几类非线性振动系统同伦分析

摘要振动是自然界和工程技术中普遍存在的现象，且往往是非线性的，因此对非线性问题的探索和研究越摘要振动是自然界和工程技术中普遍存在的现象，且往往是非线性的，因此对非线性问题的探索和研究越来越成为人们关注的焦点。随着科学的发展和社会的进步，非线性方程的求解渐渐成为广大科学工作者必须面对的问题，寻找一种一般的有效的求解非线性微分方程的方法就显得尤为重要。同伦分析方法是今年来发展迅速的一种求解非线性方程级数解的近似解析方法，并已成功应用于求解许多复杂的非线性微分问题，获得了不错的成果。作者在前人的基础上求解了非线性振动系统中的一些典型问题，并分析了其在实际应用过程中出现的新特点和新结论，不断发挥该方法的巨大潜力。首先，本文简要回顾了非线性问题的几个近似解析方法，分析了他们的优劣点，同时介绍了同伦分析方法的基本思想，与传统摄动法相比，同伦分析法不依赖方程中存在小参数，通过构造零阶形变方程和高阶形变方程将原非线性问题转化为多个线性子问题，不仅适用于弱非线性问题的求解，对强非线性问题依然有效其次，应用同伦分析方法研究了DuffingHarmonic振子，逻辑推导了辅助线性算子L的选取，分析了辅助参数h对控制和调节级数解收敛区域和收敛速度的影响，在有效区域内选取合适的h值后，求得一族时间响应和频率的近似周期解，与精确解的比较表明该级数解有很好的逼近效果。再次，对非线性Jerk方程进行了同伦分析，给出了辅助线性算子￡取和R川的理论推导，在两组不同参数条件下，通过绘*1]co～h曲线得出了级数解的收敛区域，该解与四阶龙哥库塔法计算所得的数值解的比较显示在强非线性条件下同伦分析法依然有效最后，对本文所做的工作和得到的结果进行了总结，并且进一步展望了未来需要研究的工作关键词：同伦分析法；非线性；Duffing．Harmonic方程；Jerk方程；近似级数VVibrationwhichisalwaysnon—linearisanaturalandcommonphenomenoninengineeringtechnology．Theresearchonnon-linearbecomesaintheofphysics．andthesolutionofnon-hasMathemaicsgreatvalueengineering．TheandeffectiveaparticularlyHomotopyanalysisapproximateVibrationwhichisalwaysnon—linearisanaturalandcommonphenomenoninengineeringtechnology．Theresearchonnon-linearbecomesaintheofphysics．andthesolutionofnon-hasMathemaicsgreatvalueengineering．TheandeffectiveaparticularlyHomotopyanalysisapproximateanalyticalmethodforhasequations，whichdevelopedsolvemanycomplexnon-linearappliedauthorsappliedtheHAMtosolvesomegoodresults．InthisofandinnonlinearvibrationsystemonmethodsforFirst，athebasicidea tomethod．Differentthehomotopyperturbationisindependentofparametersata11．Byazero—orderhigher-theintoseverallinearsub-onlyweaklynon-linearproblemsolving，forstronglynonlinearproblemsisstilltheDuffing-Harmonic hplaysanimportantin adjustingthemeansthesolutionvalueofhofandDuffing-obtained上海大学硕十学位论文appliedsolutionsofanonlinearjerkthird—ordertime-Call上海大学硕十学位论文appliedsolutionsofanonlinearjerkthird—ordertime-Callapproximatedviaananalyticalseries．Anauxiliaryparameterisintroducedofthesolutionseries．TwoconvergencearetodemonstratetheeffectivenessofHAM．Theexamplesindicatethat，bychoosingvalueofh，thefirstfewtermsinthesolutionseriesyieldexcellentFinally,theresultsofthethesisaresummarizedandthefurtherworkisKeywords：Homotopyanalysismethod；Non-linear；Duffing-equation绪1．1课题来源及研究背1．1．1课题来本文得绪1．1课题来源及研究背1．1．1课题来本文得到国家杰出青年科学基金(10725209)、国家自然科学基金(1047206010672092)、上海市自然科学基金(04ZRl4058)、上海市教委科研项目(07ZZ07上海是重点学科建设项目(YOL03)1．1．2研究背振动是自然界、工程技术、日常生活和社会生活中普遍存在的现象，例如大海的波涛欺负、花的同开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振动特性。工程技术所涉及的机械和结构的振动称作机械振动，许多情况下，它被认为是消极因素，例如，振动会影响精密仪器的性能，加剧构建疲劳和磨损，缩短机器和结构物的使用寿命，甚至引起结构的破坏。典型的例子是1940年美国塔可马(Tacomar桥因风载引起振动而坍塌的事故(图1．1)的噪声振动，影响乘客的乘坐舒适度。然而，振动也有积极的一面，例如将振动应用与生产工艺如振动传输、振动筛选、振动抛光、振动沉桩、振动消除内应力等。振动理论的主要任务是研究和表征系统振动的规律性，从而有效地利用或抑制振动，并由此带来巨大的社会和经济效益。图1．1塔口J马(Tacoma)吊桥坍塌18世纪，早期的科学家欧拉、拉格朗同、达朗伯、伯努利等对线性振动理论的发展做出了巨大18世纪，早期的科学家欧拉、拉格朗同、达朗伯、伯努利等对线性振动理论的发展做出了巨大贡献，形成了目前比较成熟的线性振动理论。在一些工程问题中运用线性振动理论，我们的确能得到满意的结果，然而自然界的本质是非线性的，它存在各种各样的非线性因素，包括几何非线性、材料非线性、结构非线性以及边界条件非线性等。