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文档简介
第23课垂径定理目标导航目标导航课程标准理解圆的对称性;掌握垂径定理及其推论;3.学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.知识精讲知识精讲知识点01垂径定理1.垂径定理
垂直于弦的直径这条弦,并且平分弦所对的.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径,并且平分弦所对的.
要点诠释:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.知识点02垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;弦的经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧..要点诠释:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意,就能推出其他结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)能力拓展能力拓展考法01应用垂径定理进行计算与证明【典例1】如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径是.【即学即练1】如图所示,⊙O两弦AB、CD垂直相交于H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求⊙O半径.【即学即练2】如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.【典例2】已知:⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,求AB、CD间的距离.【即学即练3】在⊙O中,直径MN⊥AB,垂足为C,MN=10,AB=8,则MC=_________.考法02垂径定理的综合应用【典例3】如图,某新建公园有一个圆形人工湖,湖中心O处有一座喷泉,小明为测量湖的半径,在湖边选择A、B两个点,在A处测得∠OAB=45°,在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°,已知BC=50米,求人工湖的半径.(结果保留根号)【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F.(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;(2)请你观察(1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA=OB除外)(不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程);(3)请你选择(1)中的一个图形,证明(2)所得出的结论.分层提分分层提分题组A基础过关练1.下列结论正确的是()A.经过圆心的直线是圆的对称轴 B.直径是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与直径相交的直线是圆的对称轴2.下列命题中正确的是()A.经过三个点可以作一个圆 B.长度相等的弧是等弧C.相等的圆心角所对的弧相等 D.弦的垂直平分线一定经过圆心3.如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论一定错误的是()A.CE=DE B.AE=OE C. D.△OCE≌△ODE4.如图,在直径AB=12的⊙O中,弦CD⊥AB于M,且M是半径OB的中点,则弦CD的长是()A.3 B.3 C.6 D.65.如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为______.6.已知⊙O中,弦AB=24cm,圆心到AB的距离为5cm,则此圆的半径等于_______cm.7.如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD于E,DE=8cm,CE=2cm,则AB=______cm.8.如图,如AE是⊙O的直径,半径OD垂直于弦AB,垂足为C,AB=8cm,CD=2cm,则BE=.9.如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=_____.题组B能力提升练1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为____________.2.如图,P为⊙O的弦AB上的点,PA=6,PB=2,⊙O的半径为5,则OP=______.3.如图,AB是⊙O的弦,⊙O的半径OC⊥AB于点D,若AB=6cm,OD=4cm,则⊙O的半径为_____cm.4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠CAB=22.5°,CD=8cm,则⊙O的半径为______cm.5.如图所示,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD于M,CD=10cm,OM:OC=3:5,求弦AB的长.6.如图,在⊙O中,直径AB=10,弦CD⊥AB,垂足为E,BE=2,求弦CD的长.题组C培优拔尖练1.如图,⊙的半径为,为弦,,交于点,交⊙于点,.求弦的长.2.如图,四边形ABCD是矩形,以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F,AB=4,AD=12.求线段EF的长.3.如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度为,拱高为,当洪水泛滥到跨度只有时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有,即时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施.4.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.(1)证明:点E是OB的中点;(2)若AB=8,求CD的长.5.如图,⊙O的两条弦AB、CD交于点E,OE平分∠BED.(1)求证:AB=CD;(2)若∠BED=60°,EO=2,求DE﹣AE的值.第23课垂径定理目标导航目标导航课程标准理解圆的对称性;掌握垂径定理及其推论;3.学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.知识精讲知识精讲知识点01垂径定理1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.知识点02垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)能力拓展能力拓展考法01应用垂径定理进行计算与证明【典例1】如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径是.【答案】eq\r(,5).【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N,连结OA,∵AB=CD,CE=1,ED=3,∴OM=EN=1,AM=2,∴OA=.【点评】对于垂径定理的使用,一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.【即学即练1】如图所示,⊙O两弦AB、CD垂直相交于H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求⊙O半径.【答案】如图所示,过点O分别作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,则四边形MONH为矩形,连结OB,∴,,∴在Rt△BOM中,.【即学即练2】如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.【答案与解析】解:过O作OF⊥CD,交CD于点F,连接OD,∴F为CD的中点,即CF=DF,∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2,在Rt△OEF中,∠DEB=30°,∴OF=OE=1,在Rt△ODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得:DF==,则CD=2DF=2.【典例2】已知:⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中,两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度,若分别作弦AB、CD的弦心距,则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1,当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时,作OM⊥AB于点M,并延长MO,交CD于N点.分别连结AO、CO.
∵AB∥CD
∴ON⊥CD,即ON为弦CD的弦心距.
∵AB=12cm,CD=16cm,AO=OC=10cm,
=8+6
=14(cm)
图1图2(2)如图2所示,当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时,
同理可得:MN=OM-ON=8-6=2(cm)
∴⊙O中,平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.
