2024年1月“七省联考”考前猜想卷数学试题含答案

2024年1月“七省联考”考前猜想卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若全集U=R,A={x\x<l},B={x|x>l},则()

A.A=BB.=BC.BujAD.AUB=R

已知为复数单位，竽巴=

2.i2+i，贝！Jz=l+ai的模为（）

1-1

A.V2B.1C.2D.4

3.在三角形A8C中，AC=3,AB=4,ZCAB=120%贝”而+就)•而=()

A.10B.12C.-10D.-12

)尸)=；,1tana

4.sin(6Z_Q+sin(c+cosasin4一一，贝Ij八二()

3tan)

3432

A.-B.-C.一D.-

4323

5.在等比数列｛aj中，a2,4是方程炉-8关+»1=0两根，若生。5=3。4，则机的值为（）

A.3B.9C.-9D.-3

6.中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平

台.大剧院的平面投影是椭圆C,其长轴长度约为212m,短轴长度约为144m.若直线/平行于长轴

且C的中心到/的距离是24m,则/被C截得的线段长度约为（）

A.140mB.143mC.200mD.209m

7"=土丽”是“直线x+y+6=0与圆C：（x+l『+（y-l）2=5相切”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

8.设a=ln2,b=1.09,c=e03,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系

列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等.根据下方的统计图，下

列结论正确的是()

2010至2022年我国新生儿数量折线图

A.2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万

B.2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万

C.2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势

D.2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差

10.已知函数/(x)=Asin(0x+9)[A>O,o>O,-]<o<]]的部分图象如图所示，则()

A.7(x)的最小正周期为兀

B.当xe时，/⑺的值域为一与，与

C.将函数/⑺的图象向右平移展个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象

D.将函数〃尤)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点

m对称

11.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CQ上的动点(点P不与点C,Q重合)，过点

P作平面。分别与棱BC,CD交于M,N两点，若CP=CM=CN,则下列说法正确的是()

A.A/C_L平面a

B.存在点P,使得AG〃平面a

c.存在点P,使得点4到平面。的距离为g

D.用过点P,M,。/的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射

出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

C:/=2x,0为坐标原点，一束平行于x轴的光线4从点P（见2）射入，经过C上的点4（为,必）反射

后，再经过C上另一点2（%，%）反射后，沿直线乙射出，经过点Q，则（）

A.%B.延长A。交直线了=一!•于点。，则。，B,Q三

点共线

13Q

C.|AB|=-^D.若尸8平分NABQ,则m=j

三.填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分

13.给定条件：①/（X）是奇函数；②〃呼）=/（x）/（y）.写出同时满足①②的一个函数/（X）的解析

式：.

2

14.已知（办-2）（x+—了的展开式中的常数项为240,则。=.

15.为备战巴黎奥运会，某运动项目进行对内大比武，王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼，若王

燕获胜的概率为3:，且每轮比赛都分出胜负，则最终张策获胜的概率为

16.四棱锥P-ABCD各顶点都在球心。为的球面上，且平面ABCD,底面A8CD为矩形，

PA=AD=2,AB=26,设分别是PRCD的中点，则平面AMN截球。所得截面的面积

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知数列｛。“｝满足q=1,且点（、一，：）在直线y=x+l上

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）数列｛a4..｝前〃项和为7；,求能使北＜3冽-12对恒成立的相（《ieZ）的最小值.

18.（本小题满分12分）在锐角DABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-2bcosA=6.

(1)求证：A=28；

(2)若A的角平分线交BC于D,且c=2,求△AB。面积的取值范围.

19.(本小题满分12分)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接

受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司

2023年前5个月的带货金额：

月份X12345

带货金额力万元350440580700880

(1)计算变量x,>的相关系数『(结果精确到0。1).

(2)求变量x,y之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.

(3)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女^性2530

男性10

总计

请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.

22

参考数据：亍=590,^(x,-x)=10,^(X-y)=176400,

i=li=l

^(x,.-x)(x-y)=1320,>41000/664.

参考公式：相关系数厂=ii,线性回归方程的斜率口-------:—,截距

回不怀了乎…)

a=y-bx.

n^ad-bc^

附:K?=其中H=a+Z?+c+d.