因此，从现实工程问题中建立起来的以常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程或其组合等描述的动力学模型一般是非线性的，并且是参数依赖的。尽管个别非线性振动问题能通过线性化进行求解，大部分非线性问题是不能线性化的，因此对非线性振动问题的分析和计算方法的研究，对世纪工程问题的解决显得尤为重要。对非线性振动的研究方法大致有数值方法和解析方法两大类。数值方法将非线性问题离散化并转化为求解线性代数方程(组)问题或特征值问题，在现实工程中该法得到了广泛的应用。然而数值解不能帮助我们清楚得认识问题本质，人们就期望得到解析解，一方面它提供了原问题解的现实表示，我们可以直接讨论初始条件以及参数对解的影响；另一方面也可以借此判断数值结果的正确合理性。由于非线性微分方程目前尚无有效的精确求解方法，因而一般只能寻求解析逼近解。目前常用的解析逼近方法是摄动法[1．3】，包括林滋泰德．庞加莱法(L—P法)[4-51，多尺度法[6—7】，平均法[1．3】，KBM方法[8—9】。另外，谐波平衡法【1．4]、迭加法[10．141最近也得到了广泛的应用。1．2国内外研究进展1．2．1非线性振动研究方法进展非线性振动的研究开始于19世纪后期。1881年至1886年期间，庞加莱讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数；此外还研究了分岔问题，奠定了非线性振动论基础。1879年开尔文(LKelvin和泰特(EGTait考察了陀螺力和耗散力对保守系统稳定性的影响，其结论后来由切塔耶夫给出严格证明。1892年李雅普诺夫给出了稳定性的严格定义，并给出了研究稳定性问题的直接方法。在定量求解非线性振动的近似解析方法方面，1830年泊松(SDPoisson研究单摆振动时提2上海人学硕t学位论文出摄动法的基本思想。1883年林滋泰德(ALindstedt摄动法的上海人学硕t学位论文出摄动法的基本思想。1883年林滋泰德(ALindstedt摄动法的长期项问题。1918年达芬(GDuffing)在研究硬弹簧受迫振动时采用了谐波平衡和逐次P01)研究电子管非线性振荡时提出了慢变系代的方法。1920年范德波尔(Va数法的基本思想，1934年克雷洛夫和博戈留博夫将其发展为适用于一般弱非线性系统的平均法；1947年他们又提出一种可求任意阶近似解的渐近法，1955米特罗波尔斯基推广这种方法到非定常系统最终形成KBM法。1957年斯特克在研究电等离子体非线性效应时用两个不同尺度描述系统的解而提出多尺度对Duffing．harmonic振子进行的研究是从2001年开始的，R．E．Mickens[15首先运用谐波平衡法给出了它频率的解析估计；2003年，LiraWu[16]结合线性化和谐波平衡法得到了频率和周期响应的近似表达式；2005年Rao，Swamy[17]等也求得了同样的频率解，并且基于谐波平衡法和Ritz方法计算了该振子的响应；2006HuTang[18阶谐波平衡法的首项系数得到同样的频率解，LimWuSun[19用牛顿谐波法构造了其高阶近似解，Hu[20运用迭代法确定了其频率和周期响应的近似解析解。Schot最早对Jerk方程进行了研究，并解释了他反常的几何意义，Gottlieb[21．241应用低阶谐波平衡法求解了初始速度振幅下Jerk方程的近似解析周期解，遗憾的是该周期解不够精确，之后Wu[25]改进了谐波平衡法，并在大初始速度振幅条件下给出了二阶、三阶的近似解，Hu[26]应用LP动法成功的获得了Jerk方程的近似周期解，与精确解符合良好。1．2．2同伦分析方法研究进展1992年，基于数学拓扑理论中的同伦思想，廖世俊在博士论文[27】中首次提出了同伦分析方法的初步框架，提出了零阶形变方程和高阶形变方程的基本形式，1996年，廖世俊28】在此基础上对零阶形变方程进一步一般化，从而提供了直接选择初始猜测解的自由，避免了之前计算初始猜测解的复杂运算。此时的同伦分析方法本质上是将一个非线性问题转化为无穷多个线性问题，与传统摄动方法不同，这种转化不需要任何小参数，也就是说，无论非线性问题是否含有小参数，同伦分析方法都适用。但将其运用到求解实际非线性问题时发上海大学硕十学位现，一旦辅助线性算子选定，泰勒级数的收敛性就完全确定，因此不存上海大学硕十学位现，一旦辅助线性算子选定，泰勒级数的收敛性就完全确定，因此不存在有效简便的途径去控制和调节级数的收敛性，因此，早期的同伦分析方法依然只适1997年，廖世俊[29]为了保证级数的收敛性，在原零阶形变方程中引入零辅助参数h，构造了双参数微分方程组，并称其为广义同伦，辅助参数的对级数解的收敛有决定性意义，通过调节该辅助参数的值，可以有效地控制级数解的收敛区域和收敛速度，从而提供了一条确保级数解收敛的简便途径。自此，同伦分析法彻底摆脱了小参数的束缚，不仅适用于弱非线性问题，同时也能求解强非线性问题。2003年，廖世30】在原有基础上又引入非零辅助函月纠，进一步完善了同伦分析法，使其为更多的强非线性问题所用。之后，廖世俊系统地回顾并总结了同伦分析法，提出了解表达原则、解存在原则、完备性(系数遍历性)原则【30】，以指导初始猜测解、辅助线性算子和辅助函数的选取。2003世俊[30研究了同伦分析法与传统非摄动法的关系，指出同伦分析法在逻辑上包含了Lyapunov人工小参数法，6展开法和Adomian分解法，并从数学角度严格证明了同伦分析方法所得级数解的收敛性定理，即若由同伦分析方法得到的级数解收敛，则其必为原始非线性方程的一个解。根据上述定理，仅需确保同伦分析方法得到的级数解收敛即可。并已被成功应用于各种类型的常微分方程和偏微分方程。廖世俊在其著作[30中应用同伦分析法讨论了托马斯一费米(Thomas．Fermi)原子模型、布拉休(Blasius)黏性流、封闭系统内种群数量变化的Volterra生态学模型、呈指数衰减的边界层流动问题、深水中的非线性fj{『进波等问题；李水才等[32】应用同伦分析方法求解了具有多解的Gelfand方程，成钧33】求解了具有无限多个极限环的非线性振动方程：徐伟等[34应用同伦分析方法求解了一个强非线性随机动力系统；王骥等[351求解了集中载荷作用下悬臂梁的大变形问题；邹丽等[36求解了离散的、微分一差分KdV方程；Liu等[37】求解了改进的KdVSong等[38】求解了分数维的KdV-BurgersKuramoto方程；Mustafa39]求解了Dirichlet边界条件和Neumann边界条件Laplace方程；Bataineh等求解了非4上海大学硕上学位论文性常微分方程组[40】和非定常EmdenFowler[41Fakhari[42Benjamin—Bona-Mahony-Burgers上海大学硕上学位论文性常微分方程组[40】和非定常EmdenFowler[41Fakhari[42Benjamin—Bona-Mahony-BurgersBouremel[43]求解了黏性射流问题；Abbasbandy[44]应用同伦分析方法求解了可渗透催化剂扩散和反应的非线性模型方程；Abbasbandy451应用同伦分析方法提出一个求解非线性代数方程的高阶迭代公式，该公式包含著名的传统Newton迭代公式，具有更好的收敛性．