2024年广东省高考数学一轮复习第6章第1讲：数列的概念（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第6章第1讲：数列的概念

【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是

自变量为正整数的一类特殊函数.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列｛为｝的第〃项“”与它的序号〃之间的对应关系可以用

通项公式

一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

递推公式

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列｛斯｝的把数列｛斯｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛斯｝

前n项和的前〃项和，记作S”，即Sn=〃1+。2+…

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

递减数列

an+\<an其中“GN"

项与项间的

常数列

大小关系

从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列｛小｝是从正整数集N*（或它的有限子集（1,2,…，〃｝）到实数集R的函数，其自变量是序

号〃,对应的函数值是数列的第〃项a“,记为斯=A"）.

【常用结论】

[Si,/?=1,

1.已知数列｛〃"｝的前〃项和S”则〃“=cc

-Sn—1，

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fa“三a”-”1，

2.在数列｛如｝中，若斯最大，则、（心2,〃GN*）；若如最小，则“（〃22,

3"1小+114"■、■斯+i

neN*）.

【思考辨析）

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）数列的项与项数是同一个概念.（X）

（2）数列1,2,3与3,2』是两个不同的数列.（V）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（X）

（4）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.（V）

【教材改编题】

1.（多选）已知数列｛“”｝的通项公式为a“=9+12〃，则在下列各数中，是｛斯｝的项的是（）

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由数列的通项公式得，“1=21,虑=33,02=153.

2.己知数列｛“"｝的前"项和为S"且S"="2+”，则“2的值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由题意，$2=22+2=6,51=1+1=2,所以“2=52—51=6—2=4.

3.在数歹U1,1,2,3,5,8,13,21,%,55,…中，x=.

答案34

解析通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x=13

+21=34.

■探究核心题型

题型一由知与S”的关系求通项公式

例1（1）已知数列｛斯｝的前"项和为S,”0=2,S„+i=25n-l,则wo等于（）

A.128B.256C.512D.1024

答案B

解析,.•S“+i=2S“-1,.,.当时，Sn=2S„-i-l,两式相减得④+i=2a“.当”=1时，a\

+。2=2。1-1,又刈=2,...欧=1"•数列｛诙｝从第二项开始为等比数列，公比为2.则00=42X28

=1X28=256.

（2）已知数列｛斯｝的前〃项和为S”，且满足S”=2"+2—3,则斯=.

5.n=l,

答案

2n+l,心2

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解析根据题意，数列｛““｝满足斗=2"+2—3,

当〃22时，有斯=S“一S1=(2"+2—3)—(2仆|—3)=2"+'

,.[5,〃=1,

当〃=1时，有ai=5i=8—3=5,不符合斯=2"I故.

\2n+1心2.

思维升华S,,与斯的关系问题的求解思路

(1)利用斯=S,-SLI(〃22)转化为只含S”，Si的关系式，再求解.

(2)利用5“一5“-1=%("22)转化为只含小，a,1的关系式，再求解.

跟踪训练1(1)已知正项数列｛如｝中，诟+诟+…+丽=瓜亭”，则数列｛小｝的通项公式

为()

A.Cln~~tlB.Qn=/

nr〃2

C.%=2D.Cln=~2

答案B

解析\'y[ci\+y[a2-\----卜^/^="亭

+y[a2H----卜\如7=^2(〃，2)，

两式相减得的=中一迎产=〃(〃22),

，22),①

又当n=1时，，»=-2—=1，m=1,适合①式，

2

an=nf〃£N".

(2)设，是数列｛斯｝的前〃项和，且m=—1,a〃+i=S〃S〃+i,则S“=.