(a+8)(c+d)(a+c)(b+d)

0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

20.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A4G的底面是等边三角形，AB=AAi=6,明=60。,

D,E,尸分别为BB-CCIf5C的中点.

(1)在线段⑨上找一点G,使FG〃平面AQE,并说明理由；

(2)若平面相片台，平面ABC,求平面4。£与平面ABC所成二面角的正弦值.

21.(本小题满分12分)已知直线尤+y+l=O与抛物线C:/=2py(p>0)相切于点A,动直线/与抛物

线C交于不同两点M,N(M,N异于点A),且以MN为直径的圆过点A.

(1)求抛物线C的方程及点A的坐标；

(2)当点A到直线/的距离最大时，求直线/的方程.

22(本小题满分12分)已知函数=(xT)ln(x-2)-a(x-3),aeR.

(1)若a=I,讨论/(力的单调性；

(2)若当无>3时，〃”>0恒成立，求〃的取值范围.

2024年1月“七省联考”考前猜想卷

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

9101112

ACACDACDAB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.=x（答案不唯一）14.3

5

15.—16.3兀

32

四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

【解析】（）点（---，一）在直线上

17.1ay=x+2

4+1n

得广4=2,

---------------------2分

是以首项为£=公差为2的等差数歹U.

所以数列--------------------3分

故工=工+(〃〃即1

2-1)=2-1,q“=---------------------5分

a„2n-l

1111

⑵an+ian=---------------------6分

(2«-l)(2n+l)2<2M-12n+l

11111

所以】二11-14—-]—

232212〃-12〃+1

1111-11

<—---------------------8分

23352n-l2〃+l22〃+12

要使7；<3加-12对〃EN*恒成立,

i75

3m-12>—^m>---------------9分

23

又meZ,所以加的最小值为9.---------------------10分

18.

【解析】(1)因为c-2Z?cosA=b,

由正弦定理得sinC-2sinBcosA=sinB---------------------2分

又4+5+。=兀，所以sin(A+B)-2sinBcosA=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-3)=sinB---------3分

因为[]A8C为锐角三角形，所以A-BEj

又>=$11«在，2段）上单调递增，所以A-B=B,即A=22；----------------------5分

（2）由（1）可知，A=25,所以在△A8O中，NABC=NBAD,

ADAB21

由正弦定理得：氤=丽花=瑞丽,所以40=2。=成,--------------7分

^^XS=-xABxADxsinB==tanB.---------------------9分

aABD2cosB

又因为口ABC为锐角三角形,

所以0<B（工，0<2B<-,0〈兀一3B〈色，解得e<B（色,---------------------11分

22264

所以tanBq]-』，即△A3。面积的取值范围为-y,l---------------------12分

19.【解析】（1）«0.99-----------------2

分

—1_

(2)因为x=1x(1+2+3+4+5)=3,y=590»

£(尤,-尤)2£卜_尤

=10,)(y,_y)=1320,-------------------4分

Z=1Z=1

0=590-132x3=194,------------------6分

所以变量x,V之间的线性回归方程为》=132x+194,

当x=7时，y=132x7+194=1118(万元).

所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元.8分

(3)补全完整的列联表如下.

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女性25530

男性151025

总计401555

--------------9分

零假设“。：参加直播带货与性别无关，

2

根据以上数据，经计算得到K=55x(25x10-5x151°>2706=----------------------11分

30x25x40x15°」

根据小概率值。=0.1的独立性检验我们推断“。不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错

误的概率不超过10%.--------------12分

20.【解析】(1)如图所示：

当点G为相的中点时，EG〃平面4DE,--------------1分

证明如下：设H为。E中点，连接口,4〃.

因为在三棱柱A8C-44G中，BB\HCCJM，--------------2分

口，及尸^分别为^^^^0/里的中点，

所以FH//EC//A.G,且FH=EC=AlG,

所以四边形AGFH为平行四边形.

所以尸G〃4”,--------------4分

又因为A"u平面4。石，FG①平面4DE,

所以PG〃平面ADE.・5分

(2)如图所示:

取A8中点。，连接。4，Ag,0C.

