初中七年级数学 集合与不等式 常用逻辑用语（解析版）

努力的你，未来可期!

第一篇集合与不等式

专题1.02常用逻辑用语

【考试要求】

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意

义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；

2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；

3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件

P是q的充分不必要条件pnq且q今p

p是q的必要不充分条件p方q且qnp

P是q的充要条件p=q

P是q的既不充分也不必要条件p今q且q分p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个''等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“V”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号叼”表示.

3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为「p,读作“非p”)

全称命题特称命题

形式

结构对M中的任意一个X,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立

简记VxeM,p(x)3XQGM,p(xQ)

-1

否定SxoeM,p(x0)VxeM,p(x)

【微点提醒】

1.区别A是B的充分不必要条件(A=B且B±*A),与A的充分不必要条件是B(B=A且A歩B)两者的不同.

2.A是B的充分不必要条件是一1A的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论

【疑误辨析】

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1.判断下列结论正误（在括号内打或"x"）

（1）若已知p：x>l和q：x>l,则p是q的充分不必要条件.（）

（2）“长方形的对角线相等”是特称命题.（）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，贝Up成立”.（）

【答案】（1W（2）x（3），（4）4

【解析】（2）错误.命题“长方形的对角线相等“是全称命题.

【教材衍化】

2.（选修2—1P26A3改编）命题“VxCR,X2+xK）”的否定是（）

A.SxOGR,xo2+xo<OB.3xoeR,x02+x（）<0

C.VxGR,x2+x<0D.VxCR,x2+x<0

【答案】B

【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.

3.（选修2—1P12A4改编）圆（x—a）2+（y—b）2=n经过原点的一个充要条件是.

【答案】a2+b2=r2

【解析】若圆（x-a”+（y—b）2=n经过原点，等价于原点坐标适合圆（x—a”+（y—b）2=n的方程，二（0一

a）2+（0—b）2=n,；.a2+b2=r2,反之亦然.

【真题体验】

4.（2015•全国I卷）设命题p：3n£N,n2>2n,则—^为（）

A.VnGN,n2>2nB.3nGN,n202n

C.VneN,n2<2nD.anGN,n2=2n

【答案】C

【解析】命题p的量词号'改为“V"，"n2>2n”改为“腔2n”，­'p：VnGN,n202n.

丄1

5.（2018.天津卷）设xWR,则"x—]<于是％<1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

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丄丄11

【解析】由X—2<2.得O<X<1,所以O<X3<1;由X3C1,得XC1,不能推出O<X<1.所以"X—，<]"是"X3<l"

的充分而不必要条件.

1

6.(2019-济南调研)“a=0"是''函数f(x)=sinx-1+a为奇函数”的条件.

【答案】充要

I

【解析】显然a=0时，，f(x)=sinx-7为奇函数；当f(x)为奇函数时，

1丄

f(—x)+f(x)=sin(—x)——x+a+sinx—G+a=0.因此2a=0.故a=0.

所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.

【考点聚焦】

考点一充分条件与必要条件的判断

【例1】(1)(2018・北京卷)设a,b均为单位向量，则“|a-3bl=l3a+b|”是“a丄为的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2mx+l,xK),

(2)(2019•华大新高考联盟质检)设函数f(x)=j1则“m>l是耿-1)]>4”的()

、一x-x，xvO.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】(DC(2)A

【解析】(l)la—3bl=l3a+bl=(a-3b)2=(3a+b)20a2—6a-b+9b2=9a2+6a-b+b2,又,.1al=lbl=l,a-b

=00a丄b,因此la—3bl=l3a+bl是"a丄b”的充要条件.

1

⑵当m>l时，f[f(—l)]=f[-(-l)-E5」=f(2)=22m+>4,

I

当f[f(-1)]>4时，f[f(—l)]=f[―(―1)一(一l)_|=f(2)=22m-l>4=22,

丄

2m+I>2,解得m>2.

故“m>l”是“fm—1)]>4"的充分不必要条件.

【规律方法】充要条件的两种判断方法

⑴定义法：根据p=>q,qnp进行判断.

