备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题1-6 二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角（解析版）

资料整理资料整理资料整理专题1－6二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角导语：见到2倍角的条件，首先想到“导”，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角度的位置，结合其他条件，这里做题的经验，总结了六个字：翻、延、倍、分、导、造目录知识点梳理 策略一：向外构造等腰（大角减半） 策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半） 策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍） 策略四：邻二倍角的处理 【经典例题讲解】 【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”

“延”

倍”“分” 【一题多解2】常规法与倍半角处理对比 策略五：绝配角模型 题型一向外构造等腰三角形（大角减半） 2023·深圳南山区联考二模 2023·山西·统考中考真题 题型二向内构造等腰（小角加倍或大角减半） 题型三沿直角边翻折半角（小角加倍） 2023·深圳宝安区二模 2023·深圳中学联考二模 题型四邻二倍角的处理 题型五绝配角 题型六坐标系中的二倍角问题 宿迁·中考 盐城·中考 河南·中考 2023·内蒙古赤峰·统考中考真题 江苏苏州·统考中考真题 内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题 2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题 2023·湖北黄冈·统考中考真题 题型七其它构造方式 知识点梳理策略一：向外构造等腰（大角减半）已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACBAACBD辅助线作法：延长CB到D，使BD＝BA，连接AD结论：AD＝AC，△BDA∽△ADC策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠B辅助线作法：法一：作∠ABC的平分线交AC于点D，结论：∠DBC＝∠C，DB＝DCAADBC法二：在BC上取一点E，使AE＝CE，则∠AEB＝2∠C＝∠B（作AC中垂线得到点E）总结：策略一和策略二都是当2倍角和1倍角共边时对应的构造方法，下面我们再来看看不在同一个三角形中时该如何处理策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，连接AD，∠B＝2∠CADAABCDE辅助线作法：沿AC翻折△ACD得到△ACE结论：AD＝AE，∠DAE＝∠B，BA＝BE，△ADE∽△BAE策略四：邻二倍角的处理已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠CAD辅助线作法：法一：向外构造等腰（导角得相似）延长AD到E，使AE＝AB，连接BE结论：BD＝BE，∠DBE＝∠BAD，△BDE∽△ABE法二：作平行线，把二倍角转到同一个三角形中延长AD到F，使CE∥AB，则∠F＝∠BAD【经典例题讲解】例题1如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是()A． B． C． D． 【简析】(1)方法一(常规解法)：如图，连接EF，易证△AEF为等边三角形，且△ADF≌△ABE(HL)，则DF＝BE，从而CF＝CE，即△CEF为等腰直角三角形；设CF＝x，则DF＝1－x，AF＝EF＝x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得1＋(1－x)2＝2x2，解得x＝－1(x＝－－1舍去)，故选C；方法二(倍半角模型)：如图，在边AD上取点P，使AP＝PF，同上可得△ADF≌△ABE(HL)，则∠DAF＝∠BAE＝15°，从而∠DPF＝30°；设DF＝x，则PD＝x，AP＝PF＝2x，故AD＝(2＋)x＝1，解得x＝2－，∴CF＝－1，选C例题2如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE，交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．【简析】(1)方法一(常规解法)：由题可得∠AFG＝∠DAF＝∠DAE＋∠EAF＝∠BAG＋∠BAF＝∠FAG，即∠AFG＝∠FAG，故FG＝AG＝AE＝2，从而CF＝CG－FG＝6－2；方法二(倍半角模型)：如图17－2－3，延长AF、DC交于点P，易得∠P＝∠BAF＝∠EAF，则PE＝AE＝2，故CP＝2－2，DP＝2＋2：又易证△PCF∽△PDA，故，即，从而CF＝6－；【反思】方法一的关键是通过导角得到等腰△AFG，方法二由“倍角∠AED”造“半角∠P”，并且这里的构造是通过“角平分线＋平行线→等腰三角形”自然衍生出来的例题3如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为()【简析】方法一(常规解法)：如图，作DG⊥BE于点G，由题易得∠CBD＝∠ABD＝∠CDB，则BC＝CD；进一步由DE⊥BD，可得∠CDE＝∠E，则CD＝CE＝BC，从而S□ABCD＝2S△BCD＝S△BDE，即S△BDE＝24，故BD＝8，BE＝10，所以DG＝，CD＝5，sin∠DCE＝，选A方法二(倍半角模型)：如图，在BD上取点F，使EF＝BF，易证∠DFE＝2∠EBF，∠DCE＝2∠EBF，故∠DFE＝∠DCE，要求sin∠DCE的值，只需求sin∠DFE；设EF＝BF＝x，同上可得BD＝8，则DF＝8－x，在Rt△DEF中，由勾股定理可得36＋(8－x)2＝x2，解得x＝，从面sin∠DFE＝，即sin∠DCE＝，选A．【反思】方法一通过作高是线构造Rt△CDG，结合面积法求解，方法二由“半角∠CBD”造“倍角∠DFE”，结合勾股定理列方程求．例题4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，则DE＝_________．

简析(1)方法一(常规解法)：由题得∠CBD＝∠ABD＝∠D，则CD＝BC＝6；又易得△CDE∽△ABE，则＝＝＝，故CE＝AC＝3，从而BE＝3，DE＝BE＝；方法二(倍半角模型)：如图，延长CB至点F，使BF＝AB＝10，连接AF，由题可得AC＝8，CF＝16，则tan∠F＝；又易得∠CBE＝∠F，故tan∠CBE＝，即＝，从而CE＝3，BE＝3；再作CG⊥BD于点G，易得BG＝BC＝；同上可得CB＝CD，故BD＝2BG＝，因此DE＝BD－BE＝；总结：具体问题具体对待，并非哪一种方法绝对简单，需根据问题特征选取较为合适的方法．【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”

“延”

