湖北省武汉市常青联合体2022-2023学年高二年级上册期末联考数学试题（含解析）

武汉市常青联合体2022-2023学年高二上学期期末联考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线乙:氐+y+3=O的倾斜角。=（）

A.30B.60C.120D.150

22

2.椭圆土+匕=1的焦点坐标为（）

43

A.（±5,0）B.（±1,0）C.（±75,0）D.（±77,0）

3.在长方体中，设==为棱B4的中点，则向量

DE可用向量。力,c表示为（）

171171

A.ClH—bH—CB.-u—b—c

2222

「117

C.—a——b-cD.—a+Z7—c

222

4.若直线尤+（l+，w）y-2=0和直线如+2>+4=。平行，则小的值为（）

2

A.1B.-2C.1或一2D.——

3

5.设圆C]:尤2+—2x+4y=4,圆C?:尤~+y?+6x—8y=。，则圆G，C?的公切线有

（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

6.若直线y=f+万与曲线尤=尼手有两个公共点，则6的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[-1,qC.口,@D.（1,72）

22

7.已知耳、尸2是椭圆C：?+方=1（。〉。〉0）的两个焦点，尸为椭圆。上一点，且

助，枕.若△尸与耳的面积为9,则实数b的值为（）

A.3B.4C.5D.6

8.已知点/>为直线y=%+l上的一点，加W分别为圆6：（冗-4）2+（丁-1）2=4与圆

G：d+（y-4）2=i上的点，则|9|+|尸N|的最小值为（）

A.5B.6C.2D.1

二、多选题

9.已知直线/:J§x+y-2=0,则（）

A.倾斜角为60°B.恒过点（0,2）

C.直线/的方向向量为（1,-石）D.在x轴上的截距为2

22

10.已知方程」一+^^=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）

6-mm-2

A.当机>6或相<2时，曲线C是双曲线

B.当2<6时，曲线C是椭圆

c.若曲线c是焦点在y轴上的椭圆，则〃>6

D.若曲线C是焦点在X轴上的椭圆，则2〈机<4

11.过点尸（2,1）作圆。：x?+y2=i的切线，切点分别为A,8,则下列说法正确的是（）

A.照=百

B.四边形的外接圆方程为Y+y2=2x+y

C.直线48方程为y=-2x+l

Q

D.三角形的面积为不

12.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直

角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点尸（3,0）,椭圆的

短轴与半圆的直径重合.若直线y=r（r>0）与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列

结论正确的是（）

A.椭圆的离心率是正

2

B.线段A3长度的取值范围是（。,3+3五）

C.AAB/的面积存在最大值

D...AO3的周长存在最大值

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.已知。=(1,1,0),6=(2,1,1),则向量a与b的夹角为.

14.双曲线/一］=1的渐近线方程为.

15.若直线依一〉+1-2左=。与圆/+/=9分另IJ交于M、N两点.则弦MN长的最小值

为.

22

16.已知双曲线方程为1-当=1,(。＞。,6＞。)，两焦点分别为K,直线A3经过

ab

尸2与双曲线交于A，8两点，其中AB,A£且2|A同=|每同，则此双曲线离心率为.

四、问答题

17.ABC的三个顶点分别是4(-3,0),3(2,1),C(-2,3).

(1)求BC边的垂直平分线DE所在直线方程；

⑵求.,ABC内8c边上中线AE＞方程.

18.已知圆心为C(0,3),且经过点(0,2)的圆.

⑴求此圆C的方程；

(2)直线/：y=ar与圆C相交于A、B两点.若ABC为等边三角形，求直线/的方程.

19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,PD=DC=\,M为BC

的中点，且

(1)求线段BC的长度;

(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

22

20.已知椭圆C：A+七=1(。>6>0)的焦距为6,椭圆上一点与两焦点构成的三角形

cib

周长为16.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/与C交于A,B两点，且线段的中点坐标为求直线/的方程.

21.如图，直三棱柱ABC-A百G，AB^BC.

B

(1)证明：BC1AB；

(2)设D为AC的中点，AA,=AB=BC=2,求二面角A—3D—C的余弦值.

22

22.已知椭圆宗+方=l(a>b>0)的离心率为—TO)为其左焦点，过厂的直

线/与椭圆交于A,B两点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)试求.Q4B面积的最大值以及此时直线/的方程.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据题意求出直线的斜率，进而可求解倾斜角.

