新教材高中数学人教B版选择性第一册训练1-2-3直线与平面的夹角

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.3直线与平面的夹角课后篇巩固提升必备知识基础练1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=2π3,则l与α的夹角为(A.2π3 B.π3 C.π答案C解析线面角的范围是0,π2.∵<a,n>=2π3,∴l与法向量所在直线所成角为∴l与α的夹角为π62.直线l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,3,0),则直线l与平面α的夹角的余弦值为()A.1515 B.1515 C.21015答案D解析设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2,则sinθ=|cos<s,n>|=1×1+1×∴直线l与平面α的夹角的余弦值为210153.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.π6B.πC.π2 D.答案B解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则DB=(1,1,0),DE=0,1,12,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,1,2),而BA1=(0,1,1),∴cos<BA1,∴<BA1,n>=30∴直线A1B与平面BDE的夹角为60°.4.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC的夹角的大小为(A.5π12 B.π3 C.π答案B解析如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12+(3)2=2.故∠PAO=π35.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.

答案7解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,6),所以cos<n,AB>=n·AB|n||AB|=3t4|t|,因为<n,AB6.正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.

答案3解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又B则sin<DB1,BB=|D7.正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.

答案10解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A32又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.sinθ=|cos<n,AC1>|=∴cosθ=1-8.如图所示,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;(2)求直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值.解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,a2,0,∴A1C=(a,a,DE=a,a2,0,∴cos<A1C,故A1C与DE所成角的余弦值为1515(2)连接DB1,∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.又B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线,故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),得DA=(0,a,0),DB1=(a,a,∴cos<DA,DB又直线与平面所成角的范围是0,π2,故直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值为339.如图,已知四棱锥PABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC的夹角的正弦值.解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=12AD又因为BC∥AD,BC=12AD所以EF∥BC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF.∵BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,因此CE∥平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2所以sin∠QMH=28所以,直线CE与平面PBC的夹角的正弦值是28关键能力提升练10.已知向量a=(2,3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α的夹角为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案A解析cos<a,n>=a·n|a||n|=24×1=12,故向量夹角为6011.如图,三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC,且A1C与底面成45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为()A.43 B.33C.4 D.3答案C解析由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交线为AB,故点A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C与底面成45°角得A1D=DC,当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=12.AB∥α,AA'⊥α,A'是垂足,BB'是α的一条斜线段,B'为斜足,若AA'=9,BB'=63,则直线BB'与平面α的夹角的大小为.

答案60°13.如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为.

答案7解析设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,VOPAC=VPOAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△OAC,∴d=∴sinα=d|CO|=23,14.在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与底面ABCD的夹角的正弦值.解由向量加法知EB=EC+CB=12PC+CB=12(PD+DC)+CB,设|PD|=1,则|∴EB·DP=∴cos<EB,DP>=EB·DP|EB||DP|=-学科素养拔高练15.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1的夹角的正切值为32.解如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设CP=m(m>0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(