2022-2023年浙江省杭州市重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023年浙江省杭州市重点中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在下列实数中，属于无理数的是（）

A./B.-0.2023C.2023D.V-M23

2.芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到

广泛的使用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000209kg,将0.00000209用科学记数法表示

为（）

A.2.09x10-8B.0.209x10~7C.2.09x10-6D.20.9x10-5

3.如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的左视△

主视方向

C.

4.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（）

A.9B.8C.7D.6

5.设无，y,c为实数，则下列说法正确的是（）

A.若%>y,则％+3c>y-2cB.若%>y,贝！J%c>yc

C.若%>y,贝ij%c2>yc2D.若套>为,则％>y

6.设4（%i，yi）B（%2，y2）是反比例函数y=:图象上的两点.若%iv%2V,则力与先之间的关

系是（）

A.y2>71>0B.>y2>0C.y1<y2<0D.丫2<%<0

7.如图，RtAABC中，乙4cB=90。，NA=30。，CDlAB^D,CE是△ABC的中线.要说明

“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（）

A.△ACE^ihBCEB.△BCE和△ABC

C.△COE和△BCDD.AACO和△"£>

8.仇章算术少是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重

一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重

量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（）

|5x+6y=1f6x+5y=1

(5%—y=6y—x(5x+y=6y+x

C(5x+6y=1f6x+5y=1

'[4x+y=5y+x(4x—y=5y—x

9.如图，在圆内接正六边形4BCOE尸中，BF,80分别交AC于点G,H,

若该圆的半径为12,则线段GH的长为（）

A.6

B.4y/~l

C.5c

D.8

10.已知二次函数y=aQ—k）（x+k-6）,当*时，函数值为当x=X2时，函数值

为先，若|与一3|<|孙一3|,则下列结论正确的是（）

A.yx-y2<0B.矶月-y2）<0C.+y2>0D.a（y1+y2）>0

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.计算：3°=；.

12.分解因式：2m2-18=.

13.在一个布袋里放有1个白球和12个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，

记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.则两次摸出的球都是红球的概率是

14.有一个圆心角为120。，半径长为9cm的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的

底面圆的半径是cm.

15.如图，P4,PB分别与半径为3的。。相切于点A,B,直

线C。分别交PA,PB于点C,D,并切O。于点E,当PO=6时,

△PCD的周长为.

16.如图，在矩形4BCD中，点E是4。的中点，连接BE,将△4BE

沿着BE翻折得到△FBE,EF交BC于点、H,延长BF,DC相交于点

G,若DG=8,BC=12,贝MB=,EH=.

三、解答题(本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题6.0分)

以下是圆圆同学化简爵-3的解答过程:

2a

解：原式=(a+3)(a-3)口=2a-a+3=a+3

圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.

18.(本小题8.0分)

某校为了解九年级各班男生引体向上情况，随机抽取两个班各6名同学进行测试，其有效次数

分别为：九(1)班：6,8,8,8,8,10；九(3)班：10,4,8,6,10,10.现从平均数、众

数、中位数、方差对两个班做如下分析:

平均数众数中位数方差

九⑴班8884

九(3)班8abC

(1)求a,b,c的值;

(2)如果引体向上有效次数10次的成绩为满分，请以这12名同学的成绩为样本，估计该校九年

级240名男生引体向上成绩达到满分的人数.

19.(本小题8.0分)

如图，在等边△ABC中，D,E分别是4B,上的点，且BD=CE,连接4E,CD交于点F.

⑴求证：AACENXCBD；

(2)求人1FD的正弦值.

20.(本小题10.0分)

己知一次函数为=kx+b与反比例函数丫2=/，

(1)若函数丫1与函数丫2的图象交于点4(3,2),点8(-1,£1),

①求一次函数和反比例函数的表达式；

②当月>刈时，直接写出工的取值范围；

(2)若点C(3,k)在函数yi的图象上，求函数%的图象经过的定点.

