/⑴毛肉“氐中M-皿-/在区间⑼+⑹上为“凹函数”，则实数。的

取值范围为.

【答案】管,+8）

【分析】对函数/（X）求导两次得到了"（X）,再由广（力>0得到2xe2，>ln±e%,构造函数g（x）=xe，，利

a

用导数证明g（x）在（0,+。）上单调递增，

从而得到2x>ln?,变式得：〃>産，再次构造函数//（x）=W，求卩可.

【详解】函数f（x）=*T[lnx-lna-|）的定义域为（0,+孙

则/'（x）=ae2*_x（lnx_lna_：）_gx,即f^x）=2a^'-\nx+\na,

由题意得，/"（犬）=2加2*-111*+111〃>0在（0,+。）上恒成立；

所以2/'>lnx-ln«=ln—,

a

则2e2A>丄In所以2万/>-ln-=ln-e'"%

aaaaa

令g（x）=xe*（x>0）,则g'（九）=（x+l）e1

x>0时,g'（x）>0,所以g（力在（0,+8）上为增函数，

第页16

由2比标>ln土e叱，得g(2x)>g(ln'],

akaJ

所以2x>ln土，则A