电路分析 第六章 一阶电路分析

6.1一阶电路的零输入响应6.2恒定电源作用下一阶电路的零状态响应6.3恒定电源作用下一阶电路的全响应和叠加定理6.4复杂一阶电路的分析方法6.5阶跃函数和阶跃响应第六章一阶电路分析1.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；重点

3.一阶电路的阶跃响应和冲激响应。2.稳态分量、暂态分量求解；6.1一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零输入响应iS(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0则代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR或tU0uC0I0ti0令

=RC,称

为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;表明时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定：R大（C一定）i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大（R一定）W=Cu2/2

储能大物理含义a.

:电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过3

－5

,

过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

注意

＝

t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于ucU0t0

t1t2次切距的长度b.时间常数

的几何意义：能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设

uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例1图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：+uC4

5F－i1t>0等效电路i3S3+uC2

6

5F－i2i1+uC4

5F－i1分流得：i3S3+uC2

6

5F－i2i12.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLRtI0iL0连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明-RI0uLt0iL+–uLR响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;令

称为一阶RL电路时间常数

=L/R时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢，

大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设

iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V损坏。例1t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50V解iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViLLR10V+-例2t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路小结一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数

同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结

=RC

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：6.2恒定电源作用下一阶电路的零状态响应解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齐次线性常微分方程与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量）的特解全解uC

(0+)=A+US=0

A=－US由初始条件uC

(0+)=0

定积分常数A从以上式子可以得出：-USuC‘uC“USti0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）表明+响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；

大，充电慢，

小充电就快。响应与外加激励成线性关系；能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。表明RC+-US例t=0时,开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容的电压和电流,(2)uC＝80V时的充电时间t

。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC＝80V500

10

F+-100VS+－uCi2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tiL0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—uLUSt0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—例1t=0时,开关S打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：t>0iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0开关k打开，求t>0后iL、uL及电流源的电压。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iL+–uL2HUoReq+－t>0iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u+6.3恒定电源作用下一阶电路的全响应和叠加定理电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RCuC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰全响应=

零状态响应+

零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC

(0－)=0零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0*线性动态电路的叠加定理：*一阶电路的零输入响应与原始状态成正比。*单电源电路的零状态响应与该电源成正比。*全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。*若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。例1t=0时,开关k打开，求t>0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有：稳态分量：+–10V1A1

+－uC1

+－u1

全响应：+–10V1A1

+－uC1

+－u1

3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解答一般形式为：特解分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t→

的稳态电路求解直流激励时：A注意例1已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.66701A2

1

3F+-uC例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式三要素为：0＋等效电路+–20V2A5

5

+–10Vi2i1例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素为：+–1H0.25F5

2

S10Vi已知：电感无初始储能t=0

时合S1

,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2s解例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-t>0.2si10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.26206.5阶跃函数和阶跃响应6.5.1阶跃函数6.5.2阶跃响应6.5.1阶跃函数单位阶跃函数延时单位阶跃函数单位阶跃函数的起始作用利用阶跃函数可将分段函数用一个式子表示若则阶跃函数可表示接入恒定电源的换路情况例如右图波形可表为6.5.2阶跃响应电路对单位阶跃电源的零状态响应称为单位阶跃响应，用s(t)

表示。一阶电路的阶跃响应可用三要素法求解。例：求图示电路的单位阶跃响应i(t)。解：6.8例题例1：电路如图一所示，已知uC(0)=-2V，求uC(t)及uR(t)，解：从电容元件两端看进去的戴维南等效电阻-uR+图一1Ω1.5Ωi(t)uc

(t)iR(t)uR+-图二用电压为uC(t)的电压源置换电容，如图二例2:如图所示电路中，已知当时，