【点评】解这类问题时,要按平行线与圆心间的位置关系,分类讨论,千万别丢解.【即学即练3】在⊙O中,直径MN⊥AB,垂足为C,MN=10,AB=8,则MC=_________.【答案】2或8.考法02垂径定理的综合应用【典例3】如图,某新建公园有一个圆形人工湖,湖中心O处有一座喷泉,小明为测量湖的半径,在湖边选择A、B两个点,在A处测得∠OAB=45°,在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°,已知BC=50米,求人工湖的半径.(结果保留根号)【答案与解析】解:过点O作OD⊥AC于点D,则AD=BD,∵∠OAB=45°,∴AD=OD,∴设AD=x,则OD=x,OA=x,CD=x+BC=x+50.∵∠OCA=30°,∴=,即=,解得x=,∴OA=x=×()=()(米).答:人工湖的半径为()米.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F.(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;(2)请你观察(1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA=OB除外)(不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程);(3)请你选择(1)中的一个图形,证明(2)所得出的结论.【答案与解析】(1)如图所示,在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点;在图②中AB、CD交于⊙O内一点;在图③中AB∥CD.(2)在三个图形中均有结论:线段EC=DF.(3)证明:过O作OG⊥l于G.由垂径定理知CG=GD.∵AE⊥l于E,BF⊥l于F,∴AE∥OG∥BF.∵AB为直径,∴AO=OB,∴EG=GF,∴EC=EG-CG=GF-GD=DF.【点评】在运用垂径定理解题时,常用的辅助线是过圆心作弦的垂线,构造出垂径定理的基本图形.分层提分分层提分题组A基础过关练1.下列结论正确的是()A.经过圆心的直线是圆的对称轴
B.直径是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与直径相交的直线是圆的对称轴【答案】A【详解】因为A选项,经过圆心的直线是圆的对称轴,所以A选项正确,B选项,直径所在的直线是圆的对称轴,所以B选项错误,C选项,与圆相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以C选项错误,D选项,与直径相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.故选A.点睛:本题考查了圆的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握圆的对称性.2.下列命题中正确的是()A.经过三个点可以作一个圆 B.长度相等的弧是等弧C.相等的圆心角所对的弧相等 D.弦的垂直平分线一定经过圆心【答案】D【分析】利用弦的定义,构成圆的条件以及垂径定理逆定理判断即可.【详解】解:A.不在同一直线上的三个点一定可以作圆,原题说法错误;B.在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧,原题说法错误;C.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,原题说法错误;D.弦的垂直平分线一定经过圆心,原题说法正确.故答案为:D.【点睛】本题考查了命题与定理,关键是掌握有关性质和定理,能对命题的真假进行判断.3.如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论一定错误的是()A.CE=DE B.AE=OE C. D.△OCE≌△ODE【答案】B【详解】试题分析:∵⊙O的直径AB⊥弦CD,∴CE=DE,,在Rt△CEO和Rt△DEO中,∵CO=DO,OE=OE,∴△OCE≌△ODE,只有AE=OE不能判定,故选B.考点:垂径定理.4.如图,在直径AB=12的⊙O中,弦CD⊥AB于M,且M是半径OB的中点,则弦CD的长是()A.3 B.3 C.6 D.6【答案】D【解析】连接OC.Rt△OCM中,OC=6,OM=AB=3,由勾股定理得:MC==3;∵AB⊥CD,∴CM=MD,∴CD=2MC=6.故选D.点睛:要求弦长,一般过圆心作弦的垂线段,连接圆心和弦的一个端点,结合垂径定理、勾股定理求得.5.如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为______.【答案】【详解】试题分析:连接OC,则OC=r,OE=r-1,CE=CD=2,根据Rt△OCE的勾股定理可得:,解得:r=.考点:垂径定理.6.已知⊙O中,弦AB=24cm,圆心到AB的距离为5cm,则此圆的半径等于_______cm.【答案】13【解析】先画图,由于OC⊥AB,根据垂径定理可知AC=BC=先画图,由于OC⊥AB,根据垂径定理可知AC=BC=AB=12,再利用勾股定理易求OA.解:如图所示,O到弦AB的距离为OC,连接OA,∵OC⊥AB,∴AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,OA==13.故答案是13.7.如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD于E,DE=8cm,CE=2cm,则AB=______cm.【答案】8【解析】如图:连接.,∴为的中点,即在中,根据勾股定理得:故答案为:8.如图,如AE是⊙O的直径,半径OD垂直于弦AB,垂足为C,AB=8cm,CD=2cm,则BE=.【答案】6cm【解析】试题分析:根据垂径定理可得AC=4cm,然后设CO=xcm,则DO=AO=(x+2)cm,再利用勾股定理可得(x+2)2=42+x2,解出x=3,再根据三角形中位线定理可得BE=2CO=6cm.考点:1、垂径定理,2、勾股定理,3、三角形的中位线定理9.如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=_____.