较口案杀—-n

解析因为斯+i=S”+i—Snfa”+i=S〃S“+i,所以由两式联立得S〃+i—5〃=5：5]+1.因为S〃HO,

所以卷一甘一=1,即?一一!=—1.又B=-1,所以数列U是首项为-1,公差为一1的等

5?O/i4-1dn+1

差数列.所以9=-1+(〃-1)X(—1)=—",所以s“=一

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2设㈤表示不超过x的最大整数，如[-3.14]=-4,[3.14]=3.已知数列满足：a1=l,

斯+严如+〃+1(〃。*),贝旧+!+/+…+表]等于()

A.1B.2C.3D.4

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答案A

解析由。〃+1=斯+〃+1,得。〃一1="(〃22).又的=1,

所以。〃=(。”一〃〃-+I--2)+…+(。2一=〃+(〃-1)+(〃-2)+…+2+1=

〃(/+1)

-2-(心2),

当n=\时，0=1满足上式,

则汇记3=2

所吗?+9…+六

=2X(/一尹1,爹1-1尹,…卜壶-壶）

=2X(1-忐)

_2023

=1012,

所以15+2+5+…+_’U1F20231

=1.

<22023JL1。12_

命题点2累乘法

〃-1

例3在数列｛〃“｝中，0=1,〃GN*),则数列｛斯｝的通项公式为

答案期=：

n-1

解析：an=—斯-1(〃22),

.n—2n—3_j_

・•〃〃-12,。〃-2个〃〃-3,***,。21•

7?—1n~2Z

以上（〃一1）个式子相乘得，

12n—1a\1

23nnn

当〃=1时，ai=l,符合上式，；.期=1.

思维升华（1）形如a〃+i—的数列，利用累加法.

⑵形如"口=＜及）的数列，利用22）即可求数列｛〃“｝的通项公式.

ClnCl\。2（ln-\

跟踪训练2（1）在数列｛所｝中，ai=2,%+|=斯+111（1+力，则%等于（）

A.2+lnnB.2+（«-l）lnn

C.2+«lnnD.1+n+lnn

答案A

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解析因为a〃+i—%=ln一厂=lnS+l)—In〃，

所以。2—〃i=ln2—In1,

。3-〃2=ln3—In2,

〃4-〃3=ln4-In3,

an—an-\=\n〃一ln(〃-1)(〃22),

把以上各式相加得—ai=Inn—In1,

则为=2+加〃(〃22),且〃1=2也满足此式，

因此an=2+Inn(n£N*).

(2)已知数列防，中，…，巫，…是首项为1,公比为2的等比数列，则唾2斯=________.

an-i

答案血严

解析由题意知，ai=l,—=lX2"-l=2n-|(n>2),

an-\

所以。”=色」义…X丝义〃]=2〃一"2"-2乂…义1=22(〃N2),当〃=1时，〃1=1适

合此式，

所以log.q""

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4设数列｛〃“｝的前〃项和为S,,且W〃dN*,an+\>a„,S〃》S6.请写出一个满足条件的数列

｛斯｝的通项公式a„=.

答案/?—6,〃6N*(答案不唯一)

解析由V〃WN*,斯+>如可知数列｛%｝是递增数列，又S,2S6,故数列｛斯｝从第7项开始为

正.而aWO,因此不妨设数列是等差数列，公差为1,%=0,所以斯=〃-6,〃eN*(答案

不唯一).

命题点2数列的周期性

例5若数列｛。“｝满足ai=2,an+i—._"<则“2024的值为()

A.2B.-3C.D.；

答案D

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1-21+3

1+21-311

解析由题意知，4]=2,423,。3。5=2,

1-21+32'3'1

1+1——

213

1+21

=1—2=-'…，因此数列｛〃〃｝是周期为4的周期数列，所以。2024=々505X4+4=44=1.

命题点3数列的最值

例6已知数列｛”“｝的通项公式为斯=初与，其最大项和最小项的值分别为（）

A.1,—B.0,一4C.；,一；D.1,—Yj

答案A

解析因为"CN*,所以当时,a,,=M'二<0,且单调递减；当〃24时,斯=3—0,

且单调递减，所以最小项为。3=1==一最大项为。4=]J[<=1.

思维升华（1）解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据an+\-a„的符号判断数列｛斯｝是递增数列、递减数列还是常数列.

（2）解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

跟踪训练3（1）观察数列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,则该数列的第11

项是（）

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由数列得出规律，按照1,In2,sin3,…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，

由11+3=3余2,所以该数列的第11项为In11.

2fl—io

⑵已知数列｛如｝的通项小=；■-则数列｛“.｝前20项中的最大项与最小项分别为

Zn—21

答案3,-1

——1Q——01-I-?O7

解析«„=-~==1+二、7，当〃》11时，丁、7>0,且单调递减；当1W〃W1O

2/2—212/7—212n—212/7—21

2

时，五±7<°'且单调递减.因此数列仅，，｝前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第

10项.。]]=3,〃io=-1.

