电路分析 (第二章)

第二章电阻电路分析2.1支路电流法2.2网孔分析法2.3节点电位法

一、几个名词1.

支路

(branch)：电路中通过同一电流的每个分支。2.

节点（node）:

三条或三条以上支路的连接点称为节点。4.

回路（loop）：由支路组成的闭合路径。b=33.

路径（path）：两节点间的一条通路。路径由支路构成。5.

网孔（mesh）：对平面电路，其内部不包含任何支路的回路。网孔是回路，但回路不一定是网孔。123ab+_R1uS1+_uS2R2R3l=3n=21232.1支路电流法

在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电流，支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代数和，如图，由元件约束关系(VAR)得到图2.1-1电路中一条支路

2.1.1支路电流法

支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量，根据元件的VAR

及KCL、KVL约束，建立数目足够且相互独立的方程组，解出各支路电流，进而再根据电路有关的基本概念求得电路中任何处的电压、功率等。

图2.1-2支路电流法分析用图如图，支路数b=3节点数n=2取支路电流i1～i3为独立变量，并在图中标定各支路电流参考方向；默认支路电压u1～u3取与支路电流关联的关联方向。回路数l=3

根据KCL，对节点a

和

b

分别建立电流方程。则有节点a

节点

b

根据KVL，对回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别列写方程得回路Ⅰ回路Ⅱ回路Ⅲ(2.1-2)(2.1-3)(2.1-4)(2.1-5)(2.1-6)可以证明：对有n个节点的电路，独立的KCL方程只有n-1个。可以证明：对有n个节点b条支路的电路，独立的KVL方程只有b-n+1个。(2.1-2)00321321=--=++-iiiiii选取出3个相互独立的方程如下：

(2.1-7)完整地描述了该电路中各支路电流和支路电压之间的相互约束关系。应用克莱姆法则求解(2.1-7)式。系数行列式Δ和各未知量所对应的行列式Δj(j=1,2,3)分别为所以求得支路电流

若再要求解图中的c

点与d

点之间电压ucd

及电压源us1所产生的功率

Ps1，可由解出的电流i1、i2、i3

方便地求得为

支路法的一般步骤:（1）标定各支路电流的参考方向（电压关联）

；（2）选定(n–1)个独立节点，列写KCL方程；

（3）选定b–(n–1)个独立回路，列写KVL方程；（4）求解上述方程，得到b个支路电流。

例2.1-1图示2.1-3电路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω,us1=15V，us2=4.5V,us3=9V。求电压uab及各电源产生的功率。图2.1-3例2.1-1用图i1i2i3

解设支路电流i1,i2,i3

参考方向如图中所标。依KCL列写节点a

的电流方程为

选网孔作为独立回路，并设绕行方向于图上，由KVL列写网孔Ⅰ、Ⅱ的电压方程分别为网孔Ⅱ(2.1-9)(2.1-10)(2.1-11)网孔Ⅰ用克莱姆法则求解Δ与Δj分别为所以电流i1,i2,i3分别为

电压设电源us1,us2,us3

产生的功率分别为ps1,ps2,ps3,由求得的支路电流，可算得（注意电流和电压的参考方向）

例2.1-3图2.1-5所示电路中包含有电压控制的电压源，试以支路电流作为求解变量，列写出求解本电路所必需的独立方程组。(注意对受控源的处理，对所列方程不必求解。)

解设各支路电流、各网孔绕向如图所示。应用KCL、KVL及元件VAR列写方程为对节点a-i1+i2+i3=0对网孔ⅠR1i1+R2i2+0=us对网孔Ⅱ0-R2i2+(R3+R4)i3=μu1u1=R1i1

（辅助方程）2.2网孔分析法2.2.1网孔电流如果我们设想在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各支路循环流动，如图2.2-1中实线箭头所示，把这一假想的电流称作网孔电流。

网孔电流是完备的变量网孔电流是相互独立的变量

2.2.2网孔电流法对平面电路，以假想的网孔电流作未知量，依KVL列出网孔电压方程式，求解出网孔电流，进而求得各支路电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称网孔电流法(简称网孔法)按网孔列写KVL方程如下：网孔A

R1iA+R5(iA+iB)+us4+R4（iA-iC)-us1=0网孔B

R2iB+R5(iA+iB)+R6(iB+iC)-us2=0网孔C

R3iC-us3+R4(ic-iA)-us4+R6(iC+iB)=0

按未知量顺序排列并加以整理，同时将已知激励源也移至等式右端。得(2.2-1)(2.2-2)(2.2-3)4145541)(ssCBAuuiRiRiRRR-=-+++266525)(sCBAuiRiRRRiR=++++4364364)(ssCBAuuiRRRiRiR+=++++-自电阻、互电阻及网孔等效电压源，即