值得注意的是，我们可以应用同伦分析方法求解一些流体力学中的经典问题。廖世俊求解了FalknerSkan平板流动问题[4647用同伦分析方法求解了描述均匀来流中圆球黏性流动的NavierStokes方程，给出了lO阶圆球黏性阻力公式，是近150以来与实验果最吻合的理论廖世俊[48】应用同伦分析法发现无限伸展形可渗透平板导的边界层流动题的一类全新解，该解从未被其他解析近似方法甚至数值方法获得；徐航等成功求解了非定常VonKarmon三维流动问题【49】，微极性流体非定常前驻点流动问题[501，及突然伸展变形的无限平板所导致的电磁流体之三维非定常流动和热传导问题[5l[52]；徐航等[53]流动，非牛顿流体非定常前驻点流动[54】，非牛顿电磁流体非定常前驻点流动[55]，廖世俊、su和章梓雄求解了非定常的非线性热传导问题[561：Hayat等[57应用同伦分析方法求解了伸展变形的无限平板导致的非牛顿流体流动和热传导问题、可渗透无限伸展平板导致的Maxwell流体之边界层流动问题[58】、求解了一个4阶非牛顿流体流动问题[59】，研究了2阶非牛顿流体电磁流动的热射问题[60]，以及3阶非牛顿流体在多孔介质内的旋转流动问题[61】；Abbas等[62求解了电磁Maxwell流体在多孔介质管道中的流动，Sajid等[63]求解了4阶牛顿流体在可渗透平板上的边界层流动问题，Tao等【64】求解了有限水深中的非线性行进波问题；Song65】求解了多孔介质中非定常地下水流动的非线性模型；Cai[66]在博士论文中对压力驱动管道流动问题进行了同伦分析；近些年来，同伦分析方法也被应用于经济学领域，并得到了很好的效果。zhu[67]求解了经济学中著名的美式期权方程Black．Kuznetsov方程，首次给出了显式表达的级数解，并在整个时间段内有效，与数值解精确吻合。同时，zhu[68上海大学硕十学位论文还求解了恒定红利收益条件下自由兑换债券问题，取得了不错的效果。上海大学硕十学位论文还求解了恒定红利收益条件下自由兑换债券问题，取得了不错的效果。同伦分析方法再一次展示了其求解强非线性问题的巨大潜力。1．3研究意义随着工程技术的发展，振动问题已成为各个工程领域内经常提出的重要问题。例如在机械、电机工程中，振动部件和整机的强度和刚度问题，联轴节和回转轴的扭振分析，大型机械的故障诊断，精密仪器设备的防噪和减振等。在交通运输、航空航天工程中，车辆舒适性、操控性和稳定性问题，海浪作用下船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。在电子电讯、轻工工程中，通讯器材的频率特性，音响器件的振动分析等。在土建、地质工程中，建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震引起结构物的动态响应，矿床探查、爆破技术的研究等。在医学、生物工程中，脑电波、心电波、脉搏波动等信号的分析处理等。现代工程技术对振动问题的解决提出了更高、更严格的要求，电子计算机的广泛使用和动态测量技术的进步也为复杂振动问题的解决提自高性能超级计算机问世以来，线性问题的求解变得非常容易求解，然而，对于一些非线性问题尤其是强非线性问题仍然很难求得其精确解，而数值解通常给出的是解曲线上的一些不连续点，而想得到解饿一条完整曲线往往费时费力，因此求非线性问题的解析方法显得尤为重要。传统的摄动方法本质是依赖于小(大)参数或所谓的摄动变量的存在，简而言之，摄动方法是应用摄动变量将一个非线性问题转化为无穷多个线性子问题，并用前几个线性子问题的解之和束逼近该非线性问题的解，显然，摄动变量的存在是摄动方法的基础，也正因为如此，它给摄动法带来了一些严重的局限性，因为不是每个非线性问题都带有这种摄动变量的，另外当方程的非线性增强时，摄动法得到的近似解往往失效，也就是说摄动法通常只能应用于求解弱非线性问题。同伦分析方法出现近二十年，作为一种新的求解非线性问题的解析方法，从探索、起步、发展、成熟需要经历很长的过程，也需要来自不同领域、不同背景的实例束加以验证，虽然之前的学者已经在这条路上做出了许多工作，也6取得了很多喜人的成绩，在实际科学和工程领域解决了很多非线性问题，但是这并不意味着同伦分析法已经发展的非常取得了很多喜人的成绩，在实际科学和工程领域解决了很多非线性问题，但是这并不意味着同伦分析法已经发展的非常完美了，因此，为了进一步研究和完善该方法，必须还要将其应用与更复杂的非线性问题中去。例如，至今还缺乏一个严密的数学理论来指导初始猜测解、辅助函数、辅助线性算子和辅助参数的选取，如何有效的选择长期项，能不能找出针对同一类非线性问题提出统一的解决方案等等。因此，探索和深入研究同伦分析方法在实际应用中的新特点和新思路，进一步发掘其在解决强非线性问题的潜力成为当前非常重要的研究方向，同时，还要将非线性问题中的重要物理性质和同伦分析方法结合起来，充分体现该方法的有效性和实用性，丰富求解非线性问题的途径。1．4论文的主要内容和组织本论文是以作者攻读硕士学位期间承担课题的工作为基础，主要对同伦分析方法的理论分析和应用进行了研究，选取了非线性振动系统中的几个典型例子作为研究对象，进行了同伦分析，论文的主要内容和组织如下：绪论部分给出了本文的研究背景、研究现状以及该课题的主要第一内容和意义；第二阐述了同伦分析的一般过程，给出了级数解收敛定理的证明和三个指导原则，并讨论了辅助参数h的选取，分析其对于控和调节级数解收敛区域和收敛速度的重要作用第三章研究了DuffingHarmonic振子，通过同伦分析求得一族时间应和频率的近似周期解，在有效区域内选取合适的h值后，与精确解的比较表明该级数解有很好的逼近效果第四对非线性Jerk方程进行了同伦分析，给出了辅助线性算子￡选取和勘的理论推导，对于两组不同参数，通过绘制缈嘲曲线得出了级数解的收敛区域，与精确解的比较显示在强非线性条件下同伦分析法依然有效第五总结和展7上海人学硕上学位论文第二章同伦分析方2．1同伦(Homotopy)是代数拓扑学中的一个基本概念。设x和y是拓上海人学硕上学位论文第二章同伦分析方2．1同伦(Homotopy)是代数拓扑学中的一个基本概念。设x和y是拓扑空间，所谓两个连续映射兀办：x一】，是同伦的，是指可以在】，中将而连续地形变成力，更确切地讲：定义：设尼五X一】是连续映射，仁[O1]。如果存在连续映射所XM一】，使得对于所有z∈xH(x,O)=foH(x,1)=fl似则称^乃是同伦的，记作fo=石：X一】，，日称为连接如和五的一个同伦。当要指明这同伦时，也常记作H力。[70q(竹nyg∈丁)是依赖于实参数g的一族映射，当g从0I对于到1时，目∞缈=fo连续地形变成瞰矽书。考虑一个一般形式的非线性方程其中，Ⅳ是非线性算子，“仉砂为未知函数，rt分别代表空间和时间变量。设qH[①(，，f；g)；甜。r，f)；g]=(1一g)·L[aP(r,t；q)-其中uo(r,O表示精确解“仉砂的初始猜测解，￡是线性算子，该算子具有如下性质L[-S(r,f)]=o，若令同伦(22)为H[当q=0上海人学硕士学位当q=lH[①(啊；g)；‰(啊)；g]l口=l=Ⅳ[①(，．，',0]--由性质(2．3)易上海人学硕士学位当q=lH[①(啊；g)；‰(啊)；g]l口=l=Ⅳ[①(，．，',0]--由性质(2．3)易H[①(州；g)；“。(州)；gn。H[①(彬；g)；材。(彬)；g弘之解。因此，根据(28210入变量q0增大到1时，方程H[2．2同伦分析方2．2．1零阶形变以上述同伦理论为基础，廖世俊[30】教授首次引入了辅助函数日化砂助参数h，构造如下同伦，：劣笺薄1qhH(r力嘶朋)]亿HEcb刊(r,tq；q)卟；Uo(，r--(1一g)·￡[①(，．，f；g)一H[①(，，t；q)；Uo(，，f)9上海人学硕上学位论文(1一q)·三[①(，-，f；g)--U0(，，f)]=g桕(，．，f)Ⅳ[中(厂，其中，函化0∥为上述方程的精确解，它不仅依赖于初始上海人学硕上学位论文(1一q)·三[①(，-，f；g)--U0(，，f)]=g桕(，．，f)Ⅳ[中(厂，其中，函化0∥为上述方程的精确解，它不仅依赖于初始猜测解uo(rO、辅助线性算子L、辅助函数职砂和辅助参数意，而且也依赖于嵌入变量q∈以口。现在定义m阶形变导数批∽=笔产将驴仉0砂泰勒展开成q的幂级咿；g)=咿；。)+善+ao掣删r,t=掣=葫1掣令亿①(，．，f；g)=‰(，，f)+∑“(2．1在这罩，同伦分析法给了我们很大自由去选择初始猜测解uo(r,O、辅助线性算子￡、辅助函数眺0和辅助参数h。如果他们都选取合适，则1)对所有qJ修刀，零阶形变方程的解函仍0砂都存在；2)对m=l，2，i··：+吧形变导数“∥州以砂都存函仉0∥的幂级数(219q=l时收敛。①(，．，f)=“。(，．，f)+∑“。(，．，t)2．2．2高阶形变为简便，定义向量Un--{Uo(r，f)，“。(，．，f)，“：(，．，f)，⋯，材。(，．，将零阶形变方程(215对嵌入变量qm次，随后两边同除以聊，，最后令我们得到m阶形变方程[30L[u。(，．，f)一Zu。～I(，．，fhHrf)吃(“我们得到m阶形变方程[30L[u。(，．，f)一Zu。～I(，．，fhHrf)吃(“。．I，，．，舯也(Urn_1，P,t)将式(2．19)代入上式帆∥力=丽1矿am-1Ⅳ融叫矽由于所有高阶形变方程具有相同的线性算子三，且如‰．^n砂对任何给定非线性算子Ⅳ都可以有定义(223因此，利用诸如MaPleMathematica运算软件，我们可以很容易求解线性的高阶形变方程，并得到Ul仉砂，U2(r则“仉0m阶近似为同伦分析方法给我们提供了极大的自由去选择初始猜测解、辅助线性算子、非零辅助参数和辅助函数的形式，来确保最后的级数解收敛，同时也从根本上突破了摄动法关于控制方程或边界条件始条必须存在数2．2．3收敛定前一节我们讨论了同伦分析方法的一般过程，并得到了方程的m阶近似数解(2．20)，在这里，级数的收敛性非常重要，怎样可以得到较大区域的收敛范围就显得尤为重要。众所周知，一个级数即使收敛，也并非～定收敛到原始方为证明该收敛定理，设么例、B俐为在IgI≤，内解析的嵌彳(0)=B(O)=0AO)=B(1)=1上海人学硕上学位论文令ⅧⅧ由于彳倒，B例在lgI≤J内解析，且(2．26)h∑％=1，∑展上海人学硕上学位论文令ⅧⅧ由于彳倒，B例在lgI≤J内解析，且(2．26)h∑％=1，∑展(1-B(g))·￡[①(厂，f；g)一‰(，．，f)]=么(g)壳日(r，f)Ⅳ[Q同时高阶形变方程为啦。(，．，f)一∑屈‰一t(，．，f)】=td-／(r，t)Rm(URm(u。州厂，f)=∑％瓯一。(，，且1可以看出，原零阶形变方程和高阶形变方程是彳俐=Bg时方程(2和(2．30)的特殊形式。定理2．1敛定理1301若级‰(彬)+∑“。(，．，t)其中砧埘仉满足高形变方程(230231232必定是方程(2．1)之解证明：设s(r，，)=‰r，f)+∑‰(，．，J：海大学硕十学位论由高阶形变方程(230hH(r，f)=∑伽。(，．，f)一∑展‰一。(，，f=￡l∑‰(∥)一∑∑展％。(∽=￡I∑材。(r，f)一∑∑flkU。一。(r，f)lJ：海大学硕十学位论由高阶形变方程(230hH(r，f)=∑伽。(，．，f)一∑展‰一。(，，f=￡l∑‰(∥)一∑∑展％。(∽=￡I∑材。(r，f)一∑∑flkU。一。(r，f)l=三l∑‰(∥)一∑展∑‰(彬lI∽r)]／j=三[(·一善孱][s(r，r。．’壳知，圄何魂又’．。(2．28),11(2．23)，所以。∑如(‰．，，，．，根据(2．31)，(2．32)，我们有∑民(‰．．，，，f)=∑∑吼屯一。(厂，”乙”=∑∑吼皖一。(，．，f)=I∑％I∑瓯(，．，f)萎+aO如c‰中彬，：萎+00吒c州，：薹去掣l=。c2瑚，又因为(2．28)、(2．32)和(2．36)成立，则有设方程(21残存误差：显然，对于原方程的精确解占仉。砂关于嵌入变量qMaclaurin上海人学硕十学位论文聊!agm上海人学硕十学位论文聊!agmOq”掣根据(2．38)，当q=l时，上式可以给出因此，当q=l时，我们得到了原方程的精确解。即只要级数s砂收其中埘仉满足高形变方程(230231232∑吃(“。中r，f)=∑晚(，．，证明：略，详见【30】．定理2．3：收敛，其中，llm似砂满足高阶形变方程(222且定义G23成立，则它必定是方程(2．1)∑吃有了定理2．1和定理2．3，我们只要集中精力来选择合适的初始猜测解“D亿砂、辅助线性算子￡、嵌入函数彳俐和日缈、辅助函数日m砂和辅助参数来确保级数解的收敛，而定理22给我们提供了一条评估所得近似级数解的收敛性和精度的途径。上海大学硕J：学位论2．2．4基本原通过前面几小节的论述，我们可以看出，除了算子Ⅳ的形式是由原方程决定上海大学硕J：学位论2．2．4基本原通过前面几小节的论述，我们可以看出，除了算子Ⅳ的形式是由原方程决定，同伦分析法提供了很大的自由选择初始猜测解、辅助线性算子和辅助函数．本质上，也正是这种自由度赋予了同伦分析方法优势和灵活性。然而，任何事物都有两面性，选择上太大的自由给同伦分析方法在具体应用上增加了难度：这就势必要求我们找寻一系列可靠的规则来指导同伦分析法的运用。因此，2003年，廖世俊[303l】提出如下3个原则，以指导初始猜测解、辅助线性算子和辅助函数之选取：1)解表达原则我们知道，一个非线性问题的解通常可以用不同形式的基函数表达，而且多数情况下，根据问题本身的物理背景和边界(初始)条件确定描述非线性问题的基函数也并非难事，例如，我们用和高阶形变方程的解不能违背解表达。