北师大版七年级数学下册举一反三 专题2.1 两条直线的位置关系-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

专题2.1两条直线的位置关系-重难点题型【北师大版】【知识点1对顶角与邻补角】1.对顶角①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.②对顶角的性质：对顶角相等.2.邻补角①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.②邻补角的性质：邻补角互补.【题型1对顶角与邻补角的性质】【例1】(2023春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（）A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36°【变式1-1】(2023春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（）A．150° B．180° C．210° D．120°【变式1-2】(2023春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°【变式1-3】(2023春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．48°【知识点2垂线】①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线互相垂直.②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.③它们的交点叫做垂足.④垂线的性质：性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.【题型2垂线的唯一性及画法】【例2】(2023春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（）A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线 C．连接PQ使PQ⊥l D．过Q可画直线与l垂直【变式2-1】(2023春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（）A． B． C． D．【变式2-2】(2023春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【变式2-3】(2023春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（）A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点之间，线段最短【题型3垂线段最短】【例3】(2023春•白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（）A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm【变式3-1】(2023春•济阳区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【变式3-2】(2023秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段的长度，其依据是．【变式3-3】(2023秋•通州区期末）如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是c．【知识点3点到直线的距离】点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【题型4点到直线的距离】【例4】(2023春•锦江区校级期末）如图，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（）A．点C到AB的垂线段是线段CD B．CD与AC互相垂直 C．AB与CE互相垂直 D．线段CD的长度是点D到AC的距离【变式4-1】(2023春•饶平县校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（）①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式4-2】(2023春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（）A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离 B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离 C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离 D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离【变式4-3】(2023春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有．（写出所有正确结论的序号）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为125【知识点4余角和补角】（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．【题型5余角与补角的定义】【例5】(2023春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．【变式5-1】(2023•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（）A．45° B．60° C．90° D．180°【变式5-2】(2023秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．【变式5-3】(2023秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．【题型6相交线中的角度计算】【例6】(2023秋•双阳区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．【变式6-1】(2023秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如图1：①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝°；②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是．【变式6-2】(2023秋•南岗区校级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．（1）如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．（2）如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠【变式6-3】(2023秋•滨海县期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．（1）如图1，求∠AOC的度数；（2）如图2，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的角平分线OM，求∠MOD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．专题2.1两条直线的位置关系-重难点题型【北师大版】【知识点1对顶角与邻补角】1.对顶角①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.②对顶角的性质：对顶角相等.2.邻补角①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.②邻补角的性质：邻补角互补.【题型1对顶角与邻补角的性质】【例1】(2023春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（）A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36°分析：先用∠1表示∠3，再根据平角定义得∠1的度数，然后根据对顶角和邻补角得其它几个角的度数可得答案．【解答】解：∵2∠3＝3∠1，∴∠3=3∵∠3+∠1＝180°，∴32∴∠1＝72°，∴∠3＝∠2＝180°﹣72°＝108°，∠1＝∠4＝72°，故选：A．【变式1-1】(2023春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（）A．150° B．180° C．210° D．120°分析：根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，∴∠COF＝∠DOE，∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF=1故选：B．【变式1-2】(2023春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°分析：根据对顶角、邻补角的概念和性质进行判断即可．【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，∵∠1与∠3是邻补角，∴∠1+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°．故选：B．【变式1-3】(2023春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．48°分析：设∠DOF＝x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．【解答】解：设∠DOF＝x，则∠AOD＝2x，∴∠AOF＝3x，∴∠BOF＝180°﹣3x，∵OE平分∠BOF，∴∠FOE=12∠BOF＝90°−∵∠DOE＝78°，∴∠DOF+∠FOE＝78°，即x+90°−32解得：x＝24°，则∠AOD＝2x＝48°，∴∠BOC＝∠AOD＝48°，故选：D．【知识点2垂线】①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线互相垂直.②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.③它们的交点叫做垂足.④垂线的性质：性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.【题型2垂线的唯一性及画法】【例2】(2023春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（）A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线 C．连接PQ使PQ⊥l D．过Q可画直线与l垂直分析：直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．【解答】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；故选：C．【变式2-1】(2023春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（）A． B． C． D．分析：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．【解答】解：根据分析可得D的画法正确，故选：D．【变式2-2】(2023春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条分析：根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，故选：B．