吉林省松原市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

吉林省松原市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.gtan60。的值等于（）

A.1B.正C.3D.6

2

【答案】C

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

【详解】解：＞/3tan60°=V3x5/3=3.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键.

2.下列事件为必然事件的是（）

A.购买二张彩票，一定中奖B.打开电视，正在播放极限挑战

C.抛掷一枚硬币，正面向上D.一个盒子中只装有7个红球，从中摸

出一个球是红球

【答案】D

【分析】由题意根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行

判断即可.

【详解】解：A.购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；

B.打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不

符合题意；

C.抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合

题意；

D.一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是

必然事件，因此选项。符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断

的前提.

3.如图，△ABC与△OE尸是位似图形，点。为位似中心，己知8。：OE=2:\,则△ABC

与的面积比是

)

A

F

E

A.2：1B.3：1C.4：1D.5：1

【答案】C

【分析】根据位似图形的概念得到AB//DE9根据相似三角形的性

质计算即可.

【详解】解：...ABC与位似

・•^ABCSAFED,AB//ED

.ABOBc

DEOE

=(—)2=4

DEFDE

即JU5c与。砂的面积比是：4:1

故选：C

【点睛】本题考查了位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的

面积比等于相似比的平方是解题的关键.

4.如图，43是。的直径，C,D为，。上的点，且点。在弧AC上.若/。=120。，

则NC45的度数为()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】利用圆内接四边形的性质求出NB=60。，由圆周角定理推论得出NACB=90。,

再由直角三角形两锐角互余求解即可.

【详解】解：VZD+ZB=180°,ZZ>120°,

试卷第2页，共23页

：.ZB=60°,

•••A8是直径，

NACB=90。，

/C4B=90°-/B=30°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练

掌握直径所对圆周角是直角、圆内接四边形的性质，属于中考常考题型.

5.如图，平面直角坐标系中，点8在第一象限，点A在x轴的正半轴上，

ZAOB=ZB=30°,。4=2,将.AOB绕点。逆时针旋转90。，点8的对应点9的坐标

A.(-1,2+73)B.(-百,3)C.(-73,2+73)D.(-3,6)

【答案】B

【分析】如图，作轴于解直角三角形求出？“，。，即可.

【详解】解：如图，作37/_Ly轴于H.

NA'B77=30。,

AH'=^A'B'=\,B'H=y/3,

:.OH=3,

：.81-百,3),

故选：B.

【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

6.如图，A是反比例函数y=A的图象上一点，过点A作轴于点8,点C在X轴

X

上，且SMBC=2,则A的值为（）

【答案】B

【分析】连接A0,根据k的几何意义求解即可;

【详解】连接A0,

•：Wy轴，

•,*k=53=耳

/.|^|=4,

•.•函数图象在第二象限，

：.k<0,

二%=T；

故选B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，准确计算是解题的关键.

二、填空题

7.点P（-3,-4）关于原点对称的点的坐标是

【答案】（3,4）

试卷第4页，共23页

【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求解.

【详解】解：点网-3,-4）关于原点对称的点的坐标是（3,4）,

故答案为：（3,4）.

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的

坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对

称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都

互为相反数.

8.如图，已知AC〃E尸〃BO.如果4E：EB=2：3,CF=6.那么CD的长等于.

【答案】15

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式首先求得CF的长，再求得DC的长.

【详解】解：：AC〃E尸〃B。，CF=6,

AECF_2

BE-DF-3；

；.DF=9,

；.CD=DF+CF=9+6=15.

故答案是：15.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解题的关键是注意数

形结合思想的应用.

9.关于x的一元二次方程/+2x_（根-2）=0有两个相等的实数根，则机的值为.

【答案】1

【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根可知△=（）,求出机的取值即

可.

【详解】解：由己知得△=（）,

即4+4（怔2）=0,

解得m-\.

故答案为1.

【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程a/+fcr+c=0（a¥0）的根与△=〃-4农

有如下关系：①当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=()时，方程有两

个相等的两个实数根：③当△<()时，方程无实数根.

10.在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同.每

次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试

验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为一.