因为AB=A4t=BB[,NABB]=60°,

所以口AB片为正三角形，所以4。LAB.----------------------6分

又因为平面相片8,平面ABC,平面A4142n平面ABC=AB,平面

所以4。，平面ABC,

又CO,A。u平面ABC,

所以B|O_LCO,4(9_LA。，

因为[1ABC为等边三角形，所以0CLA3.----------------------7分

以。为原点，分别以0coA,0月所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

依题意得40,3,0),8(0,-3,0),C(36,0,0),4(0,6,36),4(0,0,36),。0,-g,手)，--------8分

所以丽=0,£,孚｝DE=BC=(3y/3,3,0).

设平面ADE的法向量五=(x,%z),

_7T7*_A153y/3

则由“,色=。，得,令X=1,得3=(1,5).--------------------9分

"=。〔3小+3『

取平面ABC的法向量而=(0,0,1),

设平面ADE与平面ABC所成二面角的大小为6,

।kI/----\l555/29

则的〃六丽二i^rwr・-----------ii分

所以sin6=Vl-cos26=2y，

29

所以平面AQE与平面ABC所成二面角的正弦值为噜L----------------------12分

fx+y+1=0.

21.【解析】(1)联立，'，消y得Y+2px+2p=0,

〔厂=2py

因为直线x+〉+l=。与抛物线C：f=2py(p>0)相切，

所以A=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去)，-------------2分

当p=2时，x2+4x+4=0,解得x=-2,所以，=1,--------------------4分

所以抛物线C的方程为尤2=4>，点A的坐标为(-2,1)；---------------------5分

(2)显然直线/的斜率存在，

可设为y=H+(再

fy=kx+b,

由I2A，消丫得炉―4fcx-4b=0,

[x-4y

贝ljA=16尸+16b>0,

xt+x2=4k,xtx2=-4b,--------------7分

AM=（%+2,%-1）,AN=（x2+2,y2-1）,

因为以MN为直径的圆过点A,

所以磁.俞二0，

即（西+2）（々+2）+（%-1）（必-1）=。，--------------8分

整理可得（上一+1）+[左（6—1）+2]（%+%2）+—1）+4=0,

所以-46（廿+1）+4/伍-1）+8%+9-1『+4=0,

化简得b?-66+9=4左2—8左+4,

所以优-3）2=（2%-2）2,

所以6-3=2%-2或匕-3=2-23

即6=2々+1或6=-2k+5,----------------------9分

当Z?=2左+1时，直线/:y=履+2%+1,

即y-l=Mx+2）,所以直线/过定点（一2,1）（舍去），-------------10分

当b—3=2—2左时，直线/：y=立一2左+5,满足A>0,

即丫一5=人（无一2）,所以直线/过定点。（2,5）,----------------------11分

当直线/与AQ垂直时，点A到直线/的距离最大，

又幻。=2-（-2）=1，所以勺=T，

所以直线/的方程为x+y-7=0.-------------------12分

22.【解析】（1）解：〃x）的定义域为（2,+8）,

当a=l时，/(x)=(x-l)ln(x-2)-x+3,

y—11

/(%)=111(^-2)+---l=ln(x-2)+----------------------2分

设g(尤)=ln(x-2)+-^―,

x—2

x-3

则g'(x)=

令g'（x）=0，解得X=3,--------------------4分

当xe（2,3）时，g[x）<0,g（x）单调递减,

当尤e（3,+co）,g，（无）>0,g（尤）单调递增.

所以，gGZ-g⑶=1>°，则g（x）=/'（尤）>。对任意的x>2恒成立，

所以，函数/（x）的单调递增区间为（2,+co）,无递减区间.---------------------6分

（2）解：当x>3时，〃x）>0恒成立等价于ln（x-2）-应一>0在（3,+⑹上恒成立，

设/?（无）=ln（尤一2）-^^~—（x>3）,----------------------8分

贝lj〃(x)=一^2a%?—2(a+l)x+4cz+l

2=)2

X—Z(x-1)-(x-2(x-l)