倍”“分”如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AB＝3，BC＝5，求线段AC的长．法1：延长或翻折向外构造等腰（双等腰）易知法2：翻折或取点向内构造等腰（双等腰）法3：作角平分线易知△ABH∽△ACB法4：翻折一边+平行线向外作等腰(补成等腰梯形)法5：向外延长作等腰易知△ABC∽△ADC【一题多解2】常规法与倍半角处理对比如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD、CE、DE，已知AB＝2，BC＝2，当CE＋DE的值最小时，则的值为()A． B． C． D．简析(1)方法一(常规解法)：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交AB于点E，连接CE，此时CE＋DE取得最小值，且＝；再作DG⊥AB于点G，连接OC、BD，易证△OBC≌△ODC，则∠BOC＝∠DOC＝∠A，故sin∠A＝sin∠BOC＝，cos∠A＝cos∠BOC＝，从而BD＝ABsin∠A＝；又易证∠BDG＝∠A，故DG＝BDcos∠BDG＝BDcos∠A＝×＝；由△C′BE∽△DGE，可得＝＝，因此＝10，选A；方法二(倍半角模型)：如图17－4－3，同上作相关辅助线，易得∠DOG＝2∠BOC；在OB上取点F，使OF＝CF，则∠BFC＝2∠BOC＝∠DOG；设OF＝CF＝x，则BF＝－x，在Rt△BCF中，由勾股定理得4＋(－x)2＝x2，解得x＝，故sin∠DOG＝sin∠BFC＝，从而DG＝ODsin∠DOG＝，下略；方法三(面积法)：如图17－4－4，同上作相关辅助线(为说理方便，省去部分线段)，则∠DOG＝2∠BOC＝∠COC′；再作CH⊥OC′于点H′，易得CH＝＝，故sin∠DOG＝sin∠COC′＝，下略．反思：本题结构相当于已知“半角∠BOC”求“倍角∠DOG”，方法一通过作高法，构造直角三角形求解；方法二构造“倍半角模型”，结合勾股定理列方程求解；方法三依然基于导角分析，借助对称性，结合面积法求解．以上提供的三种方法都是“倍半角”处理的常见方法．如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．(1)求证：DO//AC；(2)求证：(3)若tan，求sin∠CDA的值。简析(1)如图，连接OC，易证DO⊥BC且AC⊥BC，故DO//AC；(2)由题可得∠BCD＝∠CAD，故△DCE∽△DAC，进一步可证；(3)方法一(母子型相似)：由可得；又△DCE∽△DAC，故；设DE＝k，则DC＝2k，DA＝4k，AE＝3k；又易证，故；由此再设FE＝m，则CE＝3m，CF＝4m，从而BC＝8m，AC＝6m，因此AB＝10m，sin∠B＝，即；方法二(角平分线之双垂法)：如，作EG⊥AB于点G，易证△AEC≌△AEG；由tan∠CAD＝，可设CE＝1，AC＝2，则EG＝1，AG＝2；又易得△BEG∽△BAC，＝＝2，；再设BG＝x，则BC＝2x，BA＝BG＋AG＝x＋2，BE＝BC－CE＝2x－1，从而有x＋2＝2(2x－1)，解得所以AB＝，即；方法三(角平分线之对称策略)：如图，连接BD并延长，交AC的延长线于点P，由题可设BD＝PD＝1，则AD＝2，AB＝AP＝；又sin∠PBC＝sin∠PAD＝，故PC＝PB·sin∠PBC＝从而AC＝因此即方法四(倍半角模型)：如图17－14－4，在AC上取点M，使AM＝EM，则∠CME＝2∠CAD＝∠BAC；由题可设CE＝1，AC＝2，再设AM＝ME＝x，则CM＝2－x，在Rt△CME中，由勾股定理可得解得，从而，故，即，所以反思：本题的结构为已知“半角∠CAD"求"倍角∠BAC"，从而转化为其余角∠CDA。以上提供的前三种方法都是借助相似或三角函数等进行计算，属常规思路，方法四基于导角分析，构造“倍半角模型”，显得尤为简单、直接，直指问题本质。策略五：绝配角模型【释义】当m，n两个角满足m＋2n＝180°时，称其为一对绝配角，或者：半角的余角与它本身称为绝配角【举例】常见的剧配角组合如下：绝配角组合1组合2组合3组合4组合5m2α90＋2α90－2α60＋2α60－2αn90－α45－α45＋α60－α60－α【解决】思路(一)：根据三角形内角和是180°，构造等腰三角形。思路(二)：根据平角是180°，m和2个n构成一个平角(有两条边在同一直线上)用一句话概括为：有等腰找等腰，没等腰造等腰其中“等腰”指的是以m为顶角、以n为底角的等腰三角形，了解绝配角模型，可以给我们提供一些辅助线思路（一）共顶共边翻折当两个角满足两个角满足m＋2n＝180°时，且共顶点共一边，这样的两个角是什么样的呢?发现OD为∠AOB邻补角的平分线，此时处理问题一般用翻折，把OB沿OD翻折．例题1：已知Rt△ABC中∠C＝90°，，，求的值． 方法一：分析：与∠DAC是共点A的绝配角，绝配角重叠，要翻折两次．解：将△AEC关于AE作轴对称图形，将△ADC关于AC作轴对称图形，如图，△EFG为直角三角形设，则，即可求出方法二：分析：由于∠CAD＝2t，构造一个以∠A为顶点的等腰△ADK，然后出现△ECA~△DCK解：构造以∠A为顶点的等腰△ADK(AD＝AK)．导角易得∠CDK＝∠AEC，△ECA~ADCK，设CK＝x，AC＝4x，AD＝5x，DC＝3x，ED＝9x(二)共三角形等腰(1)若为同一个三角形的内角，则此时三角形为等腰三角形．(2)若分别为同一个三角形的内角和外角，则另一内角为，此时三角形为等腰三角形(3)若分别为同一个三角形的内角和外角，此时可以以m为顶角作等腰三角形，此时会构成另一个相似的等腰三角形．(4)若为同一个三角形的内角，与(3)的情况相同．总结：“半角的余角，等腰形来找”例题2：如图在矩形ABCD中，点E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，且∠ABE＝2∠FBC，若BE＝5，则BF的长度为． 解法一：将△BFC沿CB翻折，交DC的延长线于点G，延长CD交BE的延长线于点H，,，△BHG为等腰，5x＝10，x＝2，AE＝3，BC＝6，BF＝． 解法二：连接并延长交BA的延长导角，得出△FHC为等腰三角形，平行不改变形状，△GBH为等腰三角形。根据腰等得出10－x＝4x，可求BF＝ 解法三：取AB中点G，连接CG，延长BE交CD的延长线于点H，得到△BCF≅△CBG，导角得出△BGK为等腰平行不改变形状，△HKC也为等腰。根据腰等得出10－x＝4x，可求BF以上三种解法都是利用造全等，转移角，构等腰，得出边的等量关系来求解。此题还可以构直接造等腰。用相似得出边的数量关系求解。请看解法四解法四：可以直接利用∠ABE=2α,构等腰△GBE，△BCF∼△EAG.根据腰等得出,可求BF重点题型·归类精练重点题型·归类精练题型一向外构造等腰三角形（大角减半）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究a，b，c满足的关系．AACB解：延长CB到D，使BD＝AB＝c，连接AD．AACDB则∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝2∠D．∵∠ABC＝2∠C，∴∠D＝∠C，∴AD＝AC＝b，△BAD∽△ACD，∴EQ\F(AD,BD)＝EQ\F(CD,AD)，∴EQ\F(b,c)＝EQ\F(a＋c,b)，∴b2＝c(a＋c)．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2eq\r(,6)，求BC的长．AABC解：延长CB到D，使DB＝AB＝3，连接AD．AADBC则∠D＝∠DAB，∴∠ABC＝2∠D．∵∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠D＝∠DAB，∴AD＝AC＝2eq\r(,6)，△BDA∽△ADC，∴EQ\F(AD,BD)＝EQ\F(CD,AD)，∴EQ\F(2eq\r(,6),3)＝EQ\F(CD,2eq\r(,6))，∴CD＝8，∴BC＝5．2023·深圳南山区联考二模一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM=．【答案】【分析】由CE=5，AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的长度，过E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的长度，由于∠CME=2∠ADE，延长MB至P，是MP=ME，可以证明，MP=x，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解．【详解】解：如图，过E作EN⊥AD于N，∴NE=NA，同理，延长MB至P，使MP=ME，连接PE，∴可设又设则在中，2023·山西·统考中考真题如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为．

【答案】【思路点拨】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，即，解得：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值．简析(1)如图，连接OD，由题易得∠2＝∠1＝∠ODA，则OD∥AC，故∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，所以BC是⊙O的切线；(2)方法一(常规解法)：由OD∥AC，可得△BOD∽△BAC，则＝，即＝，解得r＝；又可＝，故＝，从而＝，即CD＝BC＝3，所以tan∠3＝tan∠2＝＝；方法二(倍半角模型)：如图17－8－3，延长CA至点P，使AP＝AB＝10，易证∠3＝∠2＝∠1＝∠P，故tan∠3＝tan∠P＝＝；又由tan∠2＝，可得CD＝3，故BD＝5，从而易得r＝OD＝BD＝．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB·PA．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)已知PC＝20，PB＝10，点D是弧AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．简析(1)如图，连接OC，由PC2＝PBPA，可得＝，又∠P＝∠P，故△PCB∽△PAC，从而∠PCB＝∠A＝∠ACO，进一步可证∠OCP＝∠ACB＝90°，即OC⊥CP，所以PC是⊙O的切线；(2)方法一(常规解法)：连接OD，易证OD⊥AB；由PC2＝PBPA，可得PA＝40，AB＝30；又由△PCB∽△PAC，可得＝＝，故tan∠D＝tan∠A＝，从而OF＝OD＝，AF＝OA－OF＝，进一步可得EF＝AFsin∠A＝；方法二(倍半角模型)：同上可得AB＝30，则OC＝15，OP＝25，即OC：CP：OP＝3：4：5；如图17－9－3，延长CO至点Q，使OQ＝OP，易得tan∠D＝tan∠A＝tan∠Q＝，下略．反思：这是一个确定性问题，其结构相当于已知“倍角∠POC”求“半角∠A”，方法一利用“母子型相思似”求解，方法二构造“倍半角模型”求解，相对而言，前者更简单，后者更通用题型二向内构造等腰（小角加倍或大角减半）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B，EQ\F(AD,BD)＝EQ\F(1,3)，求cosB的值．AACBD解：过点C作CE⊥AB于点E．AACBED∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°－∠BCE＝∠B．∵∠ACD＝2∠B，∴∠ACD＝2∠ACE，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠A＝∠CDE，∴AC＝DC，∴AE＝DE．设AE＝DE＝a，则AD＝2a，BD＝6a，BE＝7a．∵∠ACE＝∠B，∠AEC＝∠CEB＝90°，∴△CEA∽△BEC，∴EQ\F(AE,CE)＝EQ\F(CE,BE)，∴EQ\F(a,CE)＝EQ\F(CE,7a)，∴CE＝eq\r(,7)a，∴BC＝eq\r(,BE2＋CE2)＝2eq\r(,14)a，∴cosB＝EQ\F(BE,BC)＝EQ\F(7a,2eq\r(,14)a)＝EQ\F(eq\r(,14),4)．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求AD的长．AACDB解：过点A作AE⊥BC于点E．AACDEB∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝90°－∠CAE＝∠C．∵∠BAD＝2∠C，∴∠BAD＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠B＝∠ADE，∴AB＝AD，∴BE＝DE＝EQ\F(1,2)BD＝1，∴CE＝4．∵∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠CEA＝90°，∴△ABE∽△CAE，∴EQ\F(AE,BE)＝EQ\F(CE,AE)，∴EQ\F(AE,1)＝EQ\F(4,AE)，∴AE＝2，∴AD＝eq\r(,DE2＋AE2)＝eq\r(,5)．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．(1)求证：△ACB是等腰直角三角形；(2)求证：OA2＝OEDC；(3)求tan∠ACD的值．简析(1)由题易得∠ABC＝45°，从而易证△ACB是等腰直角三角形；(2)如图，连接OC、OD，易证∠DOE＝∠D＝∠OCD，故△DOE∽△DCO，从而易得OD2＝DEDC，即OA2＝OEDC；(3)方法一(倍半角模型)：如图，连接AD、BD，设∠ACD＝x，则∠ABD＝x，∠AOD＝2x，从而∠CEO＝4x，∠CAE＝3x＝45°，所以x＝15°；在BD上取点F，使AF＝BF，则∠AFD＝30°；由此可设AD＝k，则DF＝k，AF＝BF＝2k，从而BD＝(2＋)k，故tan∠ABD＝＝2－，即tan∠ACD＝2－；方法二(解三角形)：同上可得∠ACD＝15°，则∠BCE＝75°，∠BEC＝60°；如图17－10－4，作EG⊥BC于点G，可设OE＝1，则OB＝OC＝，BC＝，BE＝＋1，从而BG＝EG＝＝，CG＝BC－BG＝，故tan∠ACD＝tan∠CEG＝＝2－．反思：(2)主要通过换边，结合相似证乘积式；(3)通过导角得到15°，方法一借助“倍半角模型”，由特殊角30°求“特殊半角”15°，方法二的本质是解△BCE，显然前者更为简便如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求BC的长．BBCAD解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BE于点F．BBCAEFD∵AB＝BD，∴AE＝DE，∠ABE＝2∠DBE，∴∠ABD＝2∠DBE．∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝∠DBE，∴CD∥BE，∴CD⊥AD，∴四边形CDEF是矩形，AD＝eq\r(,AC2－CD2)＝eq\r(,15)，∴EF＝CD＝1，AE＝DE＝EQ\F(eq\r(,15),2)，∴BE＝eq\r(,BD2－DE2)＝EQ\F(7,2)，∴BF＝BE－EF＝EQ\F(5,2)，∴BC＝eq\r(,BF2＋CF2)＝eq\r(,10)．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高，若AE＝4，CE＝2，求DE的长．AABCDE解：取AB的中点M，连接MD，ME．AABCDEM∵点D是BC中点，∴MD是△ABC的中位线，∴MD∥AC，MD＝EQ\F(1,2)AC，∴∠BDM＝∠C．∵∠C＝2∠B，∴∠BDM＝2∠B．∵AE是BC边上的高，∴∠AEB＝90°，∴ME＝EQ\F(1,2)AB＝MB，∴∠B＝∠MED，∴∠BDM＝2∠MED，∴∠DME＝∠MED，∴DE＝DM＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(1,2)eq\r(,AE2＋CE2)＝eq\r(,5)．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线，BD＝3，DE＝2，求AE的长．AACDBE解：延长CB到F，使BF＝AB，连接AF．AACDBEF则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F．∵AE是中线，∴BE＝EC，∴BD＋DE＝EC．∵∠ABC＝2∠C，∴∠F＝∠C，∴AF＝AC．∵AD⊥BC，∴DF＝DC，∴BF＋BD＝DE＋EC，∴AB＋BD＝DE＋BD＋DE，∴AB＝2DE＝4，∴AD2＝AB2－BD2＝7，∴AE＝eq\r(,DE2＋AD2)＝eq\r(,11)．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为BC边上一点，BD＝2DC，点E在AD的延长线上，∠ABC＝2∠DEC，AD·DE＝18，求sin∠BAC的值．AABECD解：延长CB到F，使BE＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，过点B作BH⊥AC于点H．则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F．AABGEFCDH∵∠ABC＝2∠DEC，∴∠F＝∠DEC．∵∠ADF＝∠CDE，∴EQ\F(AD,DF)＝EQ\F(CD,DE)，∴CD·DF＝AD·DE＝18．设CD＝a，则BD＝2a，DF＝2a＋5，∴a(2a＋5)＝18，解得a＝－EQ\F(9,2)（舍去）或a＝2，∴BC＝3a＝6，∴BG＝CG＝3，∴AG＝eq\r(,52－32)＝4，∴BH＝EQ\F(4,5)BC＝EQ\F(24,5)，∴sin∠BAC＝EQ\F(BH,AB)＝EQ\F(24,25)．如图，在□ABCD中，∠D＝2∠ACB，AE平分∠BAC交BC于点E，若BE＝2，CE＝3，求AE的长．AADBCE解：延长CB到F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N．AADBCFHENM则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D．∵∠D＝2∠ACB，∴∠ABC＝2∠ACB，∴∠F＝∠ACB，∴AF＝AC，△ABF∽△CAF，∴EQ\F(AF,BF)＝EQ\F(CF,AF)．∵AE平分∠BAC，∴EM＝EN，∴EQ\F(BE,CE)＝EQ\F(S△ABE,S△ACE)＝EQ\F(EQ\F(1,2)AB·EM,EQ\F(1,2)AC·EN)＝EQ\F(AB,AC)＝EQ\F(2,3)，∴EQ\F(AB,AF)＝EQ\F(2,3)．设AB＝2x，则BF＝2x，AF＝3x，CF＝2x＋5，∴EQ\F(3x,2x)＝EQ\F(2x＋5,3x)，解得x＝2，∴CF＝9，AB＝BF＝4，∴FH＝EQ\F(9,2)，∴BH＝EQ\F(1,2)，∴EH＝EQ\F(3,2)，AH2＝AB2－BH2＝EQ\F(63,4)，∴AE＝eq\r(,AH2＋EH2)＝3eq\r(,2)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝4，CD＝2eq\r(,11)，∠ABD＝2∠DBC，求BD的长．AADBC解：延长BA到P，使PA＝AB，过点P作PE⊥BD于点E，连接AE，PD．PPADBCE∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC．∵∠ABD＝2∠DBC，∴∠ABD＝2∠ADB．∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB．∵AB＝AC，∴PA＝AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠PAD＝∠CAD．∵AD＝AD，∴△PAD≌△CAD，∴PD＝CD＝2eq\r(,11)．∵PA＝AB，∠PEB＝90°，∴AE＝EQ\F(1,2)PB＝AB＝4，∴∠AEB＝∠ABD＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAE，∴DE＝AE＝4，∴PE2＝PD2－DE2＝28，∴BE＝eq\r(,PB2－PE2)＝6，∴BD＝BE＋DE＝10．题型三沿直角边翻折半角（小角加倍）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求AD的长．AABDC解：延长BC到E，使CE＝CD，连接AE．AABDCE∵∠ACB＝90°，∴AD＝AE，∴∠CAD＝∠CAE，∠ADC＝∠E．∵∠B＝2∠CAD，∴∠B＝∠DAE，∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴△ABE∽△DAE，BE＝AB，∴EQ\F(AE,DE)＝EQ\F(BE,AE)，∴AE2＝BE·DE＝BE·2CD＝10，∴AD＝AE＝eq\r(,10)．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求AD的长．AABDC解：延长BC到E，使CE＝CD，连接AE．AABDCE∵∠ACB＝90°，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠E，∠DAC＝∠EAC．∵∠B＝2∠DAC，∴∠B＝∠DAE，∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴BE＝AB＝4．设CE＝CD＝x，则BD＝2x，BE＝4x，∴4x＝4，∴x＝1，∴BC＝3，∴AC2＝42－32＝7，∴AD＝eq\r(,CD2＋AC2)＝2eq\r(,2)．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求AD的长．AABDC解：延长BC到点E，使CE＝CD，连接AE．AAEBDC∵AC⊥BC，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠E，∠DAC＝∠EAC．∵∠B＝2∠DAC，∴∠B＝∠DAE，∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴AB＝BE，△ABE∽△DAE，∴EQ\F(AE,BE)＝EQ\F(DE,AE)．∵BD＝3，DC＝2，∴DE＝4，BE＝7，∴EQ\F(AE,7)＝EQ\F(4,AE)，∴AD＝AE＝2eq\r(,7)．2023·深圳宝安区二模如图，在中，，点为中点，，则的值为．【答案】【详解】解：延长至E，使，连接，设，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，又，∴，故答案为：．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC的中点，连接BD，∠A＝2∠DBC，求tan∠ABD的值．BBCADC【答案】解：延长AC到E，使CE＝CD，连接BE，过点D作DH⊥AB于点H．BBCAHDCE∵∠ACB＝90°，∴BD＝BE，∴∠DBC＝∠EBC，∠BDC＝∠E，∴∠DBE＝2∠DBC．∵∠A＝2∠DBC，∴∠A＝∠DBE，∴∠ABE＝∠BDE＝∠E，∴AB＝AE，△ABE∽△BDE，∴EQ\F(AB,BE)＝EQ\F(BD,DE)，∴EQ\F(AE,BD)＝EQ\F(BD,DE)．设AD＝CD＝CE＝a，则AB＝AE＝3a，DE＝2a，∴EQ\F(3a,BD)＝EQ\F(BD,2a)，∴BD＝eq\r(,6)a，∴BC＝eq\r(,5)a．∵sinA＝EQ\F(DH,AD)＝EQ\F(BC,AB)，∴EQ\F(DH,a)＝EQ\F(eq\r(,5)a,3a)，∴DH＝EQ\F(eq\r(,5),3)a，AH＝EQ\F(2,3)a，BH＝EQ\F(7,3)a，∴tan∠ABD＝EQ\F(DH,BH)＝EQ\F(eq\r(,5),7)．2023·深圳中学联考二模如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则．【答案】【详解】解：如图所示，延长至使，作交于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，点D为BC边上一点，BD＝2CD，∠ABC＝2∠DAC，求EQ\F(AE,EC)的值．AABEDC解：延长BC到F，使CF＝CD，连接AF．AABFEDC∵∠ACB＝90°，∴AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，∠DAC＝∠FAC．∵∠ABC＝2∠DAC，∴∠ABC＝∠DAF，∴∠BAF＝∠ADF＝∠F，∴AB＝BF，△ABF∽△DAF，∴EQ\F(AF,BF)＝EQ\F(DF,AF)．设CF＝CD＝a，则BD＝2a，DF＝2a，BF＝4a，∴EQ\F(AF,4a)＝EQ\F(2a,AF)，∴AF2＝8a2，∴AC＝eq\r(,AF2－CF2)＝eq\r(,7)a．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠FAC．∵∠BCE＝∠ACF＝90°，∴△BCE∽△ACF，∴EQ\F(CE,CF)＝EQ\F(BC,AC)，∴EQ\F(CE,a)＝EQ\F(3a,eq\r(,7)a)，∴CE＝EQ\F(3eq\r(,7),7)a，∴AE＝EQ\F(4eq\r(,7),7)a，∴EQ\F(AE,EC)＝EQ\F(4,3)如图，在△Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，BC上的点，DC平分∠ADE，∠B＝2∠ACD，求CE的长．DDABCE解：延长BA到F，使AF＝AD，连接CF，过点E作EH⊥AB于点H．DDAFHBCE∵∠BAC＝90°，∴CD＝CF，∴∠F＝∠CDF，∠ACD＝∠ACF．∵∠B＝2∠ACD，∴∠B＝∠DCF，∴∠BCF＝∠CDF＝∠F，∴BF＝BC．设∠ACD＝α，则∠B＝2α，∠EDC＝∠ADC＝90°－α，∠BDE＝2α，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BH＝DH．设CE＝2x，则BF＝BC＝2x＋12，∴BH＝DH＝x＋1，AH＝x＋6．∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥AC，∴EQ\F(BH,AH)＝EQ\F(BE,CE)，∴EQ\F(x＋1,x＋6)＝EQ\F(12,2x)，解得x＝－4（舍去）或x＝9，∴CE＝2x＝18．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是中线，AB＝6，AD＝eq\r(,41)，求BC，AC的长．AABCD解：过点A作AH⊥BC于点H，在HC上截取HE＝BH，连接AE．AABCDHE则AE＝AB＝6，∴∠AEB＝∠B＝2∠C，∴∠EAC＝∠C，∴CE＝AE＝6．设BH＝EH＝x，则BC＝2x＋6，BD＝CD＝x＋3，∴DH＝3，∴AH＝eq\r(,AD2－DH2)＝4eq\r(,2)，∴BH＝eq\r(,AB2－AH2)＝2，∴BC＝10，CH＝8，∴AC＝eq\r(,AH2＋CH2)＝4eq\r(,6)．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠AED＝2∠DAE，CE＝7，BD＝18eq\r(,2)，求DE的长．AABCDE解：过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC点H，AABCDEGFH在AH上截取FH＝EH，连接DF．则DE＝DF，∴∠DFE＝∠AED＝2∠DAE，∴∠DFE＝∠AED，∴AF＝DF．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴AH＝DG＝EQ\F(eq\r(,2),2)BD＝18，CH＝DH．设CH＝DH＝x，则FH＝EH＝x－7，DF＝AF＝25－x，在Rt△DFH中，DH2＋FH2＝DF2，∴x2＋(x－7)2＝(25－x)2，解得x＝－48（舍去）或x＝12，∴DE＝DF＝25－x＝13．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，BD＝3，CD＝2，求AD的长．AACBD解：在AB上截取AE＝AC，连接DE，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H．AACBDFGEH∵∠DAE＝∠DAC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴DE＝CD＝2，∠AED＝∠C＝2∠B，∴∠EDB＝∠B，∴BE＝DE＝2．∵∠DAE＝∠DAC，∴DG＝DH，∴EQ\F(BD,CD)＝EQ\F(S△ABD,S△ACD)＝EQ\F(EQ\F(1,2)AB·DG,EQ\F(1,2)AC·DH)＝EQ\F(AB,AC)＝EQ\F(AC＋2,AC)＝EQ\F(3,2)，∴AC＝4，∴AB＝6．∵AF2＝AB2－BF2＝AC2－CF2，∴62－BF2＝42－(5－BF)，解得BF＝EQ\F(9,2)，∴DF＝EQ\F(3,2)，AF2＝62－BF2＝EQ\F(63,4)，∴AD＝eq\r(,DF2＋AF2)＝3eq\r(,2)．题型四邻二倍角的处理如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠DAC＝2∠DAB，BD＝4，DC＝9，求AD的长．AABCD解：延长DA到E，使AE＝AC，连接EC．AABCDE则∠E＝∠ACE，∴∠DAC＝2∠E．∵∠DAC＝2∠DAB，∴∠DAB＝∠E．∵∠ADB＝∠EDC＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴EQ\F(AD,ED)＝EQ\F(BD,CD)＝EQ\F(4,9)．设AD＝4m，则ED＝9m，AC＝AE＝5m，∴CD＝eq\r(,AC2－AD2)＝3m＝9，∴m＝3，∴AD＝4m＝12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为边AC上一点，∠DBC＝2∠ABD，CD＝3，BC＝7，求BD的长．DDABC例1解：延长BD到E，使BE＝BC，连接CE．DDAEBC设∠ABD＝α，则∠DBC＝2α，∠BCE＝∠E＝90°－α，∠CDE＝∠ADB＝90°－α，∴∠CDE＝∠E＝∠BCE，∴CE＝CD＝3，△CDE∽△BCE，∴EQ\F(CE,DE)＝EQ\F(BE,CE)，∴EQ\F(3,DE)＝EQ\F(7,3)，∴DE＝EQ\F(9,7)，∴BD＝BE－DE＝7－EQ\F(9,7)＝EQ\F(40,7)．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，∠BAD＝2∠CAD，BD＝10，DC＝3，求AD的长．AABCD解：延长AD到E，使AE＝AB，连接BE．AABEDC设∠CAD＝α，则∠BAD＝2α，∠ABE＝∠E＝90°－α，∠BDE＝∠ADC＝90°－α，∴∠BDE＝∠E＝∠ABE，∴BE＝BD＝10，△BDE∽△ABE，∴EQ\F(BE,DE)＝EQ\F(AE,BE)，∴AE·DE＝BE2＝100，∴DE(AD＋DE)＝100，∴2DE2＋2AD·DE＝200．∵AC2＝AB2－BC2＝AD2－DC2，∴(AD＋DE)2－132＝AD2－32，∴DE2＋2AD·DE＝160，∴DE2＋160＝200，∴DE2＝40，DE＝2eq\r(,10)，∴2eq\r(,10)AE＝100，∴AE＝5eq\r(,10)，∴AD＝3eq\r(,10)．如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．BBECAD【答案】【解析】过点C作CF∥AB交BD的延长线于点F．BBEGCADF则∠ECF＝∠A，∠F＝∠ABE．∵EB＝EA，∴∠A＝∠ABE，∴∠ECF＝∠F，∴EF＝EC，∴BF＝AC＝11，∴DF＝BF－BD＝11－8＝3．在BD上取点G，使DG＝DF，连接CG．则CF＝CG，∴∠CGF＝∠F＝∠ECF＝∠A＝2∠CBE，∴∠CBG＝∠BCG，∴CG＝BG＝BD－DG＝5，∴CD＝＝＝4，∴BC＝＝＝．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠ABC＝2∠DBA，DE⊥BA交BA的延长线于点E，若BE＝8，CD＝11，求BD的长．EEABCD解：过点D作DF∥BC交BE的延长线于点F，在EB上截取EG＝EF，连接DG．DDFEAGBC则∠F＝∠ABC＝2∠DBA，∠ADF＝∠C．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠F＝∠ADF，∴AF＝AD，∴BF＝CD＝11，∴EG＝EF＝BF－BE＝11－8＝3．∵DE⊥BA，∴DF＝DG，∴∠DGE＝∠F＝2∠DBA，∴∠BDG＝∠DBA，∴DG＝BG＝BE－EG＝5，∴DE＝eq\r(,DG2－EG2)＝4，∴BD＝eq\r(,BE2＋DE2)＝4eq\r(,5)．题型五绝配角如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．AABCDE【答案】2【解析】在BA上截取BF＝BD，连接DF．AABCDEF则∠BFD＝∠BDF＝90°－∠B＝90°－∠CDE＝∠CED，∴∠AFD＝∠AED，∠BDF＋∠CDE＝90°，∴∠EDF＝90°，∠ADF＝∠ADE＝45°．∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE，∴AF＝AE＝3，∴BD＝BF＝AB－AF＝5－3＝2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B，若BD＝2，AD＝4，求CD的长．BBCADC解：延长CA到点E，连接DE，使∠ADE＝∠B．ECECBCADC∵AD＝3，BD＝1，∴AB＝4．∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC＝90°．∴△ADE∽△ABC，∴EQ\F(AE,AC)＝EQ\F(AD,AB)＝EQ\F(2,3)．设∠ADE＝∠B＝α，则∠ACD＝2α，∠ADC＝90°－2α，∠CDE＝∠E＝90°－α，∴CD＝CE．设AE＝2x，则AC＝3x，CD＝CE＝5x，AD＝4x＝4，∴x＝1，∴CD＝5x＝5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠B，AD＝eq\r(,2)，求AB的长．AABCD解：延长AC到E，使AE＝AD，连接DE．AABCDE设∠B＝α，则∠DAC＝2α，∠ADE＝∠E＝90°－α，∠CDE＝α，∴∠B＝∠CDE．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴EQ\F(AB,DE)＝EQ\F(AC,CE)＝EQ\F(BC,DC)＝3．设CE＝a，则AC＝3a，AD＝AE＝4a＝eq\r(,2)，∴a＝EQ\F(eq\r(,2),4)，∴AC＝EQ\F(3eq\r(,2),4)，∴DC＝eq\r(,AD2－AC2)＝EQ\F(eq\r(,14),4)，∴DE＝eq\r(,DC2＋CE2)＝1，∴AB＝3DE＝3．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上，∠CED＝2∠BAD，若AE＝9，DE＝3，求BC的长．AACBDE解：在AD上取点P，连接PC，使PC＝AP，过点B作BH⊥AC于点H．AACBDEHP则∠PAC＝∠ACP．设∠BAD＝α，则∠CED＝2α，∠DCE＝90°－2α，∠PAC＝∠ACP＝45°－α，∠DPC＝90°－2α，∴∠DCE＝∠DPC．∵∠CDE＝∠PDC，∴△CDE∽△PDC，∴EQ\F(CD,DE)＝EQ\F(PD,CD)，∴CD²＝DE·PD．设PE＝x，则PD＝x＋3，PC＝AP＝9－x，CD2＝(9－x)2－(x＋3)2，∴(9－x)2－(x＋3)2＝3(x＋3)，解得x＝EQ\F(7,3)，∴CD2＝3(x＋3)＝16，∴CD＝4，∴AC＝eq\r(,CD2＋AD2)＝4eq\r(,10)．∵∠BCH＝∠ACD，∠BHC＝∠ADC＝90°，∴△BCH∽△ACD，∴EQ\F(BH,CH)＝EQ\F(AD,CD)＝EQ\F(12,4)＝3，∴AH＝BH＝3CH＝EQ\F(3,4)AC＝3eq\r(,10)，∴AB2＝2AH2＝180，∴BD＝eq\r(,AB2－AD2)＝6，∴BC＝BD＋CD＝6＋4＝10．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．AABCDFE【答案】3【解析】在AD上截取DG＝DC，连接CG．AABCDFEG设∠DBE＝x，则∠DAC＝2x，∠BAD＝60°＋2x，∠ABE＝∠AEB＝60°－x，∠D＝60°－2x，∠DGC＝∠EFC＝60°＋x，∴AE＝AB＝AC，∠AGC＝∠AFE．∵∠CAG＝∠EAF，∴△ACG≌△AEF，∴AG＝AF，∴EG＝CF＝1，∴CD＝DG＝DE＋EG＝2＋1＝3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝，求AB的长．BBDCA【答案】3解：延长BC到点E，使CE＝CD，连接AE，过点B作AE的垂线，垂足为F．FFBDCEA∵∠ACB＝90°，∴AE＝AD，∴∠EAC＝∠DAC＝2∠ABC．∵∠FBE＝∠EAC＝90°－∠E，∴∠FBE＝2∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC，∴AF＝AC，∴BF＝BC．设CD＝a，则BD＝2a，BF＝BC＝3a，BE＝4a，在△ABE中，由面积法得BE·AC＝AE·BF，∴4a·AC＝AE·3a，∴＝．设AC＝3m，则AD＝AE＝4m，CD＝，BC＝，AB＝＝＝3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥CD，AB＝AC，∠ABD＝2∠ADC，CD＝2eq\r(,5)，求AD的长．AADBC解：延长BA到点E，使AE＝AC，延长AE到点F，使EF＝AE，连接DE，DF．FFEADBC∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠DAC．∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴DE＝CD＝2eq\r(,5)，∠AED＝∠ACD＝90°，∠ADE＝∠ADC，∴AD＝FD，∴∠F＝∠DAE，∠ADE＝∠FDE，∵∠ABD＝2∠ADC，∴∠ABD＝2∠ADE＝∠ADF，∴∠BDF＝∠DAE＝∠F，∴BD＝BF．设AB＝AC＝x，则BE＝2x，BD＝BF＝3x，∴DE＝eq\r(,BD2－BE2)＝eq\r(,5)x＝2eq\r(,5)，∴x＝2，∴AE＝2，∴AD＝eq\r(,AE2＋AD2)＝2eq\r(,6)．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，∠ADC＝60°，∠BAD＝2∠CAD，BD＝5，CD＝1，求AD的长．AABDC解：延长BC到E，使BE＝BA，连接AE，过点A作AH⊥CE于点H．AAEBDCH设∠CAD＝α，则∠BAD＝2α，∠B＝60°－2α，∠BAE＝∠E＝60°＋α，∠CAE＝60°－2α，∴∠CAE＝∠B，∴∠ACE＝∠BAE＝∠E，∴AC＝AE，△ACE∽△BAE，∴CH＝EH，EQ\F(AE,CE)＝EQ\F(BE,AE)，∴AE2＝CE·BE．设CH＝EH＝x，则DH＝x＋1，AH＝eq\r(,3)x＋eq\r(,3)，CE＝2x，BE＝2x＋6，AE2＝x2＋(eq\r(,3)x＋eq\r(,3))2，∴x2＋(eq\r(,3)x＋eq\r(,3))2＝2x(2x＋6)，解得x＝EQ\F(1,2)，∴AD＝2DH＝2x＋2＝3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，DE，∠ABE＝2∠EDC，AE＝3，求DE的长．AABCDE解：在EA上截取EF＝EC，延长CA到G，使AG＝AF，连接BF，BG．AABCDEFG∵∠BAC＝90°，∴BF＝BG，∴∠G＝∠AFB．∵点D是BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE∥BF．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°．设∠EDC＝α，则∠ABE＝2α，∠G＝∠AFB＝∠AED＝45°＋α，∠ABG＝45°－α，∠EBG＝45°＋α，∴∠G＝∠EBG，∴BE＝GE．设EF＝EC＝x，则AG＝AF＝3－x，AB＝AC＝3＋x，BE＝GE＝6－x．在Rt△ABE中，(3＋x)2＋32＝(6－x)2，解得x＝1，∴AF＝2，AB＝4，∴BF＝eq\r(,AB2＋AF2)＝2eq\r(,5)，∴DE＝EQ\F(1,2)BF＝eq\r(,5)．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，DE，∠ABE＝2∠EDC，CE＝2eq\r(,6)，求AE的长．AAEBCD解：延长BA到F，使BF＝BE，连接AD，EF，过点E作EH⊥AF于点H．AAHFEBCD∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠EAF＝60°，∠ABC＝∠C＝30°．∵点D是BC的中点，∴∠BAD＝∠EAD＝60°，∠ADC＝90°，∴∠EAD＝∠EAF．设∠EDC＝α，则∠ABE＝2α，∠F＝∠BEF＝90°－α，∠ADE＝90°－α，∴∠ADE＝∠F．∵AE＝AE，∴△ADE≌△AFE，∴AD＝AF．设AE＝2x，则AH＝x，EH＝eq\r(,3)x，AB＝AC＝2x＋2eq\r(,6)，BH＝3x＋2eq\r(,6)，AF＝AD＝x＋eq\r(,6)，BE＝BF＝3x＋3eq\r(,6)．在Rt△BEH中，BH2＋EH2＝BE2，∴(3x＋2eq\r(,6))2＋(eq\r(,3)x)2＝(3x＋3eq\r(,6))2，解得x＝eq\r(,6)－4（舍去）或x＝eq\r(,6)＋4，∴AE＝2x＝2eq\r(,6)＋8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边AC，BC上的点，∠ABD＝2∠BAE，BE＝3eq\r(,2)，CD＝7，求BD的长．AABCEDC解：延长CA到F，使DF＝BD，连接BF，过点A作AH⊥BC于点H．AAFBCEHDC∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°．设∠BAE＝α，则∠AEH＝45°＋α，∠ABD＝2α，∠ADB＝90°－2α，∠F＝∠DBF＝45°＋α，∴∠AEH＝∠F．∵∠AHE＝∠BAF＝90°，∴△AEH∽△BFA，∴EQ\F(AF,EH)＝EQ\F(AB,AH)＝eq\r(,2)，∴AF＝eq\r(,2)EH．设EH＝eq\r(,2)x，则AF＝2x，AH＝BH＝eq\r(,2)x＋3eq\r(,2)，AB＝AC＝2x＋6，AD＝2x－1，BD＝DF＝AD＋AF＝4x－1，在Rt△ABD中，(2x＋6)2＋(2x－1)2＝(4x－1)2，解得x＝－1或x＝EQ\F(9,2)，∴BD＝4x－1＝17如图，在等边△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠ADB＝2∠CDE，BD＝3，CE＝4，求CD的长．AABDCE解：在AC上截取AF＝BD，在CE上截取CG＝EF，连接DF，DG，过点D作DH⊥AB于点H．AABDCGEFH∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠C＝60°，∴CF＝CD，∴△CDF是等边三角形，∴DF＝DC，∠DFE＝∠C，∴△DEF≌△DGC，∴DE＝DG，∠EDF＝∠GDC，∴∠DEG＝∠DGE，∠GDF＝∠CDE．设∠GDF＝∠CDE＝α，则∠ADB＝2α，∠DGE＝∠DEG＝120°－α，∠EDG＝2α－60°，∠DAG＝2α－60°，∴∠EDG＝∠DAG，∴∠ADG＝∠DEG＝∠DGE，∴AD＝AG＝AF＋FG＝BD＋CE＝3＋4＝7．BH＝EQ\F(1,2)BD＝EQ\F(3,2)，DH＝EQ\F(3eq\r(,3),2)，∴AH＝eq\r(,AD2－DH2)＝EQ\F(13,2)，∴BC＝AB＝AH＋BH＝8，∴CD＝BC－BD＝5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点，AD＜BD，∠ADC＝2∠ACD，AB＝8，CD＝3，求AD的长．BBCDA解：在DB上截取DE＝DC，延长BA到F，使DF＝DC，连接CE，CF．BBCDEAF则∠DCE＝∠AEC，∠DCF＝∠F．设∠ACD＝α，则∠BCD＝90°－α，∠ADC＝2α，∠DCE＝∠AEC＝α，∠DCF＝∠F＝90°－α，∴∠ACD＝∠AEC，∠BCD＝∠F．∵∠CAD＝∠EAC，∠CBD＝∠FBC，∴△ACD∽△AEC，△BCD∽△BFC，∴EQ\F(AC,AD)＝EQ\F(AE,AC)，EQ\F(BC,BD)＝EQ\F(BF,BC)，∴AC2＝AD·AE，BC2＝BD·BF．设AD＝x，则AE＝x＋3，BD＝8－x，BF＝11－x，∴AC2＝x(x＋3)，BC2＝(8－x)(11－x)，∵AC2＋BC2＝AB2，∴x(x＋3)＋(8－x)(11－x)＝82，解得x＝2或x＝6（舍去），即AD的长为2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），且BD＝CE，∠DAE＝EQ\F(1,2)∠BAC，求DE的长．AABCDE解：作∠BAC的角平分线AF交BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，AABCDFEHG过点A作AH⊥AF交BC的延长线于点G．∵∠ACB＝90°，∴FG＝FC，∠H＝∠CAF＝90°－∠AFC．∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq\r(,62＋82)＝10．设FG＝FC＝x，则BF＝8－x．∵S△ABF＝EQ\F(1,2)AB·FG＝EQ\F(1,2)BF·AC，∴AB·FG＝BF·AC，∴10x＝6(8－x)，解得x＝3，∴FC＝3，∴EQ\F(AC,CH)＝tanH＝tan∠CAF＝EQ\F(FC,AC)＝EQ\F(1,2)，∴CH＝2AC＝12．设BD＝CE＝x，则DE＝8－2x，DC＝8－x，DH＝20－x，∴AD2＝(8－x)2＋62．∵∠DAE＝EQ\F(1,2)∠BAC，∴∠DAE＝∠CAF＝∠H．∵∠ADE＝∠HDA，∴△ADE∽△HDA，∴EQ\F(AD,DE)＝EQ\F(DH,AD)，∴AD2＝DE·DH，∴(8－x)2＋62＝(8－2x)(20－x)，解得x＝30（舍去）或x＝2，∴DE＝8－2x＝4．题型六坐标系中的二倍角问题宿迁·中考如图，抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点。(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标；简析(1)抛物线的函数表达式为(2)如图，在OC上取点E，使AE＝CE，则∠AEO＝2∠ACO＝∠PAB；设OE＝t，则AE＝3－t，在Rt△AOE中，由勾股定理可得，解得，故即；①当点P在x轴上方时，作PG⊥x轴于点G，则；设PG＝3m＞0，则AG＝4m，点P的坐标为(1－4m，3m)，将其代人抛物线的解析式，可得3m＝（1－4m）²＋2（1－4m）－3，解得舍去)，故点P的坐标为(②当点P在x轴下方时，同理可得综上所述：点P的坐标为)或(盐城·中考如图，二次函数的图像与一次函数y＝kx－k＋2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x轴、y轴交于C、D两点，其中k＜0．