2)完备性(系数遍历性)原则在许多情况下，辅助函数矾砂不能完全由解表达原则唯一确定，因此需要更多的规则来限制辅助函数H(r,O的选择。廖提出的系数遍历原则是当近似阶趋于无穷时基都应在解表达中出现其系数都能被改善。由此能够唯确定日仉03)解存在原则如果原始非线性问题有解，则初始猜测解uo(rO辅助线性算子￡和辅助函上述解表达原则、系数遍历原则及解存在原则，对初始猜测解uor,O、辅上海Il线性算子三和辅助函数砒0的选取有重大指导意义，为同伦分析方法在工程中的实际应用提供了有效的理论依据，在一定程度上增上海Il线性算子三和辅助函数砒0的选取有重大指导意义，为同伦分析方法在工程中的实际应用提供了有效的理论依据，在一定程度上增加了该方法的可操作性。2．2．5解收敛区域和收敛速度的控制之前的讨论我们已经得到了一族级数解，确保～个级数在足够大的区域内收敛是非常重要的，通常情况下，一旦非线性问题解的基函数确定以后，级数的收敛区域和收敛速度也就相应地确定了。解表达原则决定了初始猜测解uo(r,O、辅助线性算子￡和辅助函数Hr,O，但我们仍有很大的自由去选择辅助参数h的值。正因为辅助参数h的存在，只要选取合适的h值，同伦分析方法给我们提供了一个控制和调节级数解收敛区域和收敛速度的简便途径。下面我们以一个简单的例子来讨论h曲线和h有效区域[30y(f)+V2(f)=1，矿我们使用基函数{(1+力硼Im=O，1，2，3，⋯)表达其级数解，来探究h用。求解高阶形变方程，我们可以依次得恃一击+焉一72)击+群炒吲l+西吲h≯南+器一i相应地，俐的m阶近似可表V(t)=K(f)+V2(t)+KO)+⋯+匕以口7，v—v·-且hH(t)=1／(1+t)时，级数解(2．47)之∥丫缈～疔和妙，丫缈～．1}以口7，v—v·-且hH(t)=1／(1+t)时，级数解(2．47)之∥丫缈～疔和妙，丫缈～．1}表2．1庸取不同值时，级数解给出的V，仰的值表2．2矗取不同值时，级数解给出的V，，丫彩的通过高性能计算机，我们容易得到高阶级数解(2．47)给出的∥’仰和∥’’俐上海人学硕上学位的h曲线如图2．1所示，显然级数解(2．47)给出上海人学硕上学位的h曲线如图2．1所示，显然级数解(2．47)给出的∥俐和矿7’俐在．32≤壳≤．1／2时有效，即壳的有效区域。表2122分别给出了当h取有效区域内5同值时，V’仰和∥’仰级数解的收敛情况，可以看出级数在h=-．1时收敛最快，这就意味着我们可以通过选择合适的壳值来控制级数的收敛速度。所以绘制似的h曲线使我们能很容易的知道相应的h的有效区域，从而得到收敛的级数解2．3同伦一帕德逼同伦-帕德逼近[30】是将同伦分析方法和帕德近似approximation)结起来的一种方法。在原级数解在q=l收敛的假设下，对级数(2．19)关于g使用传统帕德近似，得【聊，，z】阶帕德近似解l+其中，Qk(r,O由前几项近似J=O，1，2，3，⋯，m+“，(，．，f)确定。然后根据(2．10)，令q=l，即得[坍，刀]阶同伦-帕德1+∑Q同伦帕德逼近较传统的帕德逼近收敛速度更快，且不依赖于辅助参数h，因此，即使有时辅助参数选取不当导致级数发散，同伦．帕德逼近通常也能得到收敛解。综上所述，在同伦分析方法的框架内，通过选取一组合适的基函数、合理的h值，或者使用同伦帕德逼近，我们能获得足够大区域内收敛的级数解。第三章Duffing—Harmonic振子同伦分析3．1前保守的非线性振荡系统通常情况下能由含有有理函数形式的势能函数项的模型来表示，为了描述物第三章Duffing—Harmonic振子同伦分析3．1前保守的非线性振荡系统通常情况下能由含有有理函数形式的势能函数项的模型来表示，为了描述物理模型的相关动力学特性，常常引出的微分方程中不包含小参数，所以传统的摄动方法不能应用求解这类问题。其中一个典型的例子就是Duffing-Harmonic振子：打+ayX23此处仅，届：，是非零参数，引入变换⋯=序，M料，我们就得到没有参数的一般方程垂+乓：odt2。11U2值得注意的是，这里对于小的U，方程(33)即演变成Duffing形式的非线性振子，即舅+，兰对于大的U，原运动方程(3．3)则近似演变成一线性谐波振子，即碧+x兰因此我们把fl：t(3．3)定义的振子成为Duffing-Harmonic振子。相应的初始条件本章将应用同伦分析方法求解上述DuffingHarmonic振子，数值确定了变形方程中的辅助参数，并得到了一族时间响应和频率的近似周期解，最后将该周期解与精确数值解进行了比较，符合很好。上海大学硕上学位论文3．2同伦分析对应的初始条件为甜式中，引"表示对新上海大学硕上学位论文3．2同伦分析对应的初始条件为甜式中，引"表示对新变量球导，新变量韵选取使得满足初始条件的方程(3．的解是关于稍以27【周期的周期函数，相应的非线性振子的周期由弘2尢／硝出，原非线性振动的频率缈(或周期r)及周期响应“(z于振幅A显然，满足式(3．7)的振动系统的响应可由基函数{cos(打)lk=l，2川3．·}表达，即“(f)：艺c。s(七其中，觎是待定系数。这就提供了该振动的解表达。因此，我们选取猁∽训=瑶lldf—坝咖)Il作为辅助线性算子，具有性质这里Cl，C2为常数，三的选择在下节详细描述。由方程(3．7)，定义如下非线性算子Ⅳ【矽(r；g)，．Q(g)】=．Q2(q)曼：笔笋[1+矽2(f；q)】+矽其中，吠互gqg别是关于uO缈的一个连续映射。构造下列零阶形变方程【69(1-q)L[ck(r；q)一‰(r)】=g壳日(f)Ⅳ【矽(f；g)，妇(g)】，满足初始条件矽(o；g)：彳，望至!粤I：o．I口其中，g∈[0，1】表示一嵌入变量，壳≠0是一辅助参数，坝力≠0是辅助函数，三为辅助线性算uoO表示“(力的初猜测解根据始条件(38)和解表达(39辅助线性算uoO表示“(力的初猜测解根据始条件(38)和解表达(39我们选取uo(r)Acosr显然，当q=0和q=l时，有以下式子成矽(r；O)=Uo(f)矽(f；1)=”(f)，．Q(1)=国因此，当g从0增大到l时，彤露∥从初始猜测解uo(r)=Acos破化到精确解同时，／-2(q)J，k初始猜测频率幼变化到物理频率缈，COo会在下文给出利用泰勒级数展开定理，烈‘g)和qg)可展开成如下g之幂级≯(f；g)=110(f)+∑“。(f)g“咖去掣L，‰=点掣l。；B假如辅助线性算子L始猜测解UOh辅助函数俄力选取合适，级数(3．18ql收敛，则我们有级数“(f)=‰(f)+∑‰(f)将零阶形变方程(3．13)对q求导m次，再令q=O，最后除以垅!，则有高阶形方程[69L[u。(rxufhHrRmI‰一这里舭=1(re>1)，2"1=0如(‰‰一-)=石而将式(312)代入(321再将式(317318入式(322且求高阶导得上海人学硕上学位f、Rm(um-I％一。)=∑I∑哆哝一／p州一。+∑m--Urn-I-k(f)∑Uk-k=O＼j---／+蒸{[骞(妻攻五投l一，]””。上海人学硕上学位f、Rm(um-I％一。)=∑I∑哆哝一／p州一。+∑m--Urn-I-k(f)∑Uk-k=O＼j---／+蒸{[骞(妻攻五投l一，]””。一，jlVm丢-l-k“。一。一。一，cf根据式(3．9)和系统的奇非线性，R阴(“历．1，缈肌一1)可表示成心(‰’l'‰一1)=∑吃(‰一缈肼I是一个赖于缈m1的系mm37的形由式(3．23)和式(3．24)，墨=簖‰～002U。Ri=岛将初始猜测解u0(r)=Acosrf2325并且比较式(326我们有b。=-C002+三A2_三彳2如=石1(彳3—43为简便起见，我们选取坝力=l，为避免在Ul(力中出现长期项彻s易令由式(3．27)‰：该解与其他解法[1520得出的初始解是一致的。将式(3．10)和式(324代入方程(320我们可得m阶形变方程之解啪心啪)+丢蓍捌∽H∽s根据解表达(39令CJ_O确保振动振幅为彳，有U。(O)一U。(万)=0，系数Q由式(3．30)因此，u(O和缈的m阶近似级数解M上海人学硕上学位论文例如，物理频率的一阶近似解是2壳1f2A国≈％+—coo—(1—92—+j28—0A—2—+1上08一上海人学硕上学位论文例如，物理频率的一阶近似解是2壳1f2A国≈％+—coo—(1—92—+j28—0A—2—+1上08一3．3辅助线性算子上的选同伦分析法给我们提供了很大的自由选择非线性算子￡的形式，对原二阶非线性方程(3．7)，我们自然选取n+口l(f)“’+口这里4lazr别为待定的实函数。高阶形变方程(320)的解可表示成如下形式rIffClfrQLr其中力俐，正何分别是三汐=D的非零解，‰∥为(320的特解，C^C2是常系数。为了寻找周期为2兀的周期解，石例，正俐必须是形式如sin(nOcos(nO的周期函数，显然我们应该选取彳(r)=sinf，L(r)COSz由于力∥，正俐分别是￡D的非零解，因此对于任意常系数oC2质￡(Cl-c,sinr-C2cosr+al(r)(ClCOSr--C2sinr)+a2(r)(Clsinr+C2(一sinr+aI(r)cosr+a2(r)sinr)CI一COS—UI—sinr+al(r)COS+口【一COST—当且仅当口。(f)=O，a2(f)=l，时，上式成立，得￡似L海大学硕十学位论文此例为运算简便，这星我们选取3．4数值L海大学硕十学位论文此例为运算简便，这星我们选取3．4数值验证及结果分通过上节的推导，我们可以得到两族含有辅助参数h的甜(力和缈的m阶似解表达式，值得强调的是，对于由式(310)定义的线性算子三，我们仍然拥有3．1显示了当A=00101，1时的国嘞曲线，该曲线表明，h的有效区间大约为-<办<0似=O．01)，一1．7<h<0似=O．1)，一1．0<h<0似=1．O)，可以看出，在同阶中，频国的收敛区间随振幅么的增大而而对于大幅的振动可以通过求解更高阶的近似解来扩大收敛区间。他"¨¨¨眈∞ 对于在有效区间内选定的h值，我们计算原振动系统响应的前三阶近似周期解，图32，3．3，34分别显示了当A=0．01，O．11．0时该解与精确数值解的比较果，表明同伦分析法给出的近似解析解非常接近原方程的精确解，并且振幅越小，该近似解与精确解的误差越小。穹j_毫l傅Id∞10穹j_毫l傅Id∞10图3．2．aA=0．01时，近似周期解与精确解的 图3．3．aA=0．1时，近似周期解与精确解的图3．4．aA--1．0时，近似周期解与精确解的比较上海大学硕上学位．0∞0_o．∞OA=0．Ol时，前三阶近似解的误差上海大学硕上学位．0∞0_o．∞OA=0．Ol时，前三阶近似解的误差A=0．1时，前三阶近似解的误差-A=I．O时，前三阶近似解的误差州舻兰∽而震卡翻]-对于原初始条件，原非线性方程(33有精确解析解[16表3．1不同振幅下，频率厕丘似周期解与精确解的4f丝!±丝2丛鱼【竺!±塑2±丝2Z(丝!±竺2±丝2±垒州舻兰∽而震卡翻]-对于原初始条件，原非线性方程(33有精确解析解[16表3．1不同振幅下，频率厕丘似周期解与精确解的4f丝!±丝2丛鱼【竺!±塑2±丝2Z(丝!±竺2±丝2±垒垫》丝竺!!竺111．0002547选取有效的h值，表3．1显示了频率讲{f四阶近似解在大小振幅下与精确的比较，结果表明，即使对于大的振幅，同伦分析法也能够给出与fl得到的精确解符合得很好的近似解析解。1：海大第四章Jerk方程同伦分析4．1上一章中，我们应用同伦分析法对二阶Duffing—Harmonic1：海大第四章Jerk方程同伦分析4．1上一章中，我们应用同伦分析法对二阶Duffing—Harmonic振子进行了分析，求得了其近似时间响应和频率解，并且讨论了辅助参数h在控制和调节级数解收敛性中起的重要作用，为本章的讨论打下了良好的基础。在这一章中，我们将研究含有三阶时间导数的Jerk∥=，(U0根据Gottlieb[21]，带有时间空间不变性并且含有三次立方项的Jerk方程一般形∥=一7矽一a03一flu2汐+万谢一占矽矽U(0)=0O)B(0)0这里”瓯屈6和s都是常系数，为了避免可以通过变换y=矽将原Jerk方程降阶为二阶非线性方程，届谚￡当中至少有一个非零。我们并不关心简单的加速方程时间导数的Jerk方程，所以当eO有辞一2仅，因为03+2tr00=采叻4．2引入新的变换F'-O)t和u(r)=cou(t)，则方程(4．2)可写为缈4讶+蜀∞4如西222362ufdi+flu2“(O)=o'矗上海大学硕上学位论文表示对的独立f导数以看满足方程(44边界条件(上海大学硕上学位论文表示对的独立f导数以看满足方程(44边界条件(45)的解是关于新变量f的以知为周期的周期函数，所以非线性方程的周期可以T=2n／a给出，在这里，原方程的时间响应和频率都取决与初始速度振幅B。在观察式(4．445显然，该Jerk方程的解u(O可以用下面的基函数{sin(kr)lk=1，2，3，“(r)=∑这就为我们提供了该Jerk方程的解表达。ck是待确定的系数，后面的初始猜测解和辅助函数都必须按照这个解表达原则选取，以避免解中出现类似一sin(尼力的长期根据方程(4．4和解表达原则(47们选取线性算ot三(Clsinr+C2其中a，巳白是常系数，根据方程(44我们接着选取非线性算子Ⅳ【如．g)内)】=蚴可c33qk(r；q)+ocJ'24(q)掣(挈+胆z(g)掣+af2z(g)f孳型 一6222(批；g)09kd(rf；q)020∥(r；q)+肭哪)挈．这里未知函数烈瓦g)、q是时间响应“(力和频率国的连续映射。令qe[O，1O-q)L[乎k(r；q)-u。(f)】-g壳日(f)Ⅳ【矽(f；g)，Q(g)】，其中是办≠O非零辅助参数，用0-0表示辅助函数，￡是辅助线性算子，uo(Ou(O的初始猜测解。为初始猜测解，相应零阶形变方程(411)的初始条件是则劫=o，显然，当q=O和为初始猜测解，相应零阶形变方程(411)的初始条件是则劫=o，显然，当q=O和q=l时，下式成立Ll～—o．≯(f；0)=Uo(f)Q(1)=国根据式(4．13)、式(4．14gg)的定义，当嵌入变量g∈[O10增大到时，政石g)、qg)从初始猜测解uo(O、COo变化到精确解u(O、缈。此处的纳的达式会在下文推导中确定。定姒加刍掣L，‰2去挈L根据泰勒展开定理，将政瓦g)、qg)按嵌入变量q展开成如下幂级@≯(r；g)=‰(r)+∑‰(f)g”Q(g)=‰+∑‰g”假设辅助参数、辅助函数、初始猜测解和辅助线性算子选取合适，从而级数解(4．16)和(417q=l时收敛，那么，当q=l时，上述级数变成“(f)=‰(f)+∑‰(f)，Ⅷ则(4。18)、(4．19)必是原方程的解(定理2．1)Un={“o(f)，甜I(f)，“2(f)，⋯，"。q={‰(f)，q(f)，哆上海人学硕士学位论文将方程(4．4)和(45对嵌入变量gm次，然后令q=O最后除以m，，到高阶形变方程co．一L[u。(f)一Z上海人学硕士学位论文将方程(4．4)和(45对嵌入变量gm次，然后令q=O最后除以m，，到高阶形变方程co．一L[u。(f)一Zuf)】产hHr)R。似m“。(0)=Um．(0)=U。弋其屁tol，聊将(4．1O)代入上c‰_I，％，=葫二I驯{筹卜c∥3磐尘+∥c∥絮鲍(等们+加：(g)a≯黔棚：㈤熙瑚2㈤如Ⅲ掣伊∥洲∽g，a掣川由式(4．15)，且法则R‘4(店)”=砉赢匆㈨k掣dq等虬2志1催斋k轰(，竹一)!I卅一一)!ag”1一 l|2{掣．o‘l_击k掣dq][志1≮掣J1f1IL-【!儿(m一一=鼹竽]l口10导[1a川。痧aq”。(m一1一==芝[；l；(砉a，，c”，一，)(薹a，，a，。一，一，)]·““_。一．一。上海大学硕1——————————————————————————————————一而与{筹脚你㈣湫咖))2吼=F鄯业上海大学硕1——————————————————————————————————一而与{筹脚你㈣湫咖))2吼=F鄯业掣m高：少≯U巷州泛胪铲U五与常g仉}=5能黔叫陇训隅kr=O‰J]}．叱。高：f【旷am-I．[∥(g)竹㈡]虬k{[』(m-l-k)，擎乩y稍贵笔鬯k∥≯U钟杀氘-,-k剃cI,(晕=，∑l∑哆q一^“_i南敞毗肜协神，坝=口群靴kb号掣3]l：。==cr蒸[妻吐。n％一，][莴‘(骞“-，Ⅳ：一，)．“·。一。一。=巧如警乩∽1叫i7=0‘(兰l=O“：“。叫·％一，-一，]=一J艺J妻吐q一，]JL艺LJ1卅：掣=砩伊铲 上海大学硕十学位n-I)红l。一。，=∑．,)-i=[1-∑kI∑I∑q哆一fJl∑qq+，I＼+占薹{粪[骞“上海大学硕十学位n-I)红l。一。，=∑．,)-i=[1-∑kI∑I∑q哆一fJl∑qq+，I＼+占薹{粪[骞“。“。．，][善(骞q劬。](善‘qq√一一，]])·“’。一k=OI∑y，]f-0‘(r=0“’，zz)·J＼／JL一一万芝|-圭qq一，]f万-篙。(壹矿“。一，∑]"Um_l_k_jk=OLI∑q％I|∑l∑“：“o一，]JL产＼m—、／根据解表达原则(47R肌(‰一1缈历一1)又可以表示成如下形／L(u。中‰一。)=∑吃(‰一。胁一1)表示CO所一l系数数烈聊)依赖于m和方程(44的形式。当m=l时，代入(425426置=簖‰m+占喀“。’U。”)2+乃面+口瑶(‰’)3一＆菇足=包然后将uo(O=Acos扮别代入式(4．27)，比较式(4．28岛=(三sB3一曰)嗣+1683+yB+三口曰3)簖+三∥包=三(一sB3簖+口B3簖一万∥西一∥为运算简便，根据解表达(47)，我们选取no=l。当blO时，根据由高阶形变方程解得的甜l(力会含有长期项瑚s乃因此必须强迫bl=O(4sB3-B)02+1683+yB+三口B3)面+三∥口3上海大学‰刮型业逝磊此解的形式跟用其他迭代法如谐波平衡上海大学‰刮型业逝磊此解的形式跟用其他迭代法如谐波平衡法[22，26】求得的解析解是一样的。按照定义(4．8)和式(4．25)，很易获得方程(4．20)1¨加～∽+去誓捌。cos+qsinr+qCOSZ'+Co其中解表达(47c2=o初始条件(421CoCI因此，u(O和缈的m阶近似为“(r)≈∑‰(f)，缈≈∑‰4．3辅助线性算子三的对于三阶Jerk方程，我们选取辅助线性算子的一般形式￡(“)=U”+口l(f)“”+口2(f)“’+口这里al(O、a2(r)和a3(0分别为待定的实函数。高阶形变方程(4．20)成如下形式：fIffcofClZfC2r其中而何，五似正俐分别是￡钐=D的非零解，‰倒为(4．20特解，％CC2是常系数。为了寻找周期为2兀的周期解，石俐，办俐，五一必须是形式如sin(nO、的周期函数，显然我们应该选五(f)=1，彳(f)=sinf，Z(r)=COS由于石何，力俐，以何分别是￡∽=D的非零解，因此对于任意常系数C矗成立性质￡(G+cl根据式(4．35)，由性质(4．38)COST+c：sinr+aI(f)(一sinr+C2一sinr—+口COST--C2sina,(r)Co+(一COST—+(sinr一口l(r)cosr-a2(r)sinr+口3(f)cosf)(之UoI口{一COSr—【sinf—ai(T)COST—COST+c：sinr+aI(f)(一sinr+C2一sinr—+口COST--C2sina,(r)Co+(一COST—+(sinr一口l(r)cosr-a2(r)sinr+口3(f)cosf)(之UoI口{一COSr—【sinf—ai(T)COST—al(r)=a3(f)=0三4．4数值验证及结果分析基于之前的讨论，同伦分析方法给出了两族含有辅助参数h的解析级数u(O，h4．4．1含速度立方项和速度、位移平方项的Jerk方我们先考虑个简单例子alS106￡O44U=一【，3一由同伦分析可得两族含有辅助参数h的级数解，图414243显示了当B=O．1，0．5，10时升阶近似解的h曲线，从图中明显可以看出h的有效区域f枷o<狄-100，肛o．1{一12<4Bo【一0．0002<72<--显然h的有效区域随着速度振幅B的增大而减小。在上述有效区域内选取合适的h值，前四阶的解析逼近周期Tl、T2、T3、T4与精确周期的相对误差列于4．1，表41表明解析逼近周期在初速度的大小振幅下都有较高的逼近精度，卜海大学硕十学位差随着阶数的增加而降低。图444546显示了不同速度振幅下前三阶周卜海大学硕十学位差随着阶数的增加而降低。图444546显示了不同速度振幅下前三阶周期解Ul(力，u2(0，u3(t)与精确解Ue(t)I拘较，结果表明同伦分析法可以得到相确的解析逼近解。O．736774(-0．738409(·00．73928200651 0．723920(-2．1x}?———V／-0．泌-0．o。陀-0．C(1715-0．∞阻--0．嘶＼图4．3．B=10时．级数解(4．34)啸曲线图4．1．B=0．14．a4图4．2．B--0．5时，级数解(4．34)八／圜l。{＼j图B=0．5近似周期解￡j确解的比较图B=0．5八／圜l。{＼j图B=0．5近似周期解￡j确解的比较图B=0．5◆幽／l至l|／，．，，，，⋯一，o：1o名口 o-矗 图4．6aB=10a't图4．6． B=IO时，前三阶近似解的误4．4．2一般的Jerk方程这一节我们虑更一Jerkcp￡10yO544)痧：一O．5D一【73一U2矽+删一村U(O)=0，U(0)=B，U(O)=0当B=0．1，0．5，10时，图4．7，4．8，4．9给出了h关于彩的有效区l-{一3<壳l一0．4<h<o，B=1选取合适的值后，同伦分析法得到的前四阶近似周期与精确解的相对误差很小，如表4．2所示，图410，411，4．12分别显示了不同速度振幅下前三阶周期解UlU2(t)，u3(t)与精确解甜。(f)的比较，证明了同伦分析法在求解非线性方程时的有性上海火学硕上学位论文L《)也 图4．7．B=O．14．34图4．8．B=0．54．34m图4．9．口=1．O时．级数解(4．34)上海火学硕上学位论文L《)也 图4．7．B=O．14．34图4．8．B=0．54．34m图4．9．口=1．O时．级数解(4．34)◆耋o罟露图B=O．I◆薯詈由I＼呈。图4．11．B=0．5前二阶近似解的误差图4．IIsB=0．5上海人上海人学硕士学位第五章结论与展5．1结振动是自然界及工程领域经常出现的重要问题，而且往往是非线性的，因此对非线性振动问题的定量分析往往能解第五章结论与展5．1结振动是自然界及工程领域经常出现的重要问题，而且往往是非线性的，因此对非线性振动问题的定量分析往往能解释各种非线性现象的物理本质，并解决工程中遇到的各种问题，为实际应用提供理论依据。目前，求解非线性问题的最普遍的方法是摄动法，将一个非线性问题转化为无穷多个线性子问题，并用前几个线性子问题的解之和来逼近该非线性问题的解，但应用摄动法的基础是方程中要具有小参数，这就限制了它的应用，且摄动法主要适用于弱非线性问题，得到的近似解也仅有一个很小的有效范围。非摄动方法如Lyapunov法和6展开法通过引入一个所谓的人工小参数来避免摄动方法对小(大)参数的依赖，并需要一些基本法则来指导何处放置人工参数；Adomian分解法是种有效的求解非线性问题的解析方法，但其得到幂级数解收敛半径较小，需要加速收敛的方法来增大收敛区间，且不具有选择基函数的自由。本文应用的同供了一个调节和控制近似解收敛区间和收敛速度的简便途径。本文选取非线性振动中的几个典型例子，给出了其显式的同伦分析近似解析解，并对以下内容做了分析和论证：1)阐述了同伦分析法的一般过程和指导解的三个基本原则，对级数解收敛定理进行了证明，并通过一简单例子研究了辅助参数h的选取；21利用同伦分析法研究了DuffingHarmonic振子，得到了一族时间响应和频率的近似周期解，并绘制了co---h曲线，发现在同阶近似中的有效区域随着振幅的增大而减小；当振幅增大时，则可以求解更阶的近似解来扩大收敛区间；与精确解的比较显示了该解析解有很的逼近效果。3)在同伦分析法的框架内求解了三阶的非线性Jerk方程，理论推导了辅助线性算子￡的选取，通过缈嘞曲线得出了不同速度振幅下级数解的上海人学硕士学位论文收敛区域，与精确解的误差比较显示，对于最一般的Jerk方程，同分上海人学硕士学位论文收敛区域，与精确解的误差比较显示，对于最一般的Jerk方程，同分析法能给出很好的解析近似解。基于上述的工作，我们可以得出如下结论：应用同伦分析法可以得到解的显示表达式，这就有助于我们探究具体问题中各物理参数的影响，为之后的分析提供可靠的数据支持；实践证明同伦分析法是颇为一般的有效的求解强非线性问题的近似解析方法，它避免了非线性方程中小参数的依赖，辅助参数h的引入为同伦分析法的实际应用铺平了道路；同伦分析法可以用来求解更为复杂的非线性问题。根据问题本身的物理性质或控制方程自身的特点选取合适的基函数表达，继而选取合适辅助线性算子和初始猜测解，引入辅助函数和辅助参数，便可以构其近似解析解；非线性问题提供了一条简便的求解途径，虽然这些问题的物理本质不同，但在同伦分析法框架内求解过程十分类似，这就体现了其应用的5．2展每一种新方法的诞生和成熟都要经过一个很长的成长过程，都要经历被验证被质疑、再被验证再被质疑如此反复的过程，也就是在这种过程中新方法才能迅速成长起来。同伦分析法的出现至今不过二十年，虽然它已经被成功运用与很多强非线性系统的分析求解，但实际工作中碰到的问题又是千差力．别的，这就要求我们进行更加深入的理论研究和探索分析，为了更加充分地发挥该方法的灵活性、有效性和一般性，将其应用到求解更多、更复杂的非线性领域内1)同伦分析法有很大的自由选择基函数、线性算子和辅助函数，但这种自由无不是以问题本身的物理性质作为指导和参考的，因此如何将物理性质和同伦分析的一般过程紧密结合起来，甚至给出严格证明的导方法，将是进一步理论研究的一个方向；上海人学硕士学位论文2)现在同伦上海人学硕士学位论文2)现在同伦分析法求解的问题大都是经过简化或近似的，且许多是常微分方程，但很多问题是不能通过变化得到的，所以求解原始的非线偏微分方程将是他的一个重要发展方向；3)同伦分析法的一大优点是程式化的计算可以通过科学计算机来完成，这就大大提高了求解的效率，但是对于强非线性，往往需要求高阶加速方法对该方法的完善是非常需要的；4)混沌现象通常是采用数值方法研究的，极少有解析方法的研究，因此，同伦分析法能否应用于混沌性的非线性问题还有待探索。上海大学硕十学位论文参考文Techniques，WileyInter-【l】to[2】刘延柱，陈立群，非线性振动，高等教育出版社，北【3】陈予恕，非线性振动，高等教育出版社，北【4】李鹏松，求解大振幅1F上海大学硕十学位论文参考文Techniques，WileyInter-【l】to[2】刘延柱，陈立群，非线性振动，高等教育出版社，北【3】陈予恕，非线性振动，高等教育出版社，北【4】李鹏松，求解大振幅1F线性振动问题的若干解析逼近方法，吉林人学博+学位论【5】陈树辉，强非线性振动系统的定量分析方法，科学出版社，北ofnewmethodinprocesses，Journal[6E．A．Physics，1963，4，410-418A．H．，Aperturbationmethodforproblems，Journal【7】nonlinearMathematicsandPhysics，1modifiedformM．S．Krylov—Bogoliubov-methodnthorderequation，InternationNon·Linea343—1【9】YamgoueS．B．，Kofane 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