(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

【训练1】(2018•浙江卷)己知平面a,直线m,n满足mCa,nca,则“m〃n”是“111〃01”的()

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A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若mCa,nua,m//n,由线面平行的判定定理知m〃a.若m〃a,mCa,nca,不一定推出m

〃n,直线m与n可能异面,故“m〃n"是"m〃a"的充分不必要条件.

考点二充分条件、必要条件的应用••…》典例迁移

【例2］（经典母题）已知P={xlx2-8x-20<0},非空集合S={xll-m<x<l+m}.^xGP是xdS的必要条

件，求m的取值范围.

【答案】见解析

【解析】由X2—8x—20或，得一2WxS10,

/.P={xl-2<x<10}.

YxeP是xes的必要条件，贝iJSuP.

JI—m>—2,

,',［1+m<10,解得mW3.

又「S为非空集合，...l-mWl+m,解得mK）.

综上，m的取值范围是［0,3J.

【迁移探究1】本例条件不变，若xWP是xeS的必要不充分条件，求m的取值范围.

【答案】见解析

【解析】由例知，SP,

1—m<l+m,1—m<l+m,

1—m>—2,或<1—m>—2,

J+m<10ll+m<10,

解得0<m<3或0<m<3,0<m<3,

故m的取值范围是［0,3］.

【迁移探究2】本例条件不变，若xGP的必要条件是xWS,求m的取值范围.

【答案】见解析

【解析】由例知P={xl—2WXS10},

若xGP的必要条件是xGS,即xGS是xCP的必要条件，

APcS,

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1—m<l+m,

1-mW—2,解得吟.9

J+m>10,

故m的取值范围是[9,+oo).

【迁移探究3】本例条件不变，问是否存在实数m,使xWP是xWS的充要条件？并说明理由.

【答案】见解析

【解析】由例题知P={xl—2WxW10}.

若xeP是xeS的充要条件，则P=S,

f1—m=-2,fm=3,

・・・[l+m=10,'[m=9,

这样的m不存在.

【规律方法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等

号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

(3)数学定义都是充要条件.

【训练2】(2019・临沂月考)设p：实数x满足X2—4ax+3a2<0,aWR：q：实数x满足X2—x—6岂)或X2+

2x—8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】见解析

【解析】由p得(x—3a)(x—a)<0,当a<0时，3a<x<a.

由q得X2—x—6《0或x2+2x—8>0,则一2Mx/3或x<—4或x>2,则x<—4或疟一2.

设p：A=(3a,a),q：B=(—co,—4)U[—2,+oo),

又p是q的充分不必要条件.

2

可知A《B,—4或3aN-2,即空一4或生一壬

2

又.,.aS—4或一^3<0,

即实数a的取值范围为(-8,-4]UL-i0).

考点三全称量词与存在量词

角度1全(特)称命题的否定

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【例3—1](1)命题'"nGN*,f(n)CN*且f(n)Wn”的否定形式是()

A.VnGN*,f(n)任N*且f(n)>n

B.VnGN*,f(n)史N*或f(n)>n

C.3n0SN*,f(nO)史N*且人即〉％

D3noeN*,f(nO)*N*或f®〉为

(2)(2019•德州调研)命题々xfR,l<f(x())W2”的否定形式是()

A.VxGR,l<f(x)<2

B.3x0GR,l<f(x0)<2

C.3xQeR,f(x0)<lsgf(x0)>2

D.VxeR,4x闫或f(x)>2

【答案】(DD(2)D

【解析】(D全称命题的否定为特称命题，

二命题的否定是：3n()eN*,f(n0):N*或⑪。)>七

(2)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“VxGR,f(x)Wl或f(x)>2”.

角度2含有量词(V、9的参数取值问题

X

【例3-2](经典母题)已知f(x)=ln(x2+l),g(x)=G)-m,若对内q0,3],3x2£[l,2],使得f(x,)>g(x2),

则实数m的取值范围是.

【答案】[£+8)

1

【解析】当x£[0,引时，f(x)min=f(0)=0,当x£[l,2]时，g(x)min=g(2)=4—m,对VX]£[0,3],3x2

丄1

£[1,2]使得琳)比羯等价于f(x)minNg(x)min,得0二一m,所以吟工

【迁移探究】若将2『改为2「，其他条件不变，则实数m的取值范围是.