【答案】4cm【详解】解:连接OA,∵OC⊥AB,∴AC=AB=3cm,∴OC==4(cm).故答案为4cm.【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用,掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.题组B能力提升练1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为____________.【答案】50°【解析】试题分析:连接CD,∵∠A=25°,∴∠B=65°,∵CB=CD,∴∠B=∠CDB=65°,∴∠BCD=50°,∴的度数为50°考点:1.圆心角、弧、弦的关系;2.三角形内角和定理;3.直角三角形的性质2.如图,P为⊙O的弦AB上的点,PA=6,PB=2,⊙O的半径为5,则OP=______.【答案】【分析】连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C,由垂径定理求得AC,再由勾股定理求得OC,再在直角三角形OPC中,利用勾股定理求得OP即可.【详解】解:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C,∵PA=6,PB=2,∴AC=4,∴PC=2,∵OA=5,∴由勾股定理得:OC==3,∴OP=,故答案为:.【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理,解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算.3.如图,AB是⊙O的弦,⊙O的半径OC⊥AB于点D,若AB=6cm,OD=4cm,则⊙O的半径为_____cm.【答案】5【解析】试题分析:连接OA,根据垂径定理可得:AD=3cm,OD=4cm,根据Rt△OAD的勾股定理可得:OA=5cm,即圆的半径为5cm.4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠CAB=22.5°,CD=8cm,则⊙O的半径为______cm.【答案】4【解析】连接OC,如图所示:∵AB是O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=CD=3cm,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=22.5°,∵∠COE为△AOC的外角,∴∠COE=45°,∴△COE为等腰直角三角形,∴OC=CE=cm,故答案为.5.如图所示,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD于M,CD=10cm,OM:OC=3:5,求弦AB的长.【答案】AB=8.【解析】试题分析:连接OA,先根据CD=10cm得出OC的长,再由OM:OC=3:5得出OM的长,由勾股定理求出AM的长,进而可得出结论.试题解析:连接OA,∵CD=10cm,∴OC=5cm.∵OM:OC=3:5,∴OM=3,∴AM=OA2−O∴AB=2AM=8.【考点】垂径定理;勾股定理.6.如图,在⊙O中,直径AB=10,弦CD⊥AB,垂足为E,BE=2,求弦CD的长.【答案】CD=8.【解析】试题分析:连接OC,先根据直径AB=10,求出OC的长,再根据勾股定理求出CE的长,由垂径定理即可得出结论.试题解析:连接OC,∵直径AB=10,BE=2,∴OE=5﹣2=3,OC=5;∵弦CD⊥AB,∴CE=DE;由勾股定理得:CE==4,∴CD=2CE=8.题组C培优拔尖练1.如图,⊙的半径为,为弦,,交于点,交⊙于点,.求弦的长.【答案】8【解析】【分析】求出OD,根据垂径定理得出,根据勾股定理求出AD,即可得出答案.【详解】解:∵⊙的半径为,∴,∵,∴,∵,∴,,在中,,∴,∴,∴.【点睛】此题考查垂径定理及其推论,勾股定理,解题关键在于得出2.如图,四边形ABCD是矩形,以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F,AB=4,AD=12.求线段EF的长.【答案】4【分析】作OM⊥BC于M,连接OE,根据垂径定理求出EF=2EM,求出OE和OM长,根据勾股定理求出EM,即可求出EF.【详解】作OM⊥BC于M,连接OE,
则ME=MF=EF,
∵AD=12,
∴OE=6,
在矩形ABCD中,OM⊥BC,
∴OM=AB=4,
∵在△OEM中,∠OME=90°,
ME===2,
∴线段EF的长度为4.【点睛】考查了勾股定理、垂径定理、矩形的性质等知识点,解题关键是构造直角三角形.3.如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度为,拱高为,当洪水泛滥到跨度只有时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有,即时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【答案】不需要采取紧急措施,理由详见解析.【分析】连接OA′,OA.设圆的半径是R,则ON=R−4,OM=R−18.根据垂径定理求得AM的长,在直角三角形AOM中,根据勾股定理求得R的值,在直角三角形A′ON中,根据勾股定理求得A′N的值,再根据垂径定理求得A′B′的长,从而作出判断.【详解】设圆弧所在圆的圆心为,连结,,如图所示设半径为则由垂径定理可知,∵,∴,且在中,由勾股定理可得即,解得∴在中,由勾股定理可得∴∴不需要采取紧急措施.【点睛】此类题综合运用了勾股定理和垂径定理,解题的关键是熟知垂径定理的应用.4.如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.(1)证明:点E是OB的中点;(2)若AB=8,求CD的长.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)要证明:E是OB的中点,只要求证OE=OB=OC,即证明∠OCE=30°即可;
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