河北省高二年级上册11月期中考试数学试题（解析版）

一、单选题

1.直线3x+4y-5=0的斜率为()

3434

A-4B.§C.--0,--

【答案】C

【分析】将直线方程化为斜截式，即可求出直线的斜率.

【详解】解：直线3x+4y-5=0即y=-：3x+5=,所以直线的斜率为3

444

故选：C

2.椭圆=+二=1上的一点到两个焦点的距离之和为()

48

A.2B.4C.4百D.472

【答案】D

【分析】由椭圆定义可直接求得结果.

【详解】由椭圆方程知：a=2拒;

根据椭圆定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离和为2a=4&.

故选：D.

3.倾斜角为135。的直线经过点(。+1,5)和(2a-2,3〃)，贝()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】由倾斜角和两点坐标分别表示出斜率，由此可构造方程求得。的值.

【详解】•••直线斜率k=tan135'=:=T,，“=2.

乙(X—I6Z+1I

故选：c.

4.圆/+/-4丫=0与圆(x-3)2+(y+3)2=9的公切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【分析】判断出两圆的位置关系即可得结果.

【详解】圆/+y2-4x=0即(＞2)?+/=4的圆心为(2,0),半径为4=2；

圆(x-3)2+(y+3)2=9的圆心为(3,-3),半径为々=3；

圆心距为43-2)2+(-3-0)2=而,满足卜_引=1＜府＜4+4=5,

即两圆相交，所以公切线共有2条,

故选：B.

5.双曲线C:工-己=1上的点P到左焦点的距离为9,则P到右焦点的距离为（）

1612

A.5B.1C.1或17D.17

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义可求P到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为

【详解】设双曲线的左焦点为耳，右焦点为玛，

则归用-归用|=2"=8,故|9_|尸周=8,故|「图=1或|P居|=17.

由双曲线性质知，尸到焦点距离的最小值为,-。=必寿-4=2万-4>1，

所以归闾=1舍去.

故选：D.

6.如图，四棱链的底面是边长为4的正方形，PD=8,且尸/=PC=4不，"为8c的中

点，则异面直线尸5与4/所成角的余弦值为（）

306510

【答案】A

【分析】先证明出DCLPD.以。为原点，方，皮，而分别为X、八z轴正方向建立空

间直角坐标系.用向量法求解.

【详解】由题意：D4=4,PD=8,P4=有，所以DA?+PD?=PA2，所以D4J_P。.同理：DC1PD.

所以可以以。为原点，万4比，而分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则J（4,0,0）,8（4,4,0）,四（2,4,0）,尸（0,0,8）,

所以方=（4,4,-8）,而=（-2,4,0）.

设异面直线尸8与所成角为0,则

PB-MA|-8+16+0|而

cos6

卡,网砌卜网画二716+16+64x^4+16+0

故选：A

7.方程y+l=J-2+4X表示的曲线为()

A.圆(x-2>+(y+l)2=4B.圆(x-2『+(y+1『=4的右半部分

C.0(X+2)2+(^-1)2=4D.圆(x-2『+(y+l)2=4的上半部分

【答案】D

【分析】平方后可判断曲线的形状.

【详解】因为y+1=J—/+4x20,所以(y+1)=—x2+>—1),

即(x-2)+(y+l)=4(yN-1),

故方程y+l=J-+2+4x表示的曲线为圆(x-21+(y+l)2=4的上半部分.

故选：D.

8.台风中心从M地以20km/h的速度向西北方向移动，离台风中心10akm内的地区为危险地

区，城市N在M地正西方向的80km处，则城市N处于危险地区内的时长为()

A.瓜B.2hC.V5hD.V?h

【答案】D

【分析】作出平面图形后，可求得N到"5的距离NC,结合勾股定理可求得的长度，由此可得

所求时长.

【详解】以N为圆心，10面为半径作圆，与"运动方向交于48两点,

作NCLA/B,垂足为C,则C为48中点，

•.,NC=MV-sin：=40应，AC=>JAN2-NC2=1077>:.AB=2AC=20行，

■■■城市N处于危险地区内的时长为20774-20=77(h).

故选：D.

二、多选题

22

9.已知双曲线C:二-工=1,则（）

96

A.C的焦点坐标为仅,±@B.C的渐近线方程为y=±?

C.C的虚轴长为2nD.C的离心率为妪

3

【答案】CD

【分析】根据双曲线的标准方程，求出”,b,c,然后对选项逐一判断即可.

【详解】因为双曲线则a=3,6=#,c==

则焦点坐标为仅，土店），故A错误：

焦点在歹轴的双曲线的渐近线方程为y=±fx,即卜=土池x,故B错误；

b2

双曲线虚轴长为26=2〃，故C正确;

离心率为e=£=巫，故D正确.

a3

故选:CD.

10.如图，正四面体P/8C的棱长为4,E是/C的中点，丽=2而，AG=2GB＞设

PA=a,7B=h,PC=c,则()

【答案】BC

【分析】利用向量的运算对四个选项一一计算后，即可得到答案.

【详解】因为E是4C的中点，所以抬=彳尸"+彳=+

2222

—1—1-———1-11

又BF=2FP，所以PF=gPB=^b,所以EF=PF-PE=不-那一寸.

所以|而|=如『+扣向岑

32

[16-88」2M

=J—+4+4-------+4=-------.

V9383

故A错误，B正确；

因为而=2而，所以丽-方=2（方-丽），

一1一2―►12-

所以尸G=—4+—P8=—d+—b,

3333

所以的=所_而=_/+与一＞故c正确;

632

而=而一定=；1+|3—/.故口错误.

故选：BC

11.将两圆方程G:一+＞~—2x+4y+4=0,。2:厂+V~+2x+（l-加力+（2—加）=0作差得至lj直线/的

方程，则（）

A.m£（-e,-3）u（l,+8）

B.直线/一定过点卜;，-1）

3

C.存在实数加，使两圆圆心所在直线的斜率为-二

4

D.若。>1,则过直线/上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

【答案】ABD

【分析】由圆c?方程得（》+1）2+,+号，=贮子匚口，可知/+2加_3>0,即可判断A；求

出直线恒过的定点即可判断B；利用两圆圆心坐标求斜率进而判断C；设直线/上一点

2（加〃土31+〃心2,4,利用点到直线的距离公式和勾股定理化简计算即可判断口.

【详解】圆G：x2+y2-2x+4y+4=0,即（x-炉+（y+2『=1,则6（1,-2）/=1,

11

0C2-.x+y+2x+(\-m)y+(2-m)=Q,即(x+17+,

则应严，

其中〃7?+2"?-3>0,解得“<-3或/??>1,故A正确；

将两圆方程6：/+/—2》+4〉+4=0,。2：/+/+2X+(1一机)>+(2—机)=0作差得至1」直线/的方

程：-4x+(m+3)y+加+2=0,

由一4x+(m+3)y+m+2=0,得(-4x+3y+2)+(y+1)〃？=0,

由工;3；+2=。,解得x=4,y-，所以直线/恒过定点借，一）故B正确;

/\m-\

vC,(l,-2),C2-1,^,.•_3+2=〃i+3=3,解得〃?=0,与机«-8,-3)。(1,+司矛

()c<c2-1-]44

盾，不合题意，故C错误；

=也+；〃L3,/：_4工+(m+3)y+m+2=0,m>1,

|一4一2（加+3）+加+2|加+8

则圆心G到直线/的距离为4=Ji6+（/»；3）2

716+(W+3)2

4/八，加一1\r

4+（加+3）----+加+2.

圆心G到直线I的距离为d,=I2人=1+4”+9,

"16+（加+3>2jl6+（,"+3>

又（机+8f-[16+（机+3）。=10机+39>0,得4>4，即直线/与圆G相离,

m2+4m+9[tn2+2/n-310帆+39

而诉>°'得出土,即直线,与圆a相离,

2，16+（加+3>2J

所以过直线/上任一点可作两圆的切线.

在直线/:-4x+（m+3）y+/n+2=0上任取一点p^mn+3n+m+2”

设过点P作圆G的切线的长为L，作圆G的切线的长为4，

贝U4二1Pc/fJ(皿+3：+〃,+27j+(“+2)27

=-^(m2n2+6mn2+2m2n+2mn+25n2+nr+52n-4m+52),

r，1r八P2(mn+3n+m+2,Y,w—L,m2+2m-3

0=|「l勾f=[-------------+1J+(〃---)---------

--^(m2n2+6mn2+2m2n+2mn+25n2+m2+52〃—4,"+52),

所以*=£」，即乙=4,故D正确.

故选：ABD.

12.如图，平行六面体/BCD-/£GA的体积为48近，jB=4/D,AAt=6,底面边长均

为4,且=分别为/8,CG，CQ的中点，则下列选项中不正确的有（）

A.MNHAPB.4c，平面

C.APVA.CD./P〃平面MNC

【答案】ABC

【分析】首先求出底面积，再根据棱柱的体积求出棱柱的高，依题意可得4在底面的投影在ZC

上，设4在底面的投影为o,即可说明。为ZC的中点，以。为坐标原点，建立如图所示空间直角

坐标系，利用空间向量法一一计算可得.

7T

【详解】解：因为底面为边长为4的菱形，且=所以四边形力BCD的面积为

4x4xsin—=8>/3,

3

又平行六面体的体积为48五，所以平行六面体48。-44GA的高为

需=23

因为=所以4在底面的投影在/c上，设4在底面的投影为。,

则4。=2后，又［4=6,所以CM=心；一oA：=26,又AC=4百=20A,

所以。为AC的中点，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则川26,0,0),C(-2y/3,0,0),8(0,2,0),0(0,-2,0),M(技1,0),

4(0,0,276),N「3百,0,伺,^(-373,-1,25/6),

所以丽=卜46Ip=(-573,-1,276),4C=(-2>/3,0,-2A/6),

CM=(3y/3,1,0),丽=(-36,-2,卡)，

因为丽R/lN，所以A/N、/P不平行，故A错误：

又丽•近=卜26卜卜36)+(-2)x0+卜2灰卜遥片0,所以8N与4c不垂直，故B错误;

因为万.丞=卜26卜卜56)+卜26)x2指HO,所以/P与4c不垂直，故C错误;

n-MN^O-4\/3x-y+>/6z=0

设平面MVC的法向量为〃=(x,y,z),贝1卜即<

n-CM=03月x+y=0

不妨取1=(友,-3后,1),

所以17i=&乂卜56)+卜3指卜(-1)+以26=0,所以万,几

又/尸(2平面必VC,所以ZP〃平面AWC,故D正确；

故选：ABC

三、填空题

13.古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的

长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆H+=eZ)的面积为6兀，则该椭圆离心率的一个可能

mn

值为.

【答案】叵，述，―,正(任选一个即可)

6323

【分析】根据“逼近法”可得〃皿=36,由此可确定机，”所有可能的取值，由椭圆离心率的求法可求

得所有可能的取值.

【详解】由题意知：洲〉0,；?>0,ni^n,

6兀___

由“逼近法”原理可知一二4rn•G=\[fnn,加〃=36,

兀

[w=1[m=2f/n=3[/n=4=9f/w=12[/n=18[/w=36

又叫〃wZ,则或或或或或或或；

[n=36[〃=18[n=12[〃=9[n=4[〃=3[n=2[n=1

m=1f/w=36

{〃=36或〃=1时‘椭圆离心率，=

[AH=2\tn=18

当〃=18或〃=2时'椭圆离心率,H呼

[m=3[???=12-I3-Ji

当，。或2时，椭圆离心率e=Jl-±=^；

["=12[〃=3V122

4、氏

当(m=。4或(m=，9时，椭圆离心率6=1I1-3=里.

综上所述：椭圆离心率e所有可能的取值为运，逑，虫，虫.

6323

故答案为：叵，巫,且，（任选一个即可）.

6323

14.过点力。,3）作圆M:（x-2）2+（y+l）2=4的一条切线，切点为8,则|明=.

【答案】屈

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长|/邳=五『二3可求得结果.

【详解】由圆的方程知：圆心河（2,-1）,半径r=2,

■：\AM\=J（l_2『+（3+1）2=V17,:.\AB\=y/\AM\2-r2=713.

故答案为：\/13.

15.i|C:x2+/-2x+4y+l=0,关于直线/：x-y+1=0对称的圆C'的标准方程为.

【答案】（x+iy+y2=4

【分析】由圆的一般方程可确定圆心C和半径/，设对称圆的圆心C'（db）,利用cc」/和CC'中

点在/上可构造方程组求得C'坐标，由此可得结果.

【详解】由圆C方程可得：圆心C（l,-2）,半径帽=；j4+16—4=2,

b+2।

----=7［a-—1

设圆心c关于/的对称点c'SM，则、:I，解得：u=o，即C'（T°），

------+1=01一

2---2

..•圆C的标准方程为：（x+l『+y2=4.

故答案为：（X+1）2+/=4.

四、双空题

16.若空间中有三点4（1,0,-1）,5（0/，I），。。，2,0）,则A到直线8c的距离为；点

P（l,2,3）到平面ABC的距离为.

［答案］叵皿

37

【分析】利用空间向量瓦I前的夹角去求A到直线8c的距离；利用公式去求P到平面N8C的距

离

【详解】由2。,0,-1）,8（0,1,1）,41,2,0）可得加=（1,—1,一2）,而=（1,1,—1）

BABC1-1+2_V2

则cos（8/,8C）=

网函一限6-3

又何，就)e[0,7t],则sin(瓦i,前»,

则A到直线BC的距离为|朗•sin(而,前)=逐x(=斗^

设平面Z8C的一个法向量为〃=(x,y,z)

n-BA=Ox-y-2z=0

则即

n-BC=Ox+y-z=O

令x=3,则1=（3,-1,2）,又苏=（0,-2,-4）

PAn2-83V14

则点P(l,2,3)到平面ABC的距离为

J9+1+47

3V14

故答案为：—

37

五、解答题

17.(1)求两条平行直线4：12x一5歹+加=0与/2：12工一5^+"?+13=0间的距离；

(2)若直线ax+y=0与直线4亦+。5+“-2=0平行，求。的值.

【答案】(1)1;(2)a=-2

【分析】(1)利用两平行直线间的距离公式直接求解；(2)根据两直线平行的性质即可.

、.|C,-Cd\m-m-\2\

【详解】根据平行线间的距离公式d=」十]，得d=』/:一=1.

>JA2+B2V122+52

若a=0,4a=0,/=0不满足直线方程一般式的定义，所以“片0,

4

因为两直线平行，所以-a=—-，解得。=2或。=-2,

a

经检验a=2时，两直线重合，不满足题意，。=-2时，两直线平行，满足题意.

18.已知圆M经过点Z(-3,-l),8(-6,8),C(l,l).

⑴求圆”的标准方程；

(2)过点P(2,3)向圆〃作切线，求切线方程.

【答案】⑴(x+3『+(y-4)z=25

(2)x=2ngl2x-5y-9=0

【分析】(1)利用待定系数法去求圆M的标准方程；

(2)利用几何法去求过点P(2,3)的圆M的切线方程即可解决.

【详解】(1)设圆M的方程为/+/+6+砌+尸=0

9+1-3O-E+尸=0。=6

则<36+64—6D+8E+尸=0,解之得,E=-8

l+l+Q+E+F=0[F=0

贝!I圆A/的方程为/+y2+6x-8y=0

则圆M的标准方程为(x+3f+(y-4)2=25

(2)圆M的圆心也(-3,4),半径r=5

当过点尸(2,3)的直线斜率不存在时直线方程为x=2,与圆A/相切，符合题意；

当过点尸(2,3)的直线斜率存在时直线方程可设为沙=耳》-2)+3

则卜5：+3；4|=5,解之得

41+二5

则y=?(x-2)+3,整理得12x-5y-9=0

故过点尸(2,3)的圆”的切线方程为、=2或您-5>-9=0

19.在长方体/BCD-44GA中，底面/8CD是边长为2的正方形，的=3,%N分别是/。,8鼻

的中点.

⑴证明：MN0平面CCQQ.

(2)求BD,与平面CMN所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵皿

119

【分析】以。为原点，而，反，西分别为X、八Z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法

证明平面CG。。；

（2）利用向量法求8"与平面C"N所成角的正弦值.

【详解】（1）由题意可知，以。为原点，刀，反，西分别为X、门z轴正方向建立空间直角坐标系.

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,R（0,0,3）,4（2,0,3）,5,（2,2,3）,C,（0,2,3）.

因为M,N分别是AD,BD］的中点，所以M（1,0,0）,入（1,14）.所以砺=（0,1,|）

在长方体力88-44GA中，房=（2,0,0）为平面CCQ。的一个法向量.

因为丽而=0+0+0=0,且MVZ平面CCQ。，

所以脑VZ7平面CCQQ.

(2)西=(-2,-2,3),由=(1,-2,0).

n-MN=0+y+^z=0

设万=（x,%z）为平面CWN的一个法向量，则，

nCM=x-2y+0=0

2』,[

不妨设y=i,则〃=

设3"与平面C”N所成角为。，则sin0=|cos（8R,〃|=瑞京|-4-2-2|24>/17

J4+4+9xJ4+1TJ1*9

即BD、与平面CMN所成角的正弦值为生亘.

119

20.如图所示，在直三棱柱18C-中，GC=C8=。=2,/C，8C,D,E分别为棱GC,B£

的中点.

(1)证明：平面ZC£_L平面48。；

(2)求二面角A-A,D-B的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵画

6

【分析】(1)(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)证明：如图以C为坐标原点，CA.CB、CG分为X、＞、z轴，建立空间直角坐标

系，

则C(0,0,0),42,0,0),8(0,2,0),4(2,0,2),£(0,1,2),D(0,0,l),

所以画=(2,0,0),3=(0,2,0),1£=(-2,1,2),西=(2,0,1),丽=(0,2,7),

—..[in-DA,=0f2x+z=0一/.

设平面4瓦)的法向量为"7=x,y,z,贝IJ,即.八，令x=7则机=一1,1,2,

in-DB=0[2y-z=0

-,、iiCA=0[2a=0-,、

设平面NCE的法向量为"=a,瓦c,贝I_，即.八.c，令6=2则〃=0,2,-1,

元.4E=0(~2a+b+2c=0

因为"?•”=-1x0+1x2+2x(—1)=0,所以"?_L”,

所以平面/以工平面/田。.

(2)解：由(I)知平面/田。的法向量为加=(-1,1,2),

显然平面力4。的法向量可以为=(0,2,0),

m-CB2_N/6

所以cos（〃?,屈）=

2

所以sin(m,C8)=^1-cos(rn,CB^=,所以二面角A-AtD-B的正弦值为.

21.已知椭圆的离心率为左、右焦点分别为耳，玛，过耳且垂直于％轴的

直线被椭圆C所截得的弦长为6.

(1)求椭圆。的方程；

(2)P为第一象限内椭圆C上一点，直线尸6,P巴与直线x=8分别交于48两点，记口己48和

△尸耳鸟的面积分别为E，Sz,若去=5,求P的坐标.

22

【答案】(咤+$1

⑵(3,孚)

【分析】(1)利用离心率和弦长公式即可联立求解；(2)利用尸(%,%)的坐标，根据三点共线求出48

两点的坐标，根据面积公式即可求出点P的坐标.

【详解】(1)因为离心率为］1，所以£c=；1,即/=公2,

又因为所以为=3/,

x2y2一

--+--=1A-

联立/〃，解得y=土匕，

x=-c

2bl

所以过£且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为=6,

a=4

所以由忖=4。2解得"=2技所以椭圆C的方程为反■+片=1.

1612

b2=3c2c=2

(2)设P(x°,%),/(8,yJ,8(8,%),

由⑴可知，6(-2,0),玛(2,0),

因为用P,4共线，所以与「=脑，即/=肝，解得必=色，

又因为玛,P,8共线，所以、=心，即士=春，解得力=华，

X。Z。玉）Z

所以£=：X（%_必）X（8-X。）=2£（8-：。）一,

2V-4

s?=~x^i^2xy（）=2%,

2

2y0（8-x0）

所以E二/2一4（8一3）2二5,

S?2%/2一4

整理得x：+4%—21=0,解得%=3或%=-7（舍），

将X。=3代入椭圆方程得％=孚，或％=_浮（舍），

所以P的坐标为（3,亭）.

22.已知双曲线C:0-/=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为6（-。，0）,£（c,0）,且与桶圆

1+有相同的焦点，点匕到直线反+叩=0的距离为2啦.

2516

（1）求C的标