【答案】12

【分析】由已知可得从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.4,故摸到红球概

率是0.6.

【详解】解：二•通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在04附近，

二从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为04,

.••估计袋子中的红球的个数为20x(1-04)=12(个)

故答案为：12

【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据己知得出小球在总数中所

占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键.

11.如图，若反比例函数乂=2与一次函数必=办+方交于A、8两点，当乂<%时，

X

则X的取值范围是.

【答案】-l<x<0,x>2

【分析】根据反比例函数与一次函数的图象性质分析判断即可；

【详解】观察图象可知，当时，则X的取值范围是一x>2；

故答案是一x>2.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关

键.

12.如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚8距墙2米，小红上了两节梯子到。点,

此时加点距墙1.8米，8。长0.6米，则梯子的长为米.

试卷第6页，共23页

【答案】6

DFAD

【分析】由。E〃3C证明AOEs.ABC,可得芸=黑，再代入求解即可.

BCAB

【详解】解：由题意得：DE//BC,

:..ADE^.ABC,

、DEAD

\——=——，

BCAB

Q8C=2,£>£=1.8,80=0.6,

1.8_AD

彳-AD+0.6'

解得：AD=5.4,经检验符合题意；

\AB=AD+BD=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查的是相似三角形的运用，利用相似三角形的性质列方程是解本题的关

键.

13.如图，在AA8C中，AO是BC边上的高，cosC=：,43=10,AC=6,则BC的长为—.

【答案】3+回

【分析】先求CD=AC-8SC=3,在RtAACD中，求AO=36，在RtAABD中，求

BD=y/13,则8c=8+80=3+用.

【详解】解：4）是BC边上的高，

:.ZADC=90°,

AC=6,cosC=^,

:.CD=ACcosC=3,

在RtAAC。中，仞=而守=36，

在RtAABD中，AB=10,

:.BD="O°-27=序，

:.BC=CD+BD=3+后，

故答案为：3+J万.

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握解勾股定理，直角三角形中三角函数的定义

是解题的关键.

I7

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=-万(x-3)2+m与y=](x+2)2+n的一

个交点为A.己知点A的横坐标为1,过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点

B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则—的值为.

1,0,

【详解】分析：根据抛物线y=-](x-3)2+〃z与y=：(x+2)2+〃的解析式分别求出它

们的对称轴，根据抛物线的对称性分别求出点瓦点C的横坐标，即可求解.

详解：抛物线y=-g(x-3『+〃?与尸|(x+2『+n的对称轴分别为直线43与直线

x=-2,

•••点A的横坐标为1,

点C的横坐标为5,点8横坐标为-5,

.♦.AC=4,AB=6,

nrAB63

AC42

故答案为宗3

点睛：考查抛物线的对称性，写出抛物线的对称轴是解题的关键.

三、解答题

试卷第8页，共23页

15.解方程：x2+10x+16=0.

【答案】演=一2,3=一8

【分析】利用配方法解方程即可.

【详解】解：x2+10x4-16=0

X2+10X=-16.

x2+1Ox+25=—16+25»

(x+51=9,

x+5=±3,

为=—2,%=—8

【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键.

4一4

16.已知反比例函数―^图象位于第一、三象限.

x

(1)求人的取值范围；

(2)当反比例函数过点A(2,4),求Z的值.

【答案】(1)*>4；(2)k=\2

【分析】(1)根据反比例函数图像位于第一、三象限即可得到％-4>0,由此进行求解

即可；

“一4

(2)直接把点4(2,4)代入)——中进行求解即可.

x

々一4

【详解】解：(1)・・,反比例函数y=l的图像位于第一、三象限，

X

**•&-4>0,

解得％>4；

L-A

(2)把点A(2,4)代入y=——,

x

即4=^，

解得％=12.

【点睛】本题主要考查了反比例函数图像与其比例系数之间的关系，求反比例函数解析

式，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图像与比例系数之间的关系.

17.已知在△ABC中，NC=90。，AB=4,AC=77.

A

⑴求BC；

(2)求sinAA

【答案】（1）3

⑵?