【变式2-3】(2023春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（）A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点之间，线段最短分析：利用垂线的性质解答．【解答】解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：C．【题型3垂线段最短】【例3】(2023春•白碱滩区期末）直线l外有一点P，直线l上有三点A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（）A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm分析：由点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，由垂线段最短可知点P到直线l的距离不大于2cm，进而求解．【解答】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，∴PB最短，∵直线外一点与直线上点的连线中，垂线段最短，∴P到直线l的距离不大于2cm，故选：C．【变式3-1】(2023春•济阳区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2分析：当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积=12•AB•PC=12•∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故选：C．【变式3-2】(2023秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段CD的长度，其依据是垂线段最短．分析：利用垂线段最短及跳远比赛的规则即可求解．【解答】解：小明同学的体育成绩，应该选取线段CD的长度．依据为：垂线段最短．故答案为：CD，垂线段最短．【变式3-3】(2023秋•通州区期末）如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是c．分析：根据垂线段的性质，即可得到AC＜AB，BD＜AB，进而得出a＜c，b＜c．【解答】解：如图所示，∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴AC＜AB，BD＜AB，即a＜c，b＜c，∴在a，b，c三个数据中，最大的是c，故答案为：c．【知识点3点到直线的距离】点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【题型4点到直线的距离】【例4】(2023春•锦江区校级期末）如图，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足为E，则下面的结论中，不正确的是（）A．点C到AB的垂线段是线段CD B．CD与AC互相垂直 C．AB与CE互相垂直 D．线段CD的长度是点D到AC的距离分析：根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵CE⊥AB，∴点C到AB的垂线段是线段CE，原说法错误，故本选项符合题意；B、∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，即CD与AC互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；C、∵CE⊥AB，垂足为E，∴AB与CE互相垂直，原说法正确，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∴线段CD的长度是点D到AC的距离，原说法正确，故本选项不符合题意．故选：A．【变式4-1】(2023春•饶平县校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有（）①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个分析：根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；AC与DC相交不垂直，故②错误；点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．故选：B．【变式4-2】(2023春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（）A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离 B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离 C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离 D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离分析：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【解答】解：A．线段CD的长度是点C到直线AB的距离，故本选项正确；B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离，故本选项正确；C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离，故本选项正确；D．线段BD的长度是点B到直线CD的距离，故本选项错误；故选：D．【变式4-3】(2023春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有．（写出所有正确结论的序号）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为125分析：①根据垂直的定义即可求解；②根据余角的性质即可求解；③根据点到直线的距离的定义即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：①∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，故①正确；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠C＝∠ABD，故②正确；③点A到直线BD的距离为线段AD的长度，故③错误；④点B到直线AC的距离为12×3×4×2÷5=12故答案为：①②④．【知识点4余角和补角】（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．【题型5余角与补角的定义】【例5】(2023春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．【解题思路】利用题中的关系“一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍”，作为相等关系列方程求解即可．【解答过程】解：设这个角的度数为x°，2（180﹣x）﹣（90﹣x）＝4x．解得x＝54．所以这个角的度数是54°．【变式5-1】(2023•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（）A．45° B．60° C．90° D．180°【解题思路】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．【解答过程】解：由题意得：∠A+∠B＝180°，∠A+∠C＝90°，两式相减可得：∠B﹣∠C＝90°．故选：C．【变式5-2】(2023秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．【解题思路】设这个角为x°，则得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．【解答过程】解：设这个角为x°，则180﹣x+10＝3（90﹣x），解得：x＝40，即这个角的度数是40°，即这个角的余角是90°﹣40°＝50°，补角是180°﹣40°＝140°．【变式5-3】(2023秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．【解题思路】先画∠AOB的平分线OC，及满足条件的射线OD，而射线OD有两个位置，如图1，图2，由角平分线的定义及余角的定义可求解∠COD的度数，图1可由∠BOD＝∠BOC﹣∠COD，图2可由∠BOD＝∠BOC+∠COD计算求解．【解答过程】解：如图：因为∠AOB＝130°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC=12∠因为∠COD和∠AOC互余，所以∠COD＝90°﹣∠AOC＝25°，所以∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝65°﹣25°＝40°（图1），或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝65°+25°＝90°（图2）．【题型6相交线中的角度计算】【例6】(2023秋•双阳区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．分析：（1）由垂直定义的∠FOC＝∠FOD＝90°，再根据平角定义推得，余角的定义得结论；（2）根据角平分线的定义，对顶角相等求出∠AOD的度数；（3）根据等角的余角相等得出结论．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∴∠FOC＝∠FOD＝90°，∵∠AOF+∠FOC+COB＝180°，∴∠AOF+∠COB＝90°，∴∠COB是∠AOF的余角；∴∠BOF是∠AOF的补角；（2）∵OC平分∠BOE，∠BOE＝60°，∴∠BOC＝∠EOC=12∠∴∠AOD＝∠BOC＝30°，（3）相等，∵∠AOD+∠AOF＝∠EOF+∠EOC＝90°，∠BOC＝∠EOC，∠AOD＝∠BOC，∴∠∠AOF＝∠EOF．【变式6-1】(2023秋•和平区期末）平面内两条直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如图1：①若∠AOE＝20°，则∠DOF＝40°°；②请写出∠DOF和∠AOE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，∠DOF与∠AOE的数量关系是∠DOF＝2∠AOE．分析：（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分线的定义求出∠FOC即可，②设∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；（2）设∠AOE＝y，然后按照上题的思路表示∠DOF即可．【解答】解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝140°，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，故答案为：40°，②∠DOF＝2∠AOE，理由是：设∠AOE＝x，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，∴∠DOF＝2∠AOE；（2）∠DOF＝2∠AOE，理由是：设∠AOE＝y，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，∴∠DOF＝2∠AOE．【变式6-2】(2023秋•南岗区校级月考）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．（1）如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．（2）如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM