新设计一轮复习数学（文）通用版讲义第一章第一节集合

第一节集__合一、基础知识批注——理解深一点1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为eq\a\vs4\al(∈)；不属于，记为eq\a\vs4\al(∉).(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.AB⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A⊆B，,A≠B.))既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.两集合相等：A＝B⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A⊆B，,A⊇B.))A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.0，{0}，∅，{∅}之间的关系：∅≠{∅}，∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论汇总——规律多一点(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.三、基础小题强化——功底牢一点eq\a\vs4\al(一判一判)eq\a\vs4\al(对的打“√”，错的打“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(4)任何一个集合都至少有两个子集．()(5)若AB，则A⊆B且A≠B.()(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×(二)选一选1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则A∪B＝()A．[0,3] B．[1,2]C．[0,3) D．[1,3]解析：选C因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.2．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：选D因为2eq\r(2)不是自然数，所以a∉A.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.(三)填一填4．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝________.解析：由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．答案：{x|－2<x<－1}5．已知集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________.解析：∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴∁UA＝{－1}．答案：{－1}eq\a\vs4\al(考点一集合的基本概念)[典例](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．2C．1 D．0(2)已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019的值为()A．1 B．0C．－1 D．±1[解析](1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.(2)由已知得a≠0，则eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.[答案](1)B(2)C[解题技法]与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[提醒]集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意．当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的值为0或eq\f(9,8).3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为.解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5<k≤6.答案：（5，6］eq\a\vs4\al(考点二集合间的基本关系)[典例](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则()A．B⊆A B．A＝BC．AB D．BA(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为()A．2 B．3C．4 D．8(3)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．[解析](1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又B⊆A，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4，故选C.(3)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}．若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))所以0<m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．[答案](1)C(2)C(3)(－∞，1][变透练清]1.eq\a\vs4\al((变条件))若本例(2)中A不变，C＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆B⊆C的集合B的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.eq\a\vs4\al((变条件))若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．解析：若A⊆B，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1，,m≥3))得m≥3，∴m的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)[解题技法]判定集合间基本关系的两种方法和一个关键两种方法①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；②用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系一个关键关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系eq\a\vs4\al(考点三集合的基本运算)考法(一)集合的运算[典例](1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝()A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案](1)C(2)D[解题技法]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中a元素，剩余元素成补集．考法(二)根据集合运算结果求参数[典例](1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝()A．3 B．2C．2或3 D．3或1[解析](1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.[答案](1)B(2)A[解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．[题组训练]1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为集合B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，而A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lgx<2}，则(∁RA)∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)) D．∅解析：选A由题意得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，B＝(0,100)，则∁RA＝(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，所以(∁RA)∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)).3．(2019·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a≤x≤2a－1))))，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)解析：选A因为A∩B≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≥1，2a－1≥\f(1,2)a，))解得a≥1.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．(2019·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，则集合A∩B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}解析：选A因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：选B∵全集为R，B＝{x|x≥1}，∴∁RB＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是()A．M∩N＝M B．M∪(∁RN)＝MC．N∪(∁RM)＝R D．M∪N＝M解析：选D由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.5．设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤2x<\r(2)))))，B＝{x|lnx≤0}，则A∩B为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．[－1,0)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．[－1,1]解析：选A∵eq\f(1,2)≤2x<eq\r(2)，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<eq\f(1,2)，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x<\f(1,2))))).∵lnx≤0，即lnx≤ln1，∴0<x≤1，∴B＝{x|0<x≤1}，∴A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2))))).6．(2019·郑州质量测试)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．(－∞，2] B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选D由A∩B＝A，可得A⊆B，又因为A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.7．已知全集U＝A∪B中有m个元素，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB))中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB))中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．8．定义集合的商集运算为eq\f(A,B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B))))，已知集合A＝{2,4,6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，则集合eq\f(B,A)∪B中的元素个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B由题意知，B＝{0,1,2}，eq\f(B,A)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)))，则eq\f(B,A)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7个元素．9．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部