21.(本小题10.0分)

如图，以△ABC的一边4B为直径作。0,。。与BC边的交点D恰好为BC的中点，DELAC.

(1)求证：DE为圆。的切线；

(2)连接OC交DE于点F,若cos乙4BC=],求黑的值.

orL

22.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，设二次函数y1=产一3ax+l(a是常数)

(1)当a=2时，求函数yi图象的顶点坐标和对称轴：

(2)若函数力图象经过点(l,p),(-1,<?),求证:pq<4：

(3)若a<0,y2=x—3a+1,y1,y?的图象交于点。％一)(*2，n),(不<x2),设(如乳)为光图

象上一点(%3**2)，求*3一X1的值.

23.(本小题12.0分)

正方形4BCD的边长为1,连接BD,过点C作BD的平行线CE,BE与CD相交于点尸，过点。作

DH1BE.

(1)求ABDE的面积；

(2)当NCBE=15。时，求BE的长；

(3)若4EFC的面积记为S],△。尸，的面积记为S2,△OB尸的面积记为S3,△BFC的面积记为S4,

第=k,请用k的代数式表示稣的值.

CD33=4

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：4/是分数，属于有理数，故不符合题意；

B.-0.2023是有限小数，属于有理数，故不符合题意；

C.2023是整数，属于有理数，故不符合题意；

是无理数，故符合题意；

故选：D.

根据无理数的定义逐项分析即可.

本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：0.00000209=2.09X10-6,

故选：C.

将一个数表示为ax10,的形式，其中lW|a|<10,n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据

此即可得出答案.

本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：从左面看，底层是几个矩形，上层是一个等腰三角形，

故选：C.

根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图.

4.【答案】B

【解析】解：设多边形的边数是n,根据题意得，

(n-2)-180°=3x360°,

解得n=8,

•••这个多边形为八边形.

故选:B.

根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n-2)，180。，外角和等于360。，然后列方程求

解即可.

本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”

不能用阿拉伯数字写.

5.【答案】D

【解析】解：力、若x>y,则x+3c>y+3c,故A不符合题意；

B、若x>y,c>0,贝ijxc>yc,故8不符合题意；

C、若x>y,c*0,贝He2>ye2,故C不符合题意；

D、若与>3,则一>y,故。符合题意；

故选：D.

根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答.

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意，反比例函数y=：,

故函数在其定义域内为单调减函数，

故当工1<x2<0时，

有0>丫1>为；

故选：D.

根据已知条件可知，函数在x<0时为单调递减函数，且函数值均小于0,故结合已知题意，可得

0>Yi>72-

本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握.

7.【答案】D

【解析】解：4、在RtAABC中，44cB=90。，44=30。，

则ZB=90°-30°=60°,

vZ.ACB=90°,CE是AABC的中线,

1

・・・CE="B=BE,

•・•△CEB为等边三角形，

••.△ACE的三个角和△BCE的三个角都不相等，不能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”

是假命题，不符合题意；

B、4BCE的三个角和△ABC的三个角都不相等，不能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全

等”是假命题，不符合题意；

C、•••△CEB为等边三角形，CDJ.4B,

.-.△CDE-AFCD,不能说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，不符合题意；

£＞、•••CDLAB,

•••^ADC=乙BDC=90°,

^ACD=60°=4B,乙BCD=30°=NA,

但△4CD和ABCD不全等，说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，符合题意：

故选：D.

根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，掌握全等三角形的判定定理、等边三角形的判定定理、直角三角

形的性质是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：由题意可得，

f5x+6y=1

(4x+y=5y+x)

故选：C.

根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题.

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组.

9.【答案】B

【解析】解：•••在圆内接正六边形4BCDEF中，

AB=AF=BC=CD,

/-BAF=ABC=4BCD=120°,

/.AFB=乙ABF=4BAC=/.ACB=乙CBD=4BDC=30°,

AG=BG,BH=CH,

Z.GBH=Z.BGH=Z.BHG=60°,

AG=GH=BG=BH=CH,

连接04OB交AC于N,

D

A

贝|JOB_L4C,AAOB=60°,

vOA=12,

...AN=?。4=6仁，

AC=2AN=12C，

•••GH=AC=4「，

故选：B.

根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论.

本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题关

键.

10.【答案】B

【解析】解：由题知，

抛物线与x轴的交点坐标为：（k,0）,（-fc+6,0）.

所以抛物线的对称轴为直线x=3.

又出—3|＜\x2—3|,

即表示点Qi，y。比点（巧,力）离对称轴更近.

当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，则丫1＜、2，故。（乃-＞2）＜。；

当a＜0时，抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，则为＞及，故以%-丫2）＜。・

综上所述a（y]-丫2）＜。；

故选:B.

根据二次函数表达式的特征，可得出它的对称轴为直线X=3,再根据（Xi，乃），。2f2）离对称轴

的远近，结合开口方向分类讨论即可.

本题考查了二次函数与不等式的关系，以及一定的推理能力，能由|与-3|<|x2-3|得出点离对

称轴的远近，以及用开口方向分类讨论是解题的关键.

11.【答案】12

【解析】解：3°=1；，^=2.

故答案为：112.

根据零指数累的运算方法，以及二次根式的性质和化简方法，逐个计算即可.

此题主要考查了零指数塞的运算方法，以及二次根式的性质和化简，解答此题的关键是要明确化

简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开

得尽方的因数(或因式)都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指

数都小于根指数2.

12.【答案】2(7n+3)(m-3)

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取2,再利用平方差公式分解即可.

解：原式=2(??12一9)

—2(m+3)(m—3).

故答案为：2(m+3)(m—3).

13.【答案】《

【解析】解：根据题意画图如下:

•••共有9种情况，两次摸出的球都是红球的有4种情况,

•••两次摸出的球都是红球的概率是小

故答案为:

根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案.

此题考查的是树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概

率=所求情况数与总情况数之比.

14.【答案】3

【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径是rem,

根据题意得27•r=乌黑，

rloU

解得r=3,

即这个圆锥的底面圆的半径是3cn.

故答案为3.

这个圆锥的底面圆的半径是rem,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底

面的周长和弧长公式得到2兀-r=卫臀，然后解关于r的方程即可.

loU

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

15.【答案】6>/-3

【解析】解：连接。4、0B,如图：

•••PA.PB分另IJ与半径为3的。。相切于点4、B,

•••^PAO=乙PBO=90°,OA=OB=3,

•••P0=6,

PA=PB=V62-32=3<3，

•••CD切。。于E,

DB=DE,CE—CA,

•••△PCD的周长为PD+CD+PC

=PD+(DE+CE)+PC

=(PD+DB)+(^CA+PC)

=PB+PA

=30+30

=6V-3>

故答案为：6A/-3-

连接。力、OB,根据P4、PB分别与半径为3的。。相切于点4、B,得NPAO=4PB。=90。，0A=

OB=3,而P。=5,即有P4=PB=4,由切线长定理得08=DE,CE=CA,故4PCO的周长

为PD+CD+PC=(PD+DB)+(C4+PC)=PB+PA=8.

本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理、三角形周长等，解题的关键是掌握圆的切线性质及切线

长定理.

16.【答案】4.5名

16

【解析】解：连接EG,?....................T

•••四边形ZBCD是矩形，：//''、、、

NA==90°,BC=AD=12,AB=DC,4D//BC,六

E是中点，、G

••DE—AE-14/)=6,

由折叠的性质得：/-BFE=Z.A=90°,BF=AB,EF=AE=6,/.AEB=/.FEB,

vDE—EF,EG=EG,

・•・Rt△EFGwRt△EDG(HL),

,FG=DG=8,

设49=x,

:.BF=%,CG=8—%,

:.BG=%+8,

v5G2=j?C24-CG2,

A(X+8)2=122+(8-X)2,

•*,x=4.5,

:，AB=4.5,

-AD//BC,

:.Z-AEB=乙HBE,

•・・/.AEB=乙BEH,

・・・乙HBE=乙BEH,

・•・EH=BH,

设EH=y,

・•・FH=6—y,

vBH2=BF2+FH2,

.・.y2=4.52-+-(6-y)2,

75

EH=登.

16

故答案为：4.5,登.

lo

连接EG,由矩形的性质得到NA=4。=90°,BC=AD=12,AB=DC,由线段中点定义得到DE=

AE=^AD=6,由折叠的性质得：4BFE=Z71=90°,BF=4B,E尸=AE=6,^AEB=&FEB,

由Rtz\EFG三RtAEDG(HL),推出FG=DG=8,设4B=x,由勾股定理得到(x+8>=122+

(8-x)2,求出％=4.5,得到4B的长；由4D〃BC,推出乙4EB=/"BE,因此NHBE=/BE”,

推出EH=BH,设EH=y,由勾股定理得到y?=4.5?+(6-丫>，求出y=§,即可得到EH=§.

lo16

本题考查折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,关键是由Rt△EFG=Rt△

EDG(HL),得到FG=DG=8；由勾股定理列出关于4B,EH的方程.

17.【答案】解：有错误，正确过程如下：

厚式=...---------

■人(。+3)(。-3)a-3

2aa+3

=(a+3)(a-3)-(a+3)(a—3)

2a—a-3

=(a+3)(a-3)

_a_3

=(a+3)(a-3)

_1

a+3

【解析】按照分式减法的运算法则进行计算并判断即可.

本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握.

18.【答案】解：(1)将九(3)班的测试数据从小到大排列为4,6,8,10,10,10,

成绩最多的是10,所以众数a=10,

处在第3位和第4位的数是8和10,因此中位数b=咿=9,

方差c=1x[(4-8)2+(6-8)2+(8-8)2+3x(10-8)2]=y；

•••a=10,6=9,。=争

⑵240x岩=80(人)，

答：估计该校九年级240名男生引体向上成绩达到满分的人数为80人.

【解析】(1)根据中位数、众数、方差的计算方法分别计算结果，得出答案；

(2)用总人数乘以样本中甲、乙班男生引体向上成绩达到满分的人数所占比例即可.

本题考查了中位数、众数和平均数、方差的概念和计算方法，明确各个统计量的意义，反映数据

的特征以及计算方法是正确解答的关键.

19.【答案】(1)证明：•••△48C是等边三角形，

AC=BC,Z.ACE=Z.B=60°,

在A4。9和4CBD中，

AC=BC

Z-ACE—乙B,

CE=BD

*'•△ACECBD(^SAS^；

(2)・：2ACE*CBD,

・•・Z-CAE=乙BCD,

:.Z.AFG=/-CAE+Z-ACF=乙BCD+乙ACF=Z.ACB=60°,

・•・乙49。的正弦值=sin60°=三.

【解析】(1)根据S4S即可证明.

(2)由乙4FG=/.CAF+乙4CF可以证明乙4FG=60°,则可得出答案.

本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解决

问题的关键.

20.【答案】解：(1)①•••点4(3,2)在反比例函数丫2=?图象上，

■,1m=6>解析式为：y=g，

•・・点8(-1,£1)在'=:图象上，

**•a——6,即8(—1,—6),

•・・4(3,2)8(-1,-6)在一次函数、1=fcx+b图象上，

••七；比6,解彳哦匕

.♦.一次函数解析式为：y=2x-4.

②根据交点坐标和图象分布，当yi>y2时，x的取值范围；%>3或一1<%<0.

(2)若点C(3,k)在函数％的图象上,则有k=3k+b,

b=—2k,

二一次函数解析式为：y=kx-2k=k(x—2).

当x—2时，y=0,

.・・函数过定点(2,0).

【解析】(1)①利用4点坐标求出反比例函数解析式，利用力B两点坐标求出一次函数解析式；②根

据交点坐标和图象分布直接写出满足条件的自变量取值范围即可.

(2)将点C(3,k)代入函数月的解析式中得y=kx-2k=k(x-2),当x=2时，y=0,所以一次函

数过定点(2,0).

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点是两个函数值大小的分界点.

21.【答案】(1)证明：连接A。、OD,贝1」。0=。8,

•1■Z.B—/.ODB,

•••4B是。。的直径,

Z.ADB=90°,

•••D是的中点,

力。垂直平分8C,

AC=AB,

乙B—乙ACB,

:.Z-ODB=乙ACB,

・•・OD//AC,

vDE1AC,

・•・Z.ODE=乙DEC=90°,

•••。。是。。的半径，且DEJ.。。，

•••DE为。。的切线.

(2)解：•••Z.ADC=Z.ADB=90°,Z.ACB=Z.B,

...££=££=COSNACB=cos乙4BC=I，

DCAC8

设CE=3m,则DC=8m,

•.AC=^DC=^x8m=^-m,

•••点0、D分别是BA、BC的中点，

cc1”1、，6432

*'*OD=-/4C=~~3~^=三血，

v乙ODF=Z.FEC=90°,Z.OFD=乙CFE,

・•・黑=sin乙OFD=sinzCFF=段，

OFFC

32

・OF—_O_D_=32,

'FC~CE~3m~9

••塔的值为年.

【解析】(1)连接4D、OD,则NB=N0DB,由4B是。。的直径，得乙4DB=90。，则4。垂直平分

BC,所以AC=AB,则4B=^ACB,所以NODB=乙ACB,得0D//4C,所以NODE=&DEC=90°,

即可证明DE为00的切线；

(2)由乙4DC=UDB=90°,Z.ACB=乙B,得羔=段=coszXCB=cos/ABC=I，设CE=3m,

DCACo

则DC=8m,所以AC=『C="m,由三角形的中位线定理得00=以。=当m,即可求得黑=

0D32

CF=V'

此题重点考查等腰三角形的判定与性质、直角所对的圆周角是直角、平行线的判定与性质、切线

的判定、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助

线是解题的关键.

22.【答案】(1)解：当a=2时，二次函数yi=/一3a%+1为yi=M一6%+1,

v=%2—6%+1

=x2—6x+9—9+1

=(X-3)2-8,

・•・对称轴为％=3,顶点坐标为(3,—8)；

(2)证明：,函数月的图象经过点(l,p),(一l,q),

・•・1-3Q+1=p,1+3Q+1=q,

.・.p=2-3a,q=2+3a,

:.pq=(2—3a)(2+3a)=4—9a2,

va2>0,

・•・9a2>0,

・•・4-9a2<4,

即pq<4；

(3)解：令yi=y2»则%之—3ax+1=%—3Q+1,

整理得/—(3a+l)x4-3a=0,

A(%—3a)(x—1)=0,

va<0,V打，

**•=3a,%2=1，

n=2—3a,

v

(x2,n),(x3,n)(x2。冷)在二次函数图象上,

・・,这两个点关于二次函数的对称轴对称，

•••二次函数的对称轴是X=-等=当，

.3a_X2+X3

:、~~—，

22

无

.3Q=_1+3«

2---2

：■%3=3Q-1,

・,・%一=3a-1-3Q=-1・

【解析】(1)把a的值代入二次函数解析式，利用配方法即可求出二次函数的对称轴和顶点坐标；

(2)根据二次函数的图象经过点(l,p),得出1-3a+1=p,1+3a+1=q,即p=2-3a,

q=2+3a,然后求pq的值，根据非负数的性质判断pqW4；

(3)先求出二次函数与一次函数的交点的横坐标，再根据y的值都为n得出点(M，n)与。3，2关于二

次函数的对称轴对称，从而求出%3的值，于是可得出结果.

本题考查了二次函数的图象的性质，一次函数图象的性质，以及函数图象上点的坐标的特征，熟

练掌握二次函数的对称性是解题的关键.

23.【答案】解：⑴在正方