【详解】由题，将直线方程转化为斜截式方程可得>-3,

所以直线的斜率左=tana=-由,

因为0<a<180，所以a=120,

故选:C.

2.B

【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标公式，代入计算即可得到结果.

22

【详解】因为椭圆3+q=l,则0=万万="与=1，

则焦点坐标为（±1,0）

故选:B.

3.D

【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.

【详解】如图所示，BE=^a,DB=AB-AD=b-c,

DE=DB+BE=b—c+—a=—a+b—c

22

故选:D.

4.A

AB.C.

【分析】由题知两直线平行，直接列出才=广wU（4R°，B2H。，C2H0）即可求得加

⑸£,25

【详解】直线％+（1+根）丁一2=0和直线mx+2y+4=0平行,

lx2=m(l+m],

可得，得机=1.

根w—2

故选：A.

答案第1页，共11页

【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础

题.

5.B

【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆

的位置关系，从而得解.

【详解】由题意，得圆£：(x-行+(y+2)2=3?,圆心£(1,-2),圆G：(x+3)2+(y-町=52,

圆心。2(-3,4),.F-BcICCkZ万＜5+3,.♦.G与C2相交，有2条公切线.

故选：B.

6.C

【分析】联立方程，等价转化为二次方程的根，列得不等式组，可得答案.

【详解】将〉=一'+》代入》可得尤=J_(_x+b)2,

由题意，等价于2/一2法+/-1=0存在两个大于等于零小于等于1且不相等的实数根,

A=4Z?2-8（Z?2-l）>0

&2-1>0

则-2bC

------->0

4

2-2Z?+Z?2-l>0

故选：C.

7.A

【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.

【详解】由题意，|尸制+|尸用=2a,SPF]F2=l.|Pf；|.|p^|=9,即归外|尸周=18,

附「+|尸欧=4,

整理可得(|尸闻+归耳|)2-2|尸7讣归耳|=402,4/-36=4°2,则6-/=9,解得/=3.

故选：A.

8.C

[分析】分别求得圆C1,C2的圆心坐标和半径，求得IGC2I=5,结合IPMI+1PN但5-4-4，

即可求解.

【详解】如图所示,由圆G：O-4)2+(y-l)2=4,可得圆心G(4,l),半径为4=2,

答案第2页，共11页

圆C2：V+(y-4)2=l,可得圆心C/0,4),半径为马=1,

可得圆心距|CC|=J"一ON+(1—钎=5,

所以|9|+|PN|25-—々=2,当监N，GC，尸共线时，取得最小值,

故1PMi+|PN|的最小值为2.

9.BC

【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A,点的坐标代入直线方程可判断B,根据

直线斜率判断C,求出直线在x轴上截距判断D.

【详解】由/：A/5X+y—2=0可得y=—A/5X+2,

即直线斜率左=-6,所以倾斜角为120。，故A错误；

点(。，2)代入直线方程，有x0+2-2=0成立，故B正确；

因为直线/斜率％=-6，而(1,-G)与原点连线斜率也是-石，与直线平行，所以(1,-右)是

直线的一个方向向量，故C正确；

令y=0,可得尤=力=2叵，即在x轴上的截距为亚，故D错误.

V333

故选：BC

10.AD

【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的机的范围

即可.

【详解】对于A,若曲线C为双曲线，则(6-解得：相>6或〃z<2,A正确；

答案第3页，共11页

6-m>0

对于B,若曲线C为椭圆，则2〉0,解得：2<m<4或4<机<6,B错误；

6-m^m-2

对于C,若曲线。是焦点在y轴上的椭圆，则m-2>6-帆>0,解得：4<m<6,C错误;

对于D,若曲线。是焦点在1轴上的椭圆，则6-2>。，解得：2<m<4,D正确.

故选：AD.

11.BCD

【分析】求出|。“，由勾股定理求解|尸川，即可判断选项A；

利用尸。为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B；利用求出直线A3

的斜率，即可判断选项C；求出直线PO和的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，

即可判断选项D.

