数值计算方法 第4版 课件 第2章2-3,4 牛顿迭代法_第1页
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文档简介

2.3牛顿迭代法2.3.1迭代公式的建立2.3.2牛顿迭代法的收敛情况2.3.3牛顿迭代法的修正法2.3.1迭代公式的建立

3.几何意义

过曲线上的点pk(xk,f(xk))作切线，切线方程

y=f(xk)+f

(xk)(x–xk)

切线方程和横轴的交点(xk+1,0)，即

0=

f(xk)+f

(xk)(xk+1–xk)若

f

(xk

)≠0，解出xk+1，则得Newton迭代公式例用牛顿迭代法求方程xex-1=0在x=0.5附近的根。解牛顿迭代法

取x0=0.5，经计算可得普通迭代法18次才能得到的计算结果。,则x2-a=0,求等价于求方程

令例造平方根表。用牛顿迭代法计算(其中a>0)解的正实根。因为

f′(x)=2x，由牛顿迭代公式得当a=115时，取初值x0=10，迭代4次可得10，10.7500，10.723837，10.723805，10.723805≈10.723805是否还能用牛顿法计算一个正数的立方根？,则x3-3=0,

求等价于求方程

令例用牛顿迭代法求解的正实根。由牛顿迭代公式得当a=4111.7910时，取初值

x0=8，迭代4次可得7.48，7.439977,7.439760,7.439760,令例用牛顿迭代法造倒数表，计算解3、牛顿迭代法的计算步骤(1)给出x0,ε，N(2)计算(3)若则转(4)；否则，转(2);(4)输出x1,结束。牛顿迭代法局部收敛:2.4.2牛顿迭代法的收敛情况1.局部收敛性结论：

f(x)=0的单根x*附近存在着连续的二阶导数，当初值在单根x*附近时，牛顿法具有平方收敛速度。证牛顿法迭代函数当f(x*)=0，而f(x*)≠0，则x*是f(x)=0的单根,单根x*附近存在着连续的二阶导数，有

牛顿法至少具有平方收敛速度。2.3.3牛顿迭代法的修正1.简化牛顿法(平行弦法)2.牛顿下山法

在牛顿法基础上，构造既有较高的收敛速度，又不需要求导数的迭代公式。公式的推导

用差商则得两个弦截迭代公式2.5弦截法（割线法）单点弦法

双点弦法例用单点弦截迭代法求方程

x3-0.2x-1.2=0在x=1.5附近的根。解弦截迭代公式据题意，取x0=1.5,f(x0)=1.425,代入单点弦迭代法所以有k1234567xk11.1501.1901.1931.1981.1991.200例用双点弦截迭代法求方程

xex-1=0在x=0.5附近的根。解弦截迭代公式方程化为

x-e–x=0,令

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