【答案】+以

1

【解析】当XG[1,2]时，g(x)max=g(1)=2—m,对VX]G[0,3],Vx2G[l,2]使得fajNglx?)等价于

丄I

f(x)min>g(x)max,得0五一m,m>2.

【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一

是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否

定只需直接否定结论.

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2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【训练3】(2019•衡水调研)已知命题p：VxeR,Iog2(x2+x+a)>0恒成立，命题q：3xoe[—2,2J,2a<2x0,

若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为.

【答案】G，2.

【解析】当命题p成立时，x2+x+a>l恒成立，即x2+x+a—1>0恒成立，

5

.*.A=l-4(a-l)<0,解得a>[

当命题q成立时，2aW(2x())max,x()e[—2,2],,*.a<2.

5(5-

故不犯2,.'a的取值范围是広,2」.

【反思与感悟】

1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

(D定义法

(2)利用集合间的包含关系判断：设厶=以加仪)},B={xlq(x)}；

①若AUB,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A[B,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若A=B,则p是q的充要条件.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量

词，否结论”.

【易错防范】

1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“P的一个充分而不必要条件是q”等语言.

2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.

【核心素养提升】

逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性''问题

逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量”存在性或任意性”问题关键就

是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，

目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.

类型1形如“对任意\CA,都存在X2GB,使得g(X2)=f(xJ成立”

19丄

【例I1]已知函数f(x)=x3+(l—a)x2—a(a+2)x,g(x)=。-若对任意1,1],总存在*26[0,

2],使得f(X])+2aX]=g(X2)成立，求实数a的取值范围.

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【答案】见解析

-1-

【解析】由题意知，g(x)在[0,2]上的值域为6」.

令h(x)=f(x)+2ax=3x2+2x—a(a+2),则h，(x)=6x+2,山h，(x)=0得x=一

当x£—-1,时，hr(x)<0；当XE(—1]时，hz(x)>0,所以[h(x)]min=h(—§)=—a2—2a一又由题意

fh(-1)<6,

1I<11

可知，h(x)的值域是L—多6」的子集，所以一a2—2a一之一，，解得实数a的取值范围是[—2,0J.

lh(1)<6,

【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函

数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.

类型2形如“存在xl£A及x2WB,使得f(xl)=g(x2)成立”

2x3(\_

x+1，xeb，1_,兀x

]]「1]函数g(x)=ksin%"—2k+2(k>0),若存在%£[0,1]及x?

{一]x+d，xeLO,2J，

e[0,1],使得f(X])=g(X2)成立，求实数k的取值范围.

【答案】见解析

3k-

【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1],g(x)的值域为12—2k,2一5」，并且两个值域有公共部

分.

314

先求没有公共部分的情况，即2—2k>l或2—及<0,解得kQ或k>§,所以，要使两个值域有公共部分，k

的取值范围詬，1.

【评析】本类问题的实质是“两函数f(X)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.

另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意"，贝『‘等价转化”策略是利用“f(X)的值域和g(x)的值域相等”

来求解参数的取值范围.

类型3形如“对任意xieA,都存在x2GB,使得f(xl)<g(x2)成立"

4R-

【例3】已知函数f(x)=x+G，g(x)=2x+a,若VX|e[E，1」，3x2G[2,3J,使得鸣回色)，则实数a的

取值范围是.

【答案】IX+J

[解析】依题意知f(x)max<g(x)max.

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•.•f(x)=x+t在［；,1_上是减函数，.•.f(x)max=f©=¥

又g(x)=2x+a在［2,3］上是增函数，；.g(x)max=8+a,

171

因此工'S8+a,则吃了

【评析】理解量词的含义，将原不等式转化为［f(x)］maxW［g(x)］max,利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最

大值，得关于a的不等式求得a的取值范围.

思考1：在［例3］中，若把3］”变为“立2《⑵3］”时，其它条件不变，则a的取值范围是.

问题“等价转化”为［f(x)］maxW［g(x)hnin,请读者完成.

-丄「丄一

思考2：在［例3］中，若将［例3］中“女产瓜1」1”改为Fx产区1」“，其它条件不变，则a的取值范围是

问题“等价转化''为f(x)min<g(x)max,请读者自行求解.