【详解】对于A,由题意可得：|。尸|="币=6,由勾股定理可得，|PA|=7（A/5）2-12=2,

故选项A错误；

对于B,由题意知，PBLOB,则尸。为所求圆的直径，所以线段尸。的中点为（1，；）,半径

为白，则所求圆的方程为（Al）、—；）？],化为一般方程为犬+尸=2芯+>,故选项B

正确；

对于C,由题意，其中一个切点的坐标为（0,1）,不妨设为点B,则又k°p=；,

所以的8=-2,所以直线A3的方程为y=-2x+l,故选项C正确；

对于D,因为ABLOP,且直线OP的方程为y=直线A3的方程为>=-2x+l联立

rc,[2

y=-2x+1x=—

方程组1,解得:5，所以两条直线的交点坐标为O2Q1，z）,则

Iy=—2x（^=5155

忸*序丁）竽,1印=半,

故的面积为Lx空*拽=",所以,2钻的面积为故选项D正确，

25555

故选：BCD.

12.ABC

【分析】求得半圆的方程和半椭圆的方程判断AB选项，分别求得直线与半圆和半椭圆的交

答案第4页，共11页

点，利用面积公式判断选项C,由.Q4B的周长为巾）=|3+|冲+|明求解判断•

【详解】解：由题意得半圆的方程为x2+y2=9（x<0）,

22

设半椭圆的方程为a+/=l（a>b>0,%20）,

又b=c=3,贝IQ=3A/2,

22

则半椭圆的方程为土+匕=1（x20）,

189v7

则椭圆的离心率e=3=交，故A正确；

3V22

直线y=f«>0）与半圆交于点A,与半椭圆交于点8,

则线段AB长度的取值范围是（0,3+30）；

不妨设Bgt）

则由其+r=9（处0）,可得芭=一收不；

22

由今+1=1（彳刈，可得尤2=88-2产;

则S叱=；（'18_2产+J9T2,=与1~9一/J,

<0+1（内可+产4应+1）（当且仅当仁。血时等号成立）,

X-y

224/

故C正确；

OAB的周长为/⑺=|OA|+|。@+1A却=3+（应+1）的-产+J18-产,

则/⑺在（0,3）上单调递减,

则的周长不存在最大值.故D错误

故选：ABC

n

13,-/30°

6

【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.

/7、a-b2+1邛…〉.

【详解】……丽飞"”拉+1”

故答案为：—

O

答案第5页，共11页

14.y=±^~x

2

【分析】根据双曲线方程得到焦点在y轴，4=1,b=6,即可得到渐近线方程.

【详解】双曲线y2—1=1,焦点在y轴，61=1,b=叵,

渐近线方程为y=±丰X.

故答案为：y=±^-x

2

15.4

【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.

【详解】由圆Y+y2=9可得圆心0(0,0),半径为3,

直线Ax—y+1-2左=0,即左(x—2)—y+1=0,

直线过定点尸(2』)，

又因为22+仔＜9,

所以点在圆的内部，

当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时

此时=2次-|0叶=279-(22+12)=4,

故答案为：4.

16.姮J后

33

【分析】连接明,设|伍|="利用双曲线的定义得到国目=2%+2a,国匈=小+2«,利用直

角△△电和直角八4耳片构造a,c的关系，即可求出答案

【详解】连接84,

设|伍|="则|取3|=2%,

由双曲线的定义可得闺9=K@+2a=2相+2a,闺=优川+2]=根+2々,

答案第6页，共11页

222

在直角中，闺5A『=忸砰，gp（2a+/n）+（3/?z）=（2/zz+2a）,

2

化简可得加=]4,

在直角△△时中，闺入「+®4「=闺用2,即（2。+〃）+加=（2C）2,

将根=1a代入上式可得（2a+ga]+（ga]=（2c）2整理可得，=[■,

所以e=£=姮，

a3

故答案为：姮

3

17.⑴2x—y+2=0

(2)2x-3y+6=0(-3<x<0)

【分析】（1）先得到线段3C的中点，再利用垂直平分线得到心七=2,接着用点斜式即可求

解；

（2）利用截距式即可得到中线AD的方程，注意加上对应范围

1-31

【详解】（1）由3（2,1）,C（—2,3）可得线段8c的中点为（0,2）,限=百百=-],

因为DE是3C边的垂直平分线，所以左桃=2,

则。E所在直线方程：y-2=2x即2无7+2=0

（2）由（1）可得线段BC的中点为（0,2）,

故BC边上中线AO方程为己+5=1即2x-3y+6=0,

所以ABC内BC边上中线AO方程：2x-3y+6=0（—3<x<0）

18.（l）x2+（y-3）2=3；

（2）y=A/3X或y=-A/3X.

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）根据等边三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为圆心为C（0,3）,

答案第7页，共11页

所以圆C的方程设为d+（y_3）2=r2,该圆过（3,2）,

所以有（0『+（2-3）2=/=产=3,所以圆C的方程为炉+（广3f=3；

（2）由（1）可知该圆的半径为心

因为ABC为等边三角形，且边长为由,

3

所以该等边三角形的高为

2

a-3|32/-

所以圆心C到直线/：y=ox的距离为:，即/,/、2=5=a=3—十,

2"a（T2

所以直线/的方程为y=6彳或y=-A/3X

19.⑴0

⑵现

6

【分析】（1）根据题意，以点。为坐标原点，DA.DC、。尸所在直线分别为X、y、Z轴建立

如图空间直角坐标系。-孙z,设3c=20,由尸3_LAM,即可得到。，从而得到结果；

（2）由（1）中的结论，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式，代入计算即可得到结果.

不妨以点。为坐标原点，DA,DC、。尸所在直线分别为"八z轴建立如图空间直角坐标系

D-xyz,

设3c=2a,则0（0,0,0）、P（0,0,l）、C（0,l,0）,矶2a,1,0）、M（a,l,0）,A（2a,0,0）,则

尸3=(2a,1,-1),AM=(-a,tO),

5

VPB±AM,贝UPHAM=-2/+1=0，解得。=，，故3c=2a=0;

2

答案第8页，共11页

(2)PA=(0,O,-1)

设平面P3c的法向量为〃二(%,%4),=(-72,0,0),BP=(-V2,-1,1),

n-BC=-y/2x=0/、

由v[〃.吁-丛}-…二。’取％"可得L)，

cos<PA">=7^=-如，直线B4与平面P3C所成角正弦值为亚

V3-V266

2°・⑴上+卷=1；

(2)4x+5y—2=0.

【分析】(1)根据椭圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解即可;

(2)运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解即可.

【详解】(1)设C的焦距为2c(c>0),2c=6nc=3,

因为椭圆上的点到两焦点距离之和为2a,

而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.

所以2Q+2c=16=>Q=5,

所以Q=5,c=3,所以/;2=/—，=16,

所以C的方程为1+1=1；

2516

(2)设4(%,必),B(X2，y2),

2

I'A

代入椭圆方程得“126

X、22

)+16

125

两式相减可得(为+%)(%%)=_(%+%)(%-%),

2516

即5+%)5-%)=16

(玉+工2)(元1一%2)25,

由点为线段A3的中点，

/日12

得%+%=万，％+%=1'

答案第9页，共11页

H一％16x+1654

则/的斜率％=--=-^7X-A—^=-^7X7=-7

X]-x225+y22545

14

所以/的方程为丁-5=-二

即4x+5y-2=0.

【点睛】关键点睛：运用点差法是解题的关键.

21.（1）证明见解析

⑵-;

【分析】（1）根据BCL8耳与BCLAB证明平面AAB片.

（2）以B为原点，BC,3ABq分别为x,y,z非负半轴建立直角坐标是，用空间向量法解决.

【详解】（1）•直三棱柱ABC-AB©,

BB,1平面ABC,并且BCu平面ABC

BC1BB、,

又•，BC_LAB|,JLAB,nBB,=Bt,4耳,2岗u平面

:.3CJ_平面AAB4,

又「45（=平面442⑻，

:.BC±AB.

（2）BC,BA,84两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图，则A（0,2,0）,

所以AC的中点1,1）,则应＞=（1,1,1）,前=（020）,BC=（2,0,0）,

答案第10页，共11页

/、m-BD=x+y+z=0/、

设平面AB£)的一个法向量加=(x,y,z),则｛',可取m=(1,0,-1),

m・BA=2y=0

/、n•BD=a+b+c=0/、

设平面BDC的一个法向量〃=(a,8c),则｛，可取“=(0,1,T),