归纳总结得到应用网孔法分析具有3个网孔电路的方程通式(一般式)，即如果电路有m

个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为…(2.2-4)(2.2-5)网孔法步奏第一步：设网孔电流，及方向第二步：观察电路，求各网孔的自电阻、互电阻及网孔等效电压源，第三步：解方程得各网孔电流。第四步：由网孔电流求各支路电流第五步：如果需要，可由支路电流求电路中任何处的电压、功率。

网孔法的一般步骤例2.2-1对图2.2-2所示电路，求各支路电流。图2.2-2例2.2-1用图第一步：设网孔电流，及方向iAiciB代入(2.2-4)式得

(2.2-6)第二步：自电阻、互电阻及网孔等效电压源，即

第三步：解方程得各网孔电流。用克莱姆法则解(2.2-6)式方程组，各相应行列式为于是各网孔电流分别为

第四步：由网孔电流求各支路电流。设各支路电流参考方向如图所示，根据支路电流与网孔电流之间的关系，得

第五步：如果需要，可由支路电流求电路中任何处的电压、功率。例2.2-2

对图2.2-3所示电路，求电阻

R上消耗的功率pR。图2.2-3例2.2-2用图解(2.2-7)第二个方程可两端相约化简得

由化简的方程组求得

进而可求得

例2.2-3求图2.2-4所示电路中的电压uab。图2.2-4例2.2-3用图解

设网孔电流iA,iB

如图中所标，观察电路，应用方程通式列基本方程为由图可以看出控制量ux

仅与回路电流iB

有关，故有辅助方程（2.2-8）（2.2-9）将(2.2-9)式代入(2.2-8)式并经化简整理，得（2.2-10）解(2.2-10)方程组，得所以例2.2-4对图2.2-5所示电路，求各支路电流。图2.2-5例2.2-4用图用网孔法求解图(a)电路所需的方程为

将图(a)电路伸缩扭动变形，如图(b)电路所示。则所以进一步可求得电流

以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路VAR用未知节点电位表示，依KCL

列节点电流方程(简称节点方程)，求解出各节点电位变量，进而求得电路中需要求的电流、电压、功率等，这种分析法称为节点电位法。2.3节点电位法

图2.3-1节点法分析用图2.3.1节点电位选任一节点作参考点ν4=0其余各节点电位ν1，ν2，ν3节点电位是完备的变量对电路中任何一个回路列写KVL方程，将上式中各电压写为电位差表示，即有

节点电位变量是相互独立的变量。对电路中任何一个回路列写KVL方程，(2.3-2)KCL方程(2.3-3)将(2.3-2)式代入(2.3-3)式，得(2.3-4)节点3节点1节点2为了方便应用克莱姆法则求解，将(2.3-4)式按未知量顺序重新排列，已知的电流源移至等式右端并加以整理，得(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)自电导都取正;互电导都取负;等效电流源为流入该节点的电流源代数和;

归纳总结得到应用节点法分析具有3个独立节点电路的方程通式(一般式)，即(2.3-8)

如果电路有

n

个独立节点，我们也不难得到列写节点方程的通式为…(2.3-9)节点电位法的一般步骤第一步：观察电路设参考点第二步：求自电导、互电导、等效电流源第三步：代入通式(2.3-8)，得

第四步：解方程，求得各节点电位。

第五步：求解其他电路变量

例2.3-1如图2.3-2所示电路，求电导G1、G2、G3中的电流及图中3个电流源分别产生的功率。图2.3-2例2.3-1用图第一步：观察电路设参考点第三步：代入通式(2.3-8)，得

2.3-10第二步：求自电导、互电导、等效电流源

第四步：解方程，求得各节点电位。

第五步：求解其他电路变量

例2.3-2如图2.3-3(a)所示电路中，各电压源、电阻的数值如图上所标，求各支路上的电流。

图2.3-3例2.3-2用图

解设节点3为参考点，并设节点1、2的电位分别为v1,v2,可得方程组为化简上方程组，得(2.3-11)解(2.3-11)方程组，得

所以，节点电位各支路电流，由支路VAR,得

注意：电阻要换算为电导；电压源等效的大小和方向。例2.3-3对图2.3-4所示电路，求

u与

i。

图2.3-4例2.3-3用图

解：1、4节点间有一理想电压源支路（等效电流源)，选择其理想电压源支路所连的两个节点之一作参考点，(2.3-12)解方程得由欧姆定律，求得因为电压所以电压

若以节点3作参考点，设节点4的电位为v4,对这个电路列写的方程组为(辅助方程)例2.3-4对图2.3-5所示电路，求v1,i1。图2.3-5例2.3-4用图解(辅助方程)

方程通式1.网孔方程通式小结自电阻为正，互电阻正负看电流方向，等效电压源先遇“——”为正2.节点方程通