【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)

一、选择题

1.命题FxeZ,使x2+2x+mS0”的否定是()

A.BxGZ,使x2+2x+m>0

B.不存在xdZ,使x2+2x+m>0

C.VxGZ,使x2+2x+mWO

D.VxGZ,使x2+2x+m>0

【答案】D

【解析】特称命题的否定为全称命题.故选D.

2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是()

A.所有实数的平方都不是正数

B.有的实数的平方是正数

C.至少有一个实数的平方是正数

D.至少有一个实数的平方不是正数

【答案】D

【解析】因为“全称命题''的否定一定是“特称命题”，所以命题”所有实数的平方都是正数”的否定是：“至

少有一个实数的平方不是正数”.

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3.设xGR,则设一位0”是帘一1区1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由2—xNO,得烂2,由lx—151,得0Wx«2.

当x<2时不一定有0<x<2,而当0WXW2时一定有x<2,

.••“2—疋0”是“慎一1日”的必要不充分条件.

V2

4.(2019•焦作模拟)命题p：cos0=2，命题q：tan0=1,则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

@兀

【解析】由cos0=2，得0=±5+2k;t,kGZ,则tanO=±l,

故p4q，p是q的不充分条件；

Tt亚

由tan0=1,得O=Z+k;t,kGZ,则cos0=±2，

故q=/p，p是q的不必要条件；

所以p是q的既不充分也不必要条件.

5.(2017・浙江卷)已知等差数列｛aj的公差为d,前n项和为Sn，则“d>0”是“54+S6>2$；'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由S4+S6-2S5=S6-S5—(S5-S4)=a6-a5=d,所以S4+S6>2S5等价d>0,所以“d>0”是“S4

+S6>2S5”的充要条件.

6.已知命题p：”VxG[0,1],a>ex",命题q：FxOGR,Xo2+4Xo+a=0”.若命题p和q都成立，则实数a的

取值范围是()

A.(4,+8)B.[l,4]C.[e,4]D.(-oo,-1)

【答案】C

【解析】对于p成立，aN(ex)max,；.aNe.

对于q成立，知x2+4x+a=0有解，则A=16-4aK),解得a*.

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综上可知e<a<4.

7.(2017.北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数大，使得m=?cn”是)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】存在负数入，使得m=Xxi,则m-n=A_n,n=Mn|2<0；反之m,n=lmllnlcos(m,n)vOncos(m,n)

<0=(m,n>e\2>兀_，当〈m,n)em,n不共线.故“存在负数入，使得m=An"是"nrn〈0”的

充分不必要条件.

8.命题“Vxd[l,2),x2—aW0”成立的一个充分不必要条件可以是()

A.a>lB.a>lC.a>4D.a>4

【答案】D

【解析】命题成立的充要条件是Vxe[l,2),a2x2恒成立，即吟4..•.命题成立的一个充分不必要条件可

以是a>4.

二、填空题

9.直线x—y—k=0与圆(x-l)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是.

【答案】一l<k<3

II—0—kl

【解析】宜线X—y—k=0与圆(x—l)2+y2=2有两个不同交点等价于一g—<\/2,解之得一l<k<3.

10.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的

条件.

【答案】充分不必要

【解析】由已知得pnr,r=s,s=q,.*.pnr=s=q.但由于r推不出p,所以q推不出p,故p是q的充分

不必要条件.

11.已知“p：(x—m)2>3(x-m)”是“q：x2+3x—4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.

【答案】(-8,-7]U[1,+oo)

【解析】p：x>m+3或x<m,q：—4<x«d.因为p是q成立的必要不充分条件，所以m+3W—4或,

故m<—7或m>l.

12.设nCN*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.

【答案】3或4

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【解析】由A=16—4nK),得nW4,又nCN*,则n=I,2,3,4.当n=l,2时・，方程没有整数根：当n

=3时，方程有整数根I,3；当n=4时，方程有整数根2,综上知n=3或4.

【能力提升题组】(建议用时：20分钟)

13.(2019・宁波质检)祖晅原理：“幕势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是

两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体，p：A,

B的体积不相等，q：A,B在等高处的截面面积不恒相等，根据祖瞄原理可知，p是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据祖晒原理，“A,B在等高处的截面面积恒相等”是“