中职拓展模块平面几何公式及应用测试题

中职拓展模块平面几何公式及应用测试题平面几何公式1.三角形-周长公式：$C=a+b+c$-面积公式：$S=\dfrac{1}{2}bh$-直角三角形勾股定理：$c^2=a^2+b^2$-正弦定理：$\dfrac{a}{\sinA}=\dfrac{b}{\sinB}=\dfrac{c}{\sinC}$-余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$2.矩形-周长公式：$C=2(a+b)$-面积公式：$S=ab$-对角线长度：$d=\sqrt{a^2+b^2}$-对角线夹角余弦值：$\cos\theta=\dfrac{a^2+b^2-d^2}{2ab}$3.正方形-周长公式：$C=4a$-面积公式：$S=a^2$-对角线长度：$d=a\sqrt{2}$-对角线夹角余弦值：$\cos\theta=\dfrac{a^2-a^2\sqrt{2}}{2a^2}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$4.平行四边形-周长公式：$C=2(a+b)$-面积公式：$S=bh$-对角线夹角余弦值：$\cos\theta=\dfrac{a\cdotc+b\cdotd}{\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}$简答题1.证明矩形对角线相等解：设矩形的宽和长分别为$a$和$b$，则矩形的对角线长度：$d=\sqrt{a^2+b^2}$矩形的另外两个角为$90^\circ$，则根据勾股定理可得相邻两边平方和等于对边平方。$a^2+b^2=d^2$所以，矩形的对角线相等。2.证明平行四边形对角线平分解：如下图所示，平行四边形$ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，则$\triangleAOC$与$\triangleBOD$全等，并且$\angleAOC=\angleBOD$因此，对角线$AC$和$BD$平分。计算题1.如图，已知矩形$ABCD$的边长$AB=6cm$，$AD=8cm$，点$M$在$CD$边上，且$CM=MD=4cm$，连接$BM$并延长交$AD$于点$N$，求$BM$的长度。解：设$BM=x$，则$MN=4-x$，$AN=8-4+x=x+4$。由全等三角形可得$\triangleBNM\cong\triangleANM$。因此，$\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{NM}{AM}$$\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{4-x}{6}$解得，$x=\dfrac{8}{5}$所以，$BM=\dfrac{8}{5}cm$2.如图，$ABCD$是一长方形，$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点，连线$AE$和$CG$相交于点$K$，连线$FH$和$ED$相交于点$L$，求证：长方形$ABCD$可以被平分线$KL$分成两个面积相等的部分。解：连接$AD$，作平行于$KL$的直线交$AD$于点$M$，则$\triangleKAE\cong\triangleGCM$，$\triangleLHF\cong\triangleDME$因此，$AM=MC$，$DM=MB$又因为矩形$ABCD$的面积为$S=ab$，$E$和$F$分别为$AB$和$BC$的中点，所以$EF=\dfrac{1}{2}ab$，同理$GH=\dfrac{1}{2}ab$因此，矩形$EFGH$的面积为$S_1=EF\cdotGH=\dfrac{1}{4}ab$矩形$KLMN$的面积为$S_2=(AK+DM)\cdotKL$由于$AK=DC=\dfrac{1}{2}ab$，$DM=MB=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}bc$，$KL=2EF=\dfrac{1}{2}ab$所以，$S_2=(\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}bc)\cdot\dfrac{1}{2