【分析】（I）根据勾股定理，可以计算出BC的长；

（2）根据/A=90。，AB=4和（1）中求得的BC的长，即可计算出的值.

【详解】（1）VZC=90°,AB=4,AC="

:.BC=y/AB2-AC2=-2-（五）2=3

（2）sinAA=--=—

AB4

【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是求出BC的值.

18.医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援

某地的防汛救灾工作.求：恰好选中医生甲和护士A的概率.

【答案】2

0

【分析】根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可.

【详解】解：画树状图，如图所示:

开始

医生甲乙丙

_人Z\

护士ABABAB

；共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的结果有1种，

恰好选中医生甲和护士A的概率为!.

【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，解题的关键是用树状

图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可,

注意每种情况发生的可能性相等.

19.如图，在2ABe中，AB=10,AC=8,点£>,E分别是边48,AC上的点，且45=4,

ZBDE+ZC=180°,求AE的长.

试卷第10页，共23页

C

E

DB

【答案】5

【详解】解：VZ£?DE+ZC=180o,N3DE+ZA£>£=180°,

・•・ZC=ZADEf

又・・・NA=NA,

:..ADEs^ACB,

,AEAD

・・---=---，

ABAC

.AE4

••~~~r

108

AE=5,

/.AE的长为5.

【点睛】本题考查了三角形相似.解题的关键在于证明三角形相似.

20.钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网

上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的

高分辨率海岛地形数据.如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点8是岛上最东端“东

钓角”，长约3641米，点。是岛上的小黄鱼岛，且A、B、。三点共线.某日中国

海监一艘执法船巡航到点C处时•，恰好看到正北方的小黄鱼岛D,并测得/ACD=70。,

NBCD=45°.根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛。的距离C£>的值.（参

考数据：tan70%2.75,sin70°~0.94,cos700~0.34,结果精确到I米.）

【答案】执法船距离小黄鱼岛。的距离C。约为971米.

【分析】设C£）=x米，根据正切的定义分别求出A。、BD,再根据A8的长列出方程,

解方程可得答案.

【详解】解：设CO=x米，

Rt^ACD中，tanZACD=---,

CD

・・・AQ=2.75x米,

RtABCD中,ZBCD=45°,

BD—CD—x^,

.♦.2.75x+x=3641,

解得户971,

答：执法船距离小黄鱼岛D的距离8约为971米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐

角三角函数的定义是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，四边形04BC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的

正半轴上，点。为AB的中点.一次函数y=-3x+6的图象经过点C、D,反比例函数

〉=*＞（））的图象经过点B,求人的值.

【分析】先求得C的坐标，然后根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出

8（2,专），进而表示出。的坐标，代入y=-3x+6即可求得人的值.

【详解】解：在y=-3x+6中，令y=o,则-3x+6=0,

解得x=2,

C（2,0）,

小臼

畤｝

；点。为48的中点，

,•,点。O

:点。在直线y=-3x+6上，

/.-=—3x14-6,

2

:.k=6.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，

试卷第12页，共23页

矩形的性质，表示出。的坐标是解题的关键.

22.图①、图②、图③均是3x3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段

图①图②图③

(1)在图①中画一条以P为端点的射线PC,使其平分线段AB,点C在线段AB上；

(2)在图②中画一条以P为端点的射线产£>,使其分线段A2为1：3两部分，点。在线段

A3上；

(3)在图③中画一条以P为端点的射线PE,使tan/PEB=l,点E在线段45上.

【答案】(1)图形见解析

(2)图形见解析

(3)图形见解析

【分析】(1)取格点T,连接P7交线段AB于点C,射线尸C即为所求；

(2)取格点Q,连接尸Q,交线段AB于点O,射线尸。即为所求；

(3)取格点W,R,连接8W,AW,PR,PR交AB于点E,射线PE即为所求.

【详解】(I)如图①中，射线PC即为所求；

图①

(2)如图②中，射线尸。即为所求

pB

（3）如图，射线PE即为所求.

PB

图③

【点睛】本题考查网格中作图、相似三角形、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.如图，AB为:。的直径，弦CD_L43于点E,连接AC,8C,，AC于点尸，

h.OF=1.

（1）求3。的长;

（2）当40=30。时，求AC的长和阴影部分的面积（结果保留根号和左）.

【答案】（1）2；（2）AC的长为与，阴影部分的面积为费-石

【分析】（1）根据垂径定理可得AF=CF,BC=BD，从而得到OF为一.43C的中位线,

BC=BD,即可求解；

（2）连接OC,求得N4OC=120。，利用含30。直角三角形的性质求得半径，即可求解.

【详解】解：（1）'：OFrAC,

：.AF^FC,

'：OA=OB,

试卷第14页，共23页

:・OF为.ABC的中位线

/.BC=2OF=29

•:AB工CD,

：•BC=BD，

:.BD=BC=2；

(2)连接OC,如下图:

VZC4B=Z£>=30°,OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°f

・・・ZAOC=120°f

在RtABC中，VZACB=90°,BC=2,ZC4B=30°,

AAB=2BC=4fAC=y/3BC=2y[3,

阴影部分的面积-Lx2gxl=四-百.

36023

【点睛】此题考查了圆的垂径定理，弦、弧、圆心角之间的关键，三角形中位线的性质，

等腰三角形的性质，含30。直角三角形的性质，弧长以及扇形面积的计算，解题的关键

是掌握并灵活运用I相关性质求解.

24.已知"C是等腰三角形，AB=AC,将-ABC绕点8逆时针旋转得到△48C,

点A、点C的对应点分别是点4、点C'.

（不需要证明）;

(2)探究：如图②，当8C'不落在AB边上时，N4A8与NC'CB是否相等？如果相等,

请证明；如果不相等，请说明理由；

(3)应用：如图③，若NBAC=90。，AA、(？(7'交于点后，则NAEC=度.

【答案】(1)相等

(2)ZA，/W=NC'C8,见解析

(3)135°

【分析】(1)感知：由旋转知，△BCC',丛A是顶角相等的等腰三角形，从而得出

答案；

(2)探究：由旋转知与白=线，可证明..ABA，S_CBC',从而结论不变；

BABA

(3)应用：设C'8与AE相交于点0,由CB=C8,得/C'CB=NCC'B,则

NBA'A=ZCC8,再利用三角形内角和解决问题.

【详解】(1)感知：将.ABC绕点8逆时针旋转得到.A'BC,

：.^A'BA=ZC'BC,

又A'B=AB,C'B=BC,

.180°—NA7M180°-NC'BC

,•=~f

22

即NAAB=NC'CB,

故答案为：相等；

(2)探究：ZA,AB=ZC'CB,证明如下：

将ABC绕点B逆时针旋转得到.ABC',

:.BC=BC,BA=BA',ZCBC'-ZABA',

,BCBC

.\^AB4's.CBC,

：.^A!AB=NC'CB-,

(3)应用：CB=CB,AB^AB

：.NC'CB=NCC'B,ZBA'A=ZBAA',

将_MC绕点B逆时针旋转得到△ABC',

/.ZC'BC=ZA'BA,

：.ZBA，A=NCCB,

设C'B与A4,相交于点。，

试卷第16页，共23页

/.NC'E0=NOBA'=ZABC,

AB=AC,NBAC=90。，

ZACB=ZABC=45°=ZCEO,

..NA'EC=180°—/C'£0=135°.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三

角形的判定与性质等知识，证明aABAS.CBC'是解题的关键

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸加+加+2与x轴分别交于点A(-l,0)、

3(3,0),与轴交于点C,连接3c.点尸是BC上方抛物线上一点，过点尸作y轴的

平行线，交8c于点N,分别过P,N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点。,M,

(2)当点尸在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN的周长的最大值；

(3)当四边形PQMN为正方形时，求”的值.

【答案】(1)y=—^x2+^x+2；(2)二；(3)m=―—或,〃=

33444

【分析】(1)根据待定系数法计算即可；

(2)根据已知条件求出BC的解析式，设「(加,一：“2+：机+2),则%]〃,-|〃?+2

表示出四边形PQMN的周长计算即可；

(3)分两种情况，当0<〃?<1和1(加<3时分别计算即可；

【详解】解：(1)当x=()时，y=ax2+bx+2=2,

：.C(0,2),

设抛物线解析式为y=a（x+l）（x-3）,

把C（0,2）代入得：axlx（-3）=2,

2

解得：a=--,

74

；•抛物线的解析式为〉=-y+孑+2

（2）I•抛物线与x轴分别交于点A（—1,0）、3（3,0）,

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

设直线BC的解析式为y=px+q,

把C（0,2）,8（3,0）代入得：（pl：：。，解得

2

P=F

53,

g=2

2

・,・直线BC的解析式为尸-丁+2,

设尸（机,一|■机2+1机+2）,则N（机,-|■〃？+2）,

24（2、2

PN=--/712+—7H+2-I--/??+21=--m2+27H,而PQ=1-m,

・・・四边形PQMN的周长

=2^22+2m+1—m2+2m+2=—+-^（0＜m＜1）,

.・・当m=:3时，四边形PQMN的周长有最大值，最大值为11?.

44

（3）当0＜机＜1时，PQ=i-m,

9

当PQ=FN时，四边形PQMN为正方形，即-§/+26=1-加，

整理得：2＞_9〃7+3=0，

解得i=经巨（舍去），m『且,

"4"4

当1＜相＜3时，PQ=m-\,

2

若尸。二PN时，四边形PQMN为正方形，即一Wm2+2机=相一1,

3

整理得：2m2-3m-3=0,

解得：〃?=上叵（舍去），3^/33；

'44

当机=吃2巨或"=三叵时，四边形PQMN为正方形.

44

试卷第18页，共23页

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，一次函数解析式求解，

准确计算是解题的关键.

26.如图，在3ABe中，AB=IO,AC=8,BC=6,点。是A8中点，连接8,动点尸

从点C出发沿折线方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作

PE1AC,垂足为点E,以PE,/>£>为邻边作平行四边形尸力/芯.设点P的运动时间为

f（秒）.

备用图

⑴8=

（2）当点尸在5。上时，求PE的长度；（用含f的代数式表示）

（3）当平行四边形PDEE与.ACD重合部分图形的面积为S时，求S与f之间的函数关系

式;

（4）当点尸落在“ABC的某个内角平分线上时请直接写出f的值.

【答案】（1）5

(2)也1I

48224/八cV、

--r*+—r(O<r<2.5)

⑶S=，

卫人史r-18(2.5</<5)

255

小25T25

⑷诵或不

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明NAC3=90。，利用直角三角形斜边中线的性

质求解即可.

ppAp

（2）先求出"二27，证明△PAEs△84。，可得受=_3,由此构建关系式，可得

BCAB

结论.

（3）分两种情形：如图2中，当0<r<2.5时，重叠部分是四边形。的，当2.5<r45

时，重叠分是四边形DVEM,据此求解可得结论.

（4）分两种情形：如图5中，当4尸平分/BAC时，过点尸作用14）于点H,贝I

^AFT^AFH,设FT=FH=x,利用勾股定理求出x,再构建方程，求出f.如图

6中，当8尸平分时，证明DF=B£>=5,构建方程求解即可.

【详解】(1)解：如图1所示，

图1

AB=iO,AC=8,BC=6,

AB2=AC2+BC2,

ZACB=90°,

点、。是A3中点，

CD=-AB=5,

2

故答案为：5；

(2)解：如图2,点P在上时,

PE工AC,BCYAC,

/\PAE^/\BAC,

PEAPPE2t

—=—,即nn一=—,

BCAB610

PE=-t；

5

(3)解：当0<f<2.5时，平行四边形与,ACO重合部分图形的面积为S时、如

图3所示，延长。产交AC于7,

试卷第20页，共23页

B

PE//DF,PE//BC,

：.DT//BC,

.・・AADTsAABC,

.DTATAD\

：.DT=-BC=3AT=-AC=4

2f2t

CT=4,

PE//DF,

△PCE^ADCT,

.CPCEPE

~CD~~CT~~DT'

2tCEPE

..———―.

543

CE=|r,PE.t,

o

・.篁=4——f

5

・•.S=PE