1.1周期变化7种常见考法归类（原卷版）

1.1周期变化7种常见考法归类课程标准学习目标了解周期性的概念和几何意义1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期.2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性.知识点01周期函数1．周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D2．最小正周期：如果在周期函数y＝f(注：(1)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)(2)只有个别x值或只差个别的x值满足f(x+T)＝【即学即练1】【多选】下列函数图象中具有周期性的是（

）A． B．C． D．【即学即练2】函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？知识点02抽象函数的周期性函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。类型周期函数f(x)满足的条件周期常见周期函数模型f|a|f(x＋a)＝f(x－a)2|a|f(x＋a)＝－f(x)2|a|f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)2|a|f(x＋a)＝eq\f(1,fx)2|a|f3|f3|4|a|2|a|fTfTfT奇偶性与周期性的综合偶函数，关于直线x＝a对称2|a|偶函数，关于对称4|a|奇函数，关于对称2|a|奇函数，关于直线x＝a对称4|a|对称性与周期性的综合注：双对称必周期，“同二异四”关于直线x＝a与x＝b对称2|b－a|关于点(a,0)与点(b,0)对称2|b－a|关于直线x＝a与点(b,0)对称4|b－a|【即学即练3】设定义在R上的函数满足，若，则A． B． C． D．【即学即练4】已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C．1 D．9知识点03周期性的应用（1）函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.（3）单调性：由于间隔kT(k∈Z)的函数图象相同，所以若函数y=f(x)在(a,b)(ba≤T)上单调增(减),则y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上单调增(减).注：奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。【即学即练5】设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【即学即练6】函数是在R上的周期为的奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【即学即练7】若偶函数对任意都有，且当时，，则．【即学即练8】已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（

）A． B． C． D．题型一：周期现象及应用例1.（2023下·高一校考课时练习）下列现象是周期现象的是（

）①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④变式1．（2023下·高一校考课时练习）下列变化中不是周期变化的是（

）A．春去春又回 B．太阳东升西落C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天放学回到家的时间变式2．（2023·高一课时练习）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六变式3．【多选】（2023·高一课时练习）按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是（）A．2023 B．2024 C．2026 D．2032变式4．（2023下·高一校考课时练习）十字路口处红绿灯亮灭的情况如下：1分钟亮绿灯；接着10秒亮黄灯；再接着1分钟亮红灯；10秒亮黄灯；1分钟亮绿灯；10秒亮黄灯，……，则某人开始亮绿灯时，过路口，10分钟后又到此路口，此时应该亮灯．变式5．（2023·高一课时练习）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2023次互换座位后，小兔的位置对应的是（

）A．编号① B．编号②C．编号③ D．编号④【方法技巧与总结】一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现．题型二：周期函数的判断例2．（2023·高一课时练习）下列函数图像中，不具有周期性的是（

）A． B．C． D．例3．【多选】（2023上·山东日照·高二统考开学考试）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.定义函数，则（

）A． B．函数是周期函数C．方程在仅有一个解 D．函数是增函数变式1．（2023上·山西晋中·高三校考开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，．(1)求证：是周期函数；(2)当时，求的解析式；(3)计算．【方法技巧与总结】判断周期函数的方法，一般是根据定义。即对函数f(x)，如果存在常数T(T≠0)，使得当x取定义域内的每一个值时，均有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期为T的周期函数。题型三：利用周期性求函数值例4．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）设函数（）是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则．变式1．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，则.变式2．（2023上·河北唐山·高三阶段练习）设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则（

）A．0 B．1 C． D．变式3．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（

）A．2 B．0 C．1 D．变式4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知定义在R上的函数满足，，且，若，则（

）A．0 B． C．2 D．【方法技巧与总结】判断函数周期性的三个常用结论(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期．(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2(3)f(x＋a)＝－1fx(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2题型四：利用函数的周期性求函数解析式例5．（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为．变式1．（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．(1)求函数的最小正周期；(2)写出函数的解析式．变式2．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．(1)证明：是周期函数．(2)若当时，，求当时，的解析式．例6．（2023下·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（

）A． B．C． D．变式1．（2023上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．变式2．（2023上·江西·高三宁冈中学校考期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】(1)遇到周期问题，要学会区间转移，将未知区间中的x加减整周期，转化到已知区间，再将含x式子代入已知函数．(2)遇到周期性＋奇偶性综合问题，可根据条件，求出一个周期上的函数关系．题型五：周期性与奇偶性的结合例7．（2023·高一课时练习）已知奇函数y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，则函数f(x)的周期为，f(2)+f(3)+f(4)=.变式1．（2023下·河南·高三阶段练习）已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为.变式2．（2023下·高一校考课时练习）已知定义在上的奇函数以为周期，则．变式3．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．(1)求函数的最小正周期；(2)计算．变式4．（2023上·宁夏·高三隆德县中学校考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A．50 B．2 C．0 D．变式5．【多选】（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）奇函数满足，则下列选项正确的是（

）A．的一个周期为2 B．C．为偶函数 D．为奇函数变式6．【多选】（2023下·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（

）A．的周期是 B．的图象关于点对称C．当时， D．当时，题型六：周期性与对称性的结合例8．（2023上·安徽·高三校联考开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（

）A． B．1 C．2 D．变式1．（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则.题型七：周期性与单调性的结合例9．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．变式1．（2023下·山东青岛·高二校考期末）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（

）A． B．C． D．变式2．【多选】（2024上·河南开封·高一统考期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（

）A．是偶函数B．的图象关于点中心对称C．D．一、单选题1．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）下列现象不是周期现象的是（

）A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间2．（2023·高一课时练习）探索下图所呈现的规律,判断2015至2017箭头的方向是（

）A． B． C． D．3．（2023下·高一课时练习）设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（）A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间4．（2023·高一课时练习）若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间为（

）A．天 B．天 C．天 D．天5．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（

）A． B． C． D．6．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）若，则（

）A． B． C． D．7．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（

）A． B．1 C．5 D．8．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）函数的最小正周期为2，且.当时，，那么在区间上，函数的图象与函数的图象的交点个数是（

）A．8 B．7 C．6 D．59．（2024·安徽淮北·统考一模）已知定义在上奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函数满足，且当时，．若函数恰有4个零点，则的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．211．（2023上·山东菏泽·高三校考期末）定义在上的函数满足，当时，；当时，，则（

）A． B． C．0 D．12．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为（

）A． B． C． D．13．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（

）A．10 B．15 C．20 D．21二、多选题14．（2024上·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（

）A．是周期为2的周期函数B．当时，C．的图象与的图象有两个公共点D．在上单调递增15．（2023上·湖南·高一衡阳县第一中学校联考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：①；②当时，．下列说法正确的有（

）A．B．C．当时，D．方程有个实数根16．（2023下·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．时，C．D．函数有对称轴17．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（

）A．函数的一个周期为6B．函数的一个周期为8C．若，则D．若当时，，则当时，18．（2024上·广东佛山·高一统考期末）已知函数满足：对任意的，都存，且，则（

）A．是奇函数 B．C．的值域为 D．19．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.则下列说法正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．C．D．方程有5个不等的实数根三、填空题20．（2023下·高一课时练习）如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔s