集合论的诞生

关于集合论的诞生第九章分析的严格化第三节集合论的诞生第2页,共19页，2024年2月25日，星期天

小学数学新课标要求：结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。第3页,共19页，2024年2月25日，星期天认识数字1～5认识数字01、小学数学中的集合第4页,共19页，2024年2月25日，星期天元素与集合间的关系集合与集合间的关系维恩图第5页,共19页，2024年2月25日，星期天交集第6页,共19页，2024年2月25日，星期天一一对应第7页,共19页，2024年2月25日，星期天2、康托的一一对应柏拉图——实无限：“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的；既然每个都存在，为什么“全体”就不存在呢？亚里士多德——潜无限：自然数的产生是个无限无尽的过程，这个过程永不结束，因而无法得到自然数的全体。第8页,共19页，2024年2月25日，星期天

我必须最强烈地反对你使用无穷大作为某种完善的东西，因为这在数学上是从来不允许的。无穷大只不过是一种讲话方式，意味着一种极限……——高斯在1831年给舒马赫的信

在1638年出版的《两门新科学的对话》一书中，伽利略把全体自然数与它们的平方一一对应起来：第9页,共19页，2024年2月25日，星期天1845年，康托出生在俄国的圣彼得堡，后来移居德国。

1867年，他在柏林大学得到博士学位。他曾经发表过一篇有关实数定义的论文，用收敛的有理数给出了无理数的定义。“一一对应”概念：给定两个集合A与B，假如有映射f:A→B，使得A中任何一个元素a都有一个元素b∈B与之对应，并且不同的a对应于不同的b，而且B中每个元素都被对应到，我们就称映射f:A→B是一个一一对应。集合的基数概念：给定两个集合A与B，如果A与B之间有一个一一对应，则称它们有相同的基数。集合定义：一个集合是若干确定的、可区别的事物的总体。第10页,共19页，2024年2月25日，星期天例1在中世纪时有人注意到，把两个同心圆上的点用公共半径连起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。例2长度不相等的两条线段上的点集可以建立一一对应，即两个点集有相同的基数，与线段长度无关。第11页,共19页，2024年2月25日，星期天例3单位线段上的点与半直线上的点一一对应。例4区间（0,1）的点集与实数集R有相同的基数。事实上，区间（0,1）和半圆周的点集可以建立一一对应，半圆周点集又能与整个数轴建立一一对应。第12页,共19页，2024年2月25日，星期天3、可数集合

康托把任何能与正整数集一一对应的集合称为可数集。换句话说，一个集合是可数集的充要条件是它的元素能够排成一个序列。1874年，康托获得了一个历史性的发现：尽管有理数具有稠密性，但它们是可数的。（0,1）区间中的所有有理数：第13页,共19页，2024年2月25日，星期天全体有理数集合Q也是可数的。第14页,共19页，2024年2月25日，星期天命题：区间（0,1）中的全体实数是不可数的。1873年，康托发现：实数集R是不可数的。4、不可数集合证明：我们可以用反证法证明。如果全体实数能排成一队，我们把所有0到1之间的实数都排出来：将γn都写成10进位无限小数。我们约定将其中的有理数也写成无限小数，比如0.9=0.8999…，这样保证每一个小数表示方式唯一。第15页,共19页，2024年2月25日，星期天

中没有把0到1之间的实数排完，这就推出了一个矛盾，故“（0,1）区间中的全体实数能排成一队”的假设不成立。第16页,共19页，2024年2月25日，星期天1877年，康托又意外发现：单位正方形的点集与（0,1）区间的点集能够建立一一对应。分析：要做到这一点，需要先把区间（0,1）内的点都表示成无限小数，并规定这里出现的有限小数可以化成含有无穷个9的小数，如0.49=0.48999…。任取一点，比如说0.35768291…，把这个数的奇数位、偶数位分别取出来，得到两个新数：0.3789…与0.5621…，以这两个数作为横坐标与纵坐标得到的点将落在单位正方形中。第17页,共19页，2024年2月25日，星期天一般地，设区间（0,1）内的任意一点为它对应着单位正方形内的唯一的点反过来，如果任给单位正方形内的一个点只要把