(1)求AB两点的横坐标；(2)二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。简析(1)令，即，解得x＝1或2，即A、B两点的横坐标分别为1、2；(2)由前知A(1，2)，B(2，k＋2)；①情形一：当k＋2＞0，即－2＜k＜0时，点B在x轴上方，如图(已隐去抛物线)过点B分别向x轴、对称轴作垂线，垂足依次为G、H，则；在EA的延长线上取点F，使AF＝AB，连接BF，则∠BAH＝2∠BFH，又∠BAH＝∠ODC＝2∠BEC，故∠BFH＝∠BEC；易得BH＝1，AH＝﹣k，则，从而，故tan∠BFH＝，所以有k＋2，解得舍去)；②情形二：当k＋2＜0，即k＜－2时，点B在x轴下方，如图(已隐去抛物线)，同上作相关辅助线，同理有，从而，解得，故舍去)；综上所述：k的值为－或反思：（2）是一个等腰三角形存在性问题，可借助代数方法盲解盲算，这里并未展开；（3）中存在“倍半角”关系，这里首先利用平行导角，将∠ODC转化为∠BAH，借助A、B两点的坐标来刻画其正切值，然后构造其“半角”∠BFH，最后列方程求解需。要特别提醒的是，这里根据点B的纵坐标的正负性，即点B与x轴的位置关系分两类讨论，很容易漏解。另外，本题还有其他解法，请自行探究。河南·中考如图，抛物线y＝ax²＋6x＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C。直线y＝x－5经过点B、C。（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标。简析：(1)抛物线的解析式为(2)如图，当∠ACM＝∠CAM时，有∠AMB＝2∠ACB，此时点M符合题意；再过点A作AC的垂线，交直线BC于点R，作RS⊥x轴于点S，易证tan∠RAS＝tan∠ACO＝，即；又易证RS＝BS，故，从而，点R的坐标为；易证点M为CR的中点，所以点M的坐标如图，作AG⊥BC于点G，再作AM关于直线AG的对称线段AM′，则∠AM′M＝∠AMM′＝2∠ACB，故点M′是符合题意的另一个点；作GH⊥x轴于点H，易证GH＝AH＝BH＝2，则点G的坐标为(3，﹣2)；因为点G为MM的中点，所以点M的坐标为；因此，点M的坐标为)或(反思：第(2)问看似“倍半角”问题，却采取了“垂直处理”策略，结合中点坐标公式加以解决。“成也模型，败也模型”，切勿形成思维定式，盲目套用模型。当然，这两个问题都还有其他的处理方式，可自行探索。总结的话：数学中转化思想无处不在，所谓“倍半角”问题，其解题策略大体也是围绕着转化思想进行的，或将“倍角”变为“半角”，或将“半角”变为“倍角”，最终转化为等角问题，当然变化手段可能不一，比如作“倍角”的角平分线或者构造等腰三角形，再如将“半角”翻折等。总之，具体问题需要具体对待，并无绝对的通法、简法，一切都要依据题目的条件以及结论去分析、构造，以至于解决。2023·内蒙古赤峰·统考中考真题如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是．

【答案】和【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形，点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．【详解】解：在中，当时，，则有，令，则有，解得：，∴，根据点坐标，有所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、有，解得∴所在直线的解析式为：当点在线段上时，设而∴∴因为：，，有解得：，所以点的坐标为:当在的延长线上时，在中，，,∴∴如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，∴又∵∴则为符合题意的点，∵∴的横坐标：，纵坐标为；综上E点的坐标为：或，故答案为：或江苏苏州·统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则．【答案】【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案．【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴CDE≌CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴AOE∽CDE，∴，∴，解得：内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣3)．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）(﹣，)，(﹣，﹣)【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；（2）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB＝，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）如图，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，

∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣）当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．【答案】(1)；A（-1，0）；(2)2或【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）先求出，再求出直线BC的解析式，然后设点，则，CF=a，可得，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，即可求解．【详解】（1）解：把点和点代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，令y=0，则，解得：，∴点A（-1，0）；（2）解：∵点B（4，0），C（0，2），∴OB=4，OC=2，∴，设直线BC的解析式为，把点B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，设点，则，CF=a，∴，若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F，如图甲所示，∴∠FCM=∠OBC，即，∴∠PCF=∠FCM，∵轴，∴CF⊥PQ，∴PM=2FM，∴，∴，解得：解得：a=2或0（舍去），∴点P的横坐标为2；若∠PMC=2∠OBC，∵∠PMC=∠BMN，∴∠BMN=2∠OBC，∵∠OBC+∠BMN=90°，∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，∵∠PMG=∠BMN，∴△PMG∽△BMN，∴∠PGM=∠BNM=90°，∴∠PGC=90°，∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，∴∠PCM=∠PMC，∴PC=PM，∴，解得：或0（舍去），∴点P的横坐标为；综上所述，点P的横坐标为2或．图甲

图乙2023·湖北黄冈·统考中考真题已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；(2)如图1，当时，求点P的坐标；【答案】(1)，2，，；(2)【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得：，∴抛物线解析式为：，∵抛物线与x轴交于A、两点，∴时，，解得：