新教材高中数学人教B版学案8-2-4第2课时积化和差和差化积公式

第2课时积化和差、和差化积公式[课程目标]1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程；了解此组公式与两角和与差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力．2．掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．[填一填]1．三角函数的积化和差公式cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，2．积化和差公式的推导sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(Sα－β)，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(Cα＋β)，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(Cα－β)，(Sα＋β)＋(Sα－β)，(Sα＋β)－(Sα－β)，(Cα＋β)＋(Cα－β)，(Cα＋β)－(Cα－β)，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ，cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ，cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，①cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，②cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，③sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]，④公式①②③④叫做积化和差公式．3．三角函数的和差化积公式sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)，sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)，cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)，cosx－cosy＝－2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2).4．和差化积公式的推导在积化和差的公式中，如果令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2).把这些值代入积化和差的公式①中，就有sineq\f(θ＋φ,2)·coseq\f(θ－φ,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ＋φ,2)＋\f(θ－φ,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ＋φ,2)－\f(θ－φ,2)))))＝eq\f(1,2)(sinθ＋sinφ)．∴sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)·coseq\f(θ－φ,2).⑤同样可得，sinθ－sinφ＝2coseq\f(θ＋φ,2)·sineq\f(θ－φ,2)，⑥cosθ＋cosφ＝2coseq\f(θ＋φ,2)·coseq\f(θ－φ,2)，⑦cosθ－cosφ＝－2sineq\f(θ＋φ,2)·sineq\f(θ－φ,2).⑧公式⑤⑥⑦⑧叫做和差化积公式．[答一答]1．积化和差与和差化积公式有哪些特点？提示：(1)积化和差公式的特点①同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半；②等式左边为单角α、β，等式右边是它们的和(差)角；③如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负．(2)和差化积公式的特点①余弦函数的和或差化为同名函数之积；②正弦函数的和或差化为异名函数之积；③等式左边为单角α和β，等式右边为eq\f(α＋β,2)与eq\f(α－β,2)的形式；④只有余弦差一组的符号为负，其余均为正．2．三角恒等变换的基本原则是什么？提示：(1)化异角为同角：利用三角函数公式把不同的角化为相同的角．(2)化异次为同次：利用升降幂公式把异次化为同次．(3)化异名为同名：利用诱导公式把不同名的三角函数化为同名三角函数．(4)三角函数式化简的原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低(正整数指数幂)，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应求出其值．类型一积化和差公式[例1]运用积化和差公式计算或化简下列各式：(1)sineq\f(π,12)·coseq\f(5π,12)；(2)2cos35°sin55°；(3)cos(x－y)cos(x＋y)．[分析]本题主要考查积化和差公式，所给形式均符合公式形式，按公式化积即可．[解](1)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(5π,12)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(5π,12)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),4).(2)原式＝sin(35°＋55°)－sin(35°－55°)＝sin90°＋sin20°＝1＋sin20°.(3)原式＝eq\f(1,2){cos[(x－y)＋(x＋y)]＋cos[(x－y)－(x＋y)]}＝eq\f(1,2)[cos2x＋cos(－2y)]＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)cos2y.[变式训练1]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))化成和差为(B)A.eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α－β))B.eq\f(1,2)cos(α＋β)＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α－β))C.eq\f(1,2)sin(α－β)＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α＋β))D.eq\f(1,2)cos(α＋β)＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α＋β))解析：原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)＋α＋β))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α－β))))＝eq\f(1,2)cos(α＋β)＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α－β)).类型二和差化积公式[例2]将sin2α－cos2β化为积的形式．[分析]解此题可以先因式分解，再和差化积或先降幂再和差化积．[解]方法一：sin2α－cos2β＝(sinα＋cosβ)(sinα－cosβ)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinα＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinα－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(α－β,2)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α＋β,2)－\f(π,4)))·2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(α－β,2)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α＋β,2)－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α－β))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β－\f(π,2)))＝－cos(α＋β)·cos(α－β)．方法二：sin2α－cos2β＝eq\f(1－cos2α,2)－eq\f(1＋cos2β,2)＝－eq\f(1,2)(cos2α＋cos2β)＝－cos(α＋β)cos(α－β)．eq\a\vs4\al(1.非同名函数化同名函数.,2.合理选择公式对解题很重要方法二比方法一简便多了.)[变式训练2]把下列各式化为积的形式：(1)cosx－eq\f(1,2)；(2)1＋2sinx.解：(1)原式＝cosx－coseq\f(π,3)＝－2sineq\f(x＋\f(π,3),2)sineq\f(x－\f(π,3),2)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))).(2)原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋sinx))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)＋sinx))＝4sineq\f(x＋\f(π,6),2)coseq\f(x－\f(π,6),2)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,12))).类型三三角函数式的化简、求值与证明命题视角1：运用公式对三角函数式化简求值[例3]化简并求值．(1)sin10°sin30°sin50°sin70°；(2)coseq\f(2,7)π＋coseq\f(4,7)π＋coseq\f(6,7)π.[分析]利用形式的变化以及特殊值求解，注意积与和差的转化．[解]解法1：(1)sin10°sin30°sin50°sin70°＝－eq\f(1,4)(cos60°－cos40°)sin70°＝－eq\f(1,8)sin70°＋eq\f(1,4)sin70°cos40°＝－eq\f(1,8)sin70°＋eq\f(1,8)(sin110°＋sin30°)＝－eq\f(1,8)sin70°＋eq\f(1,8)sin70°＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,16).(2)coseq\f(2,7)π＋coseq\f(4,7)π＋coseq\f(6,7)π＝2coseq\f(3π,7)coseq\f(π,7)＋2cos2eq\f(3π,7)－1＝2coseq\f(3π,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,7)＋cos\f(π,7)))－1＝－4coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(4π,7)－1＝eq\f(－4sin\f(π,7)cos\f(π,7)cos\f(2π,7)cos\f(4π,7),sin\f(π,7))－1＝eq\f(－2sin\f(2π,7)cos\f(2π,7)cos\f(4π,7),sin\f(π,7))－1＝－eq\f(sin\f(4π,7)cos\f(4π,7),sin\f(π,7))－1＝－eq\f(\f(1,2)sin\f(8π,7),sin\f(π,7))－1＝eq\f(\f(1,2)sin\f(π,7),sin\f(π,7))－1＝－eq\f(1,2).解法2：(1)sin10°sin30°sin50°sin70°＝eq\f(1,2)cos20°cos40°cos80°＝eq\f(sin20°cos20°cos40°cos80°,2sin20°)＝eq\f(sin40°cos40°cos80°,4sin20°)＝eq\f(sin80°cos80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,16sin20°)＝eq\f(sin20°,16sin20°)＝eq\f(1,16).(2)coseq\f(2π,7)＋coseq\f(4π,7)＋coseq\f(6π,7)＝eq\f(2cos\f(2π,7)sin\f(π,7)＋2cos\f(4π,7)sin\f(π,7)＋2cos\f(6π,7)sin\f(π,7),2sin\f(π,7))＝eq\f(sin\f(3π,7)－sin\f(π,7)＋sin\f(5π,7)－sin\f(3π,7)＋sinπ－sin\f(5π,7),2sin\f(π,7))＝－eq\f(sin\f(π,7),2sin\f(π,7))＝－eq\f(1,2).对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止.“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的.试图利用已知等式及平方关系分别求取cosα，cosβ，sinα，sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解.[变式训练3]求下列各式的值．(1)sin54°－sin18°；(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°.解：(1)sin54°－sin18°＝2coseq\f(54°＋18°,2)sineq\f(54°－18°,2)＝2cos36°sin18°＝2×eq\f(2sin18°cos18°cos36°,2cos18°)＝eq\f(2sin36°cos36°,2cos18°)＝eq\f(sin72°,2cos18°)＝eq\f(cos18°,2cos18°)＝eq\f(1,2).(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝2cos120°cos26°＋2×eq\f(1,2)(cos120°＋cos26°)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×cos26°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋cos26°＝－cos26°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋cos26°＝－eq\f(1,2).命题视角2：运用公式证明三角函数式[例4]求证：taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2)＝eq\f(2sinx,cosx＋cos2x).[证明]方法1：taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2)＝eq\f(sin\f(3x,2),cos\f(3x,2))－eq\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))＝eq\f(sin\f(3x,2)cos\f(x,2)－cos\f(3x,2)sin\f(x,2),cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sinx,cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(2sinx,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))))＝eq\f(2sinx,cosx＋cos2x).方法2：eq\f(2sinx,cosx＋cos2x)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)cos\f(x,2)－cos\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sin\f(3x,2),cos\f(3x,2))－eq\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))＝taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2).证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.[变式训练4]在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)coseq\f(C,2).证明：因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－(A＋B)，eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A＋B,2).因此sinA＋sinB＋sinC＝2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A－B,2)＋sin(A＋B)＝2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A－B,2)＋2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A＋B,2)＝2sineq\f(A＋B,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A－B,2)＋cos\f(A＋B,2)))＝2sineq\f(A＋B,2)·2coseq\f(A,2)·coseq\f(B,2)＝2coseq\f(C,2)·2coseq\f(A,2)·coseq\f(B,2)＝4coseq\f(A,2)·coseq\f(B,2)·coseq\f(C,2).类型四在解三角形中的应用[例5]在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()A．等边三角形 B．等腰三角形C．不等边三角形 D．直角三角形[解析]由已知等式得eq\f(1,2)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝eq\f(1,2)(1＋cosC)，又A＋B＝π－C，所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，所以cos(A－B)＝1.又因为在三角形中，所以A－B＝0，所以A＝B.故△ABC为等腰三角形．[答案]B判定三角形形状的基本思路：对已知三角恒等式化简变形，把三角函数关系式最终化成角之间的关系，利用角之间的关系判定形状，在变形时注意合理利用内角和定理及其变形[变式训练5]已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，eq\f(1,cosA)＋eq\f(1,cosC)＝－eq\f(\r(2),cosB)，求coseq\f(A－C,2)的值．解：∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，∴B＝60°，A＋C＝120°.∴原式可化为cosA＋cosC＝－2eq\r(2)cosAcosC.∴2coseq\f(A＋C,2)coseq\f(A－C,2)＝－eq\r(2)[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，由A＋C＝120°，代入上式得coseq\f(A－C,2)＝eq\f(\r(2),2)－eq\r(2)cos(A－C)＝eq\f(\r(2),2)－2eq\r(2)cos2eq\f(A－C,2)＋eq\r(2)，即2eq\r(2)cos2eq\f(A－C,2)＋coseq\f(A－C,2)－eq\f(3\r(2),2)＝0，∴(2eq\r(2)coseq\f(A－C,2)＋3)(coseq\f(A－C,2)－eq\f(\r(2),2))＝0，∵2eq\r(2)coseq\f(A－C,2)＋3≠0，∴coseq\f(A－C,2)＝eq\f(\r(2),2).1．给出下列四个关系式：①sinαsinβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]②sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]③cosαcosβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]④