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课时精练

应基础保分练

，7—1

1.已知小=不，那么数列｛斯｝是（）

A.递减数列B.递增数列

C.常数列D.摆动数列

答案B

解析如=1—鬲■,将飙看作关于〃的函数，〃GN*,易知数列｛小｝是递增数列.

2.已知数列｛如｝的前〃项和S“满足SS=S.+i（〃CN*）,且m=2,那么S等于（）

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因为数列｛斯｝的前〃项和S”满足SS=S“+i（"WN"）,ai=2,

所以S,+i=2S”即*=2,所以数列｛&｝是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以S.

=2X2"r=2".所以当时，a,=S“一S"T=2"-2"-i=2"r.所以s=26=64.

3.已知数列｛斯｝满足“1=1,a,—an+i^nana„+1（neN*）,则如等于（）

层一九标一〃+222

lA.cB.cC.7D.7Ic

2Zn—nn—〃十2

答案D

解析由题意，得」—-；=〃，则当〃22时，；一」一=〃一1,」一一」一=〃一2,…，；一

Cln+1du—16Z/j—1iZ/j—2。2

1—11,,n1—n、”21nr—n,层一〃+2

丁=1,所以;7—丁=1+2H---F（〃-1）=-（及22）,所以;+1=----5---，即an

Cl]ClnCt1乙Clii乙N

2?

=-2（〃）当/?=1时，〃1=1适合此式，所以d=~

zr一〃।十G222,n〃/一〃十2

4.设数列｛”“｝满足：0=2,a“+i=l—记数列｛斯｝的前"项之积为P,”则P2024等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析0=2,斯+1=1—;，得。2=:，"3=—1,。4=2,。5=；，…，所以数列｛如｝是周期为3

Cln乙乙

的周期数列.且尸3=-1,2024=3X674+2,所以期024=（-1产4。。1。2=1.

5.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国

传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第

41项为（）

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A.760B.800C.840D.924

答案C

解析由题意得，大衍数列的奇数项依次为了[2—]，尚32—一1，尚5^—一I，…，易知大衍数列的第41

412—1

项为=840.

6.(多选)已知数列⑷的通项公式为何=(〃+2)•凯则下列说法正确的是()

A.数列｛斯｝的最小项是

B.数列｛〃,?｝的最大项是04

C.数列｛如｝的最大项是。5

D.当〃25时，数列｛〃“｝递减

答案BCD

[(〃+2).歙》(〃+1)皎「,

a会期7,

解析假设第〃项为｛〃“｝的最大项，贝卜即，所以

1,[(〃+2)俳?("+3)(1户,

又"GN*,所以〃=4或"=5,故数列｛小｝中与45均为最大项，且“4=45=外,

"24,

当〃》5时，数列｛斯｝递减.

7.S”为数列｛〃“｝的前”项和，且log2(S“+l)="+】，则数列｛〃“｝的通项公式为.

答案T,[3,n〃—12,

解析由log2(S,+l)=〃+l,得S“+l=2"+i,当〃=1时，"i=S=3；当时，a"=S”―

3,n=\,

S,T=2",显然当〃=1时，不满足上式.所以数列｛“■｝的通项公式为小=

2",心2.

8.若数列｛m｝的前〃项和S“="2—10〃(〃eN*),则数列｛a,J的通项公式〃"=,数列

｛〃小｝中数值最小的项是第项.

答案2/1-113

解析,.•Sn=〃2-10〃，.•.当〃》2时，斯=S“一S,i=2〃-ll；

当〃=1时，见=乱=一9也适合上式..,.«„=2n-ll(nSN*).

记角^二也尸跃?〃-11)=2"2—11〃，此函数图象的对称轴为直线但"GN*,

...当〃=3时，犬〃)取最小值数列｛〃斯｝中数值最小的项是第3项.

9.在①〃a“+i—(”+1)斯="("+1)；②S.=2”2-1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上,

并解答.

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若数列仅“｝的前〃项和为S”G=1,且数列｛如｝满足

⑴求。2，«3；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解(1)选择①：42-20=1X2,则42=4.

2a3-342=2X3,则内=9.

选择②：“2=$2-51=2X2?-1—I=6.

“3=$3—S2=2X32—1—2X22+1=10.

(2)选择①：由M"+l—(〃+1)4"=〃(〃+1),

dnaii14〃I。“一2〃2

所以'卜…+三一+〃i=n-1+1=n,

nnn~1n~1n~2

2

所以an=n.

==2—2—

选择②：当〃22时，anSn—Sn-]2n—1—[2(n1)l]=4zz—2；

当〃=1时，m=Si=l,不符合上式，

fl,H=1,

故｛斯｝的通项公式为小=[「

1477—2,2,〃£N*.

10.(2023•长沙模拟)已知数列｛金｝满足口=今夫'=昌"，〃CN*,S"为该数列的前”项

和.

(1)求证：数列｛2｝为递增数列;

(2)求证：S„<1.

证明(1)因为。=；,二^7二

所以c〃W0,

两边分别取倒数可得1一」一=

整理可得」一_；=(：_I1〉。，

c〃+lCn)

所以数列｛4为递增数列.

。、心d若44曰°,+1—1+1%―1+11।1

⑵由1—1可付1—1，即〔一C〃十

Gi+j—1Ctl—\C〃+1—1c〃-1Cn+\—lCn-l

第9页共13页

所以S”=Cl+<?2+…+金

11.11,,11

=——十——十•••十一

C2~1Cj-1C3—1C2-LCn+1-1Cn~1

Cw+|-1Cl-1Cw+1-1

又12；=2,所以c〃+1仁(0,

CnC\\L)

所以一y<T，即SSL

Cn+｝—\

口综合提升练

11.在数列｛斯｝中,L=1,。=(〃,。〃)，b=(an+\,〃+1),且。_Lb,则々loo等于()

A.-^B.一■^C.100D.-100

答案D

解析因为a=(n,。〃)"=(如+|,〃+1),且a±b,所以〃4〃+i+(〃+l)m=0,所以号」=一

所以曰=—*詈…，署=一端•以上各式左右分别相乘，得詈=—100,因为0=1,

a\1。22的9vyCl\

所以4100=-100.

12.(2022.全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗

环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛4,｝：

61=1+~,历=1+―、，人3=1+---Lj—，…，依此类推，其中a*WN*(Z=l,2,…).则

()

A.b\<b^B.b3Vb8

C.b6<b2D.b4Vb7

答案D

解析方法一当〃取奇数时，

由已知"=1bi=1+----—,

(Z1,1

因为京〉------j—,所以从＞匕3,

a\+r

勾+一

。3

同理可得加＞/?5,/?5＞岳，…，于是可得加＞历＞%5＞历＞…，故A不正确;

第10页共13页

当〃取偶数时，由已知历=1+——j-.

G1+一

«2

%4=1+-------------

«1+------7—

«2+j~

^+~

«4

因为:〉----\,所以b2Vb4,

«2.1

+j-

出+一

04

同理可得b4Vb6,b6Vb8,…,于是可得厉＜84Vb6＜1＜…,故C不正确;

因为~，-,所以历＞伤,

ai+—

«2

同理可得同〉力4，同＞〃6，bi＞bz，

又仇〉加，所以仇＞加，故B不正确；故选D.

方法二(特殊值法)

不妨取匿=1(&=1,2,…)，则。i=l+；=2,

1113

*2=1+---7=1+17=1+3=5,

.II0122

1+7

仇=1+—\-=1+T~=1

十\

1+1

142

所以儿=1+万=1+7=7.

。3>3

,,,1313

a=1+五=1+0=于

..1,+1-=.1,+8-=2-1

,.,1,,1334

岳=1+苏=1+五=亓

.,,1,,2155

逐一判断选项可知选D.

13.已知数列｛小｝中，前〃项和为S”，且£=『?,“则①的最大值为

JCln~1

答案3

第11页共13页

._〃+2.、.几+2〃+1一”、]a〃+1

==n=

解析•Sn-O—%,♦•当时，Cln~Sn-Sn-\-o~斯——o—斯T,可化为=71

333