设9(x)=x?-2(a+l)x+2a+l(x>3),・9分

则。（无）图象为开口向上，对称轴为片。+1的抛物线的一部分,

当aW2时，a+l＜3,在（3,+oo）单调递增，且9（3）=4—2。20,---------------10分

所以，*"0,gp/z,（x）＞0,则函数力（无）在（3,+向上单调递增,

又因为入（3）=0,所以为无）＞0在（3,内）恒成立,满足题意;

当。＞2时，。+1＞3,夕（3）=4-2。＜0,

所以方程夕（力=。有两相异实根，设为毛、巧，且占。2，则石＜3＜尤2，

当xe（3,X2）时，°（x）＜0,"（x）＜0,/z（x）在（3,x?）上单调递减，

又因为欠3）=0,故当xe（3,X2）时，//（%）＜/i（3）=0,---------------11分

所以，/7@）＞0在（3,+8）上不恒成立，不满足题意.

综上，。的取值范围为（-s,2].---------------12分

2024年1月“七省联考”考前猜想卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若全集U=R,A={x\x<l},B={x\x>\\,则（）

A.AcBB.Q,A=BC.B工AD.AU8=R

【答案】C

【解析】A={x|x<l},B={x\x>\],Q,A={X|X>1},则Ac8=0,A错误，

BuaA,B错误，C正确，Au8={x|x<l或x>l},D错误，故选C.

2.已知i为复数单位，竽巴=2+i,贝”=1+山的模为（）

l-i

A.1B.V2C.2D.4

【答案】B

【解析】由智=2+i可得3+ai=（2+i）（l-i）=3-i,所以“=-l,

1-1

所以z=l—i,贝|J|Z|=J12+（_Q2=后,故选B.

3.在三角形A5C中，AC=3,AB=4,ZCAB=120°,贝Ij（而+恁）•而=（）

A.10B.12C.-10D.-12

【答案】A

【解析】记/=〃,而=〃，则,|=3，W=4,

'：a-b=|5|-|&|cos6）=12cosl20°=-6,.•.（5+3卜3=5・3+卜『=—6+16=10.

4.sin（a—尸）+sin（a+力）=g,cosasin〃=；,itana

则丽=（

32

ABc.D.

-1-i23

【答案】A

【解析】由sin（a-夕）+sin（a+£）=；,得2sinacosP=；,

BPsinacos/3=—,而cosasin）=一,

tanasinacos/33

W，故选：A

tanPcosasin（3

5.在等比数列｛%｝中，a2,4是方程8%+机=0两根，若。3〃5=3%,则根的值为（）

A.3B.9C.-9D.-3

【答案】B

【解析】因为。2，4是方程龙之一8元+加=0两根,

所以。2+以=8,。2。6=%A=64-4机〉0,即机<16,

在等比数列｛%｝中，。2。6=。3。5=〃：，又〃3%=3%,

所以因为〃4。0，所以&=3,所以根=d=9,故选B.

6.中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平

台.大剧院的平面投影是椭圆C,其长轴长度约为212m,短轴长度约为144m.若直线/平行于长轴

且C的中心到/的距离是24m,贝I"被C截得的线段长度约为（）

A.140mB.143mC.200mD.209m

【答案】C

【解析】设该椭圆焦点在1轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示,

22

设椭圆的方程为：斗+当=1,a>b>0,由题意可得2〃=212,2b=144,

ab

22

将〃=106，6=72代入方程，得患+言=1,

因为直线I平行于长轴且C的中心到I的距离是24m,

令y=24,得IZxJ2f~200(m),故选C.

7.»=±厢”是“直线x+y+b=O与圆C：(x+l)2+(y-l>=5相切”的()

A.充分条件B.必要条件

C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】C

【解析】圆心C到直线x+y+6=o的距离d

所以例=而，即6=±，而，所以所求直线方程为x+y土Ji6=o.

^=VH)”是“直线x+y+6=0与圆C：(x+l『+(y-l)2=5相切”的充要条件，故选C.

8,设a=ln2,b=1.09,c=e03,则()

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】a=In2<Ine=1<Z?,c=e°3>e°=1>a,

令"x)=e-2-l,贝lj/[x)=e'-2x,

令g(x)=e*-2x,则g<x)=e，-2,

当xe(-co,ln2)时，g'(x)<0,/'(x)单调递减，

当xe”2,+咐时,g'(x)>O,f'(x)单调递增,

所以尸(x)2〃ln2)=2(1Tn2)>。，

所以/(x)在R上单调递增，

所以/(0.3)>〃0)=0,即e°3>i.O9,所以c>人

综上，故选D

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系

列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等.根据下方的统计图，下

列结论正确的是（）

A.2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万

B.2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万

C.2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势

D.2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差

【答案】AC

【解析】对于A,由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9

个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的

平均数高于1400万，故选项A正确；

对于B,由图可知共有13个数据，因为13x25%=3.25,所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据

的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误；

对于C,由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；

对于D,由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动

小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错

误，故选AC.

10.已知函数〃x）=Asin（0x+e）[A>O,0>O,-]<9<]]的部分图象如图所示，则（）

A.〃力的最小正周期为兀

B.当xe时，/(x)的值域为---

C.将函数的图象向右平移自个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象

D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点

仁，”对称

【答案】ACD

【解析】由图可知，A=l,函数的最小正周期T==兀，故A正确；

qT_2兀八2兀2兀_

由7二77，口〉。，知。=k=—=2,

回T71

因为《卜，所以sin(2x>“=lTTJTIT

所以—卜cp=2EH—,k£Z,即9=2火兀H—,k£Z,

326

P7171所以夕=己，所以/(x)=sin[2x+聿

22

、r,兀兀rc兀兀2兀tt♦(c71|y/3.

对于B,当XE时，2x+—G,所以sm2兀+7e——,1

44633k6J2

所以/")的值域为-g，l，故B错误;

对于c,将函数/⑺的图象向右平移3个单位长度，得到蚣日卡卜咤僧卜g的图象,故C正

确;

对于D,将函数A*)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得至l]y=sin(x+1的图

象，

因为当x=费时，y=sin^+^=sinn=O,所以得到的函数图象关于点[工，对称，故D正确.故选

ACD.

11.如图，在棱长为1的正方体ABC£)-AB]C]A中，尸为棱CG上的动点(点尸不与点C,。重合)，过点

P作平面C分别与棱BC,C。交于M,N两点，若CP=CM=CN,则下列说法正确的是()

A.A<_L平面a

B.存在点P,使得AG〃平面a

c.存在点P,使得点4到平面。的距离为g

D.用过点P,M,6的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【解析】连接BQ,BADGES，2P

CMCN

因为CM=CN,CB=CD,所以所以MN/出。

CBCD

又MNU平面GBD,3Du平面GBD，所以MN〃平面C/D

同理可证MP〃5G，MP〃平面C]BD

又MPcMN=M,MN、MPu平面所以平面。乃。〃平面a

易证A。，平面Ga）,所以A/_L平面a,A正确

又AGc平面C[BD=C],所以AG与平面。相交，不存在点尸，使得AQ〃平面a,B不正确.

因为冈，=，+1+1=6,点c到平面Ga）的距离为近

3

所以点4到平面a的距离的取值范围为（耳,6）

又正<,<△，所以存在点尸，使得点4到平面。的距离为C正确.

333

因为ADJ/BG，所以AOJ/MP,所以用过点P,M,。的平面去截正方体得到的截面是四边形AQPM

又ADJIMP,且所以截面为梯形，D正确

故选：ACD

A

12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射

出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

C:/=2x,0为坐标原点，一束平行于x轴的光线《从点尸（皿2）射入，经过C上的点4（为,必）反射

后，再经过C上另一点2（%,%）反射后，沿直线4射出，经过点Q,则（）

A.占马=；

B.延长A。交直线x=-g于点。，则。，B,Q三点共线

2

C.

9

D.若尸5平分/A5Q,则m==

4

【答案】AB

【解析】由题意知，点尸4（与2）,如图：

_2-0_4

将A（%,2）代入y2=2x,得为=2,所以4（2,2）,则直线AB的斜率工！=§,

又时,%=一；,则唱，一!]

所以为X2=2X：=；,所以A选项正确；

84

125

又=%+*2+1=2+弓+1=，所以C选项错误;

88

又知直线即〃X轴，且从《，-与，则直线BQ的方程为y=Y，

〈X2J2

又4(2,2),所以直线AO的方程为〉=了，

令尤=-；,解得y=_,即°在直线8Q上，

所以。，B,Q三点共线，所以B选项正确；

设直线PB的倾斜角为8(0e[o,^|),斜率为心，直线A8的倾斜角为

若PB平分乙铝。，即乙48。=2/尸2。，即a=2。，

Dyn042k1

所以tanautanZOu：j-------^―,则£=1—%，且%>0,解得％0=彳，

1-tan051To2

2"

又a=—解得：机=号，所以D选项错误；故选AB.

0128

m——

8

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分

13.给定条件：①"X)是奇函数；②“孙人广⑺”丫》写出同时满足①②的一个函数/⑴的解析

式：.

【答案】〃x)=x(答案不唯一)

【解析】当/(x)=x时，定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=T=-〃x),则其为奇函数，

又因为〃孙)=^=x-y=/(x)〃y),所以y(x)=x满足题意，

2

14.已知(办-2)(x+—了的展开式中的常数项为240,贝!]a=.

X

【答案】3

【解析】(x+-)5的展开式的通项加=C"5T(知=2匕产2，&=0,1,2,3,4,5),

%X

令5-2「二一1得/=3,令5-2厂=0,无解，

?

所以(ax-2)(x+-)5的展开式中的常数项为a•23娱=80a=240,所以a=3.

15.为备战巴黎奥运会，某运动项目进行对内大比武，王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼，若王

燕获胜的概率为3=,且每轮比赛都分出胜负，则最终张策获胜的概率为______

4

【答案中

【解析】①第一局王燕胜，第二局张策胜，第三局张策胜，②第一局张策胜，第二局王燕胜，第三局

张策胜，③第一局，第二局张策2胜，.•.比赛结束时乙获胜的概率

P=xx+xx+x=++=

4444444464646432

16.四棱锥尸-A2CD各顶点都在球心。为的球面上，且平面ABCD,底面ABCD为矩形,

PA=AD=2,AB=26,设分别是PRCD的中点，则平面AMN截球。所得截面的面积

为.

【答案】37r

【解析】如下图所示，

易知四棱锥P-ABCD外接球与以AP,AB,AD为棱长的长方体的外接球相同；

由题意可知球心。为PC中点，

故球0的直径2/?=,22+22+(20『=4,解得R=2

由M,N分别是CC的中点可得MN//PC,可得PCH平面AMN；

所以球心。到平面AMN的距离等于点C到平面AMN的距离，

设球心。到平面AMN的距离为d,截面圆的半径为r,

在三棱锥C-AMN中，易知4W工平面MNC,且与“收=；义血、血=1,

--1C

所以^A-MNC=2XS口MVCXAM=,

而VC-AMN=35口加•d=gXgX亚X2d=,由等体积法得"=1,

所以户=我2-屋=3,故截面面积为兀户=3兀.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)已知数列｛〃“｝满足4=1,且点(广，()在直线y=x+l上.

(1)求数列｛〃"｝的通项公式；

（2）数列{4%+」前”项和为北，求能使北＜3机-12对weN*恒成立的〃z（〃zeZ）的最小值.

【解析】（1）点（'，，）在直线＞=》+2上

%an

得J--'=2,----------------------2分

a

%+1n

所以数列是以首项为'=1，公差为2的等差数列.--------------3分

故'=工+2（"T）=2〃-1,即%--------------5分

%2〃—1

11

（2）an+lan=-...?.=；［--J----------------------6分

（2n-1）（2〃+1）212几一12n+ly

+..一［11

212H-12孔+1

1111

+­••+<—----------------------8分

52n-l2n+l2

要使北＜3加-12对〃eN*恒成立,

3m-12>—,§Pm>-----------------------9分

23

又mwZ,所以机的最小值为9.---------------------10分

18.（本小题满分12分）在锐角045。中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且c-28cosA=b.

（1）求证：A=2B；

（2）若A的角平分线交于O,且c=2,