2023年福建省泉州市普通高中数学学科竞赛试题含参考答案

2023年泉州市普通高中数学学科竞赛

参考答案

一、填空题：本题共15小题，每小题6分，共90分。

1.设集合/={x|^^V0},5={X|X2-3X+2=0},贝1」/门3=_________.

x-1

【答案】{2}

【解析】由土艺40得I<x43,则/={x|l<x43},又3={1,2},因此/。3={2}.

x-1

Q1

2.已知2、=3,log3-=j；,则上+>=________.

2x

【答案】2

1a

【解析】2'=3nx=log23,所以一+y=log32+log3-=log39=2.

x2

3.已知数列也}满足%=1,%-a用=』&」("eN*),则a“=_________.

n(n+1)

【答案】-

277—1

【解析】由。“-%=芋!，^―--=—^=-一一—,故_L+，=-L+l,即{_1+3为常

n(n+1)Q〃+Iann(n+1)n〃+1an+ln+1annann

数列，^-+-=-+-=2,所以

annax\2n-1

4.若sin(x+J)=-3,且xe(一§£),则sin(2x-g)=________.

35663

【答案】ll

【解析】因为X6—2,3,所以x+四£，三，3,又sin，+0=—3,所以cos[x+0=~

663(22j3j5(315

JT27rITIT424

所以sin(2x-])=—sin(2x+—)=-2sin(x+—)cos(x+—)=-2xx-=——

525

[a,a^b,

5.记max{a,6}=则函数〃x)=max{1x+11,|…1}的最小值为

【答案】1

【解析】令工(X)=|x+1"(x)=产-5],则两个函数图象交于点A,BCD,

根据/(x)的定义可知/(x)的图象是图中实线的部分，易知点B

的纵坐标是函数的最小值，由方程-X-1=5-尤②，解得积=3,4=-2,所以)="-2)=1.

6.设a力为实数，且仍W0,虚数z为方程◎2+云+°=0的一个根，则的最大值为.

数学竞赛参考答案第1页(共10页)

【答案】V2+1

【解析】因为z和三为实系数二次方程办2+加+。=0的两个共筑虚根，由韦达定理知z；=q=i,即

a

目2=1,所以目=1,z对应的点Z是复平面中以0(0,0)为圆心，半径r=1的圆上的点，

可以看成点z与定点4(1,1)的距离，当且仅当z=-冷-半i时，匕-1-i|取最大值

|^O|+r=V2+l.

7.已知函数〉=/(x+1)的图象关于直线％=-1对称，当x<0时，f(x)=e1-%

c兀

2tan——

c=20则/(q)J(b)J(c)的大小关系为(请用“v”连接)

1-tan2—

20

【答案】73)</(〃)</©

【解析】函数V=/(x+l)的图象关于直线x=T对称，所以歹二/(')的图象关于〉轴对称，当xWO时,

/⑴=e~,所以k/(%)在(华⑼上单调递减,在［。,+8)上单调递增，/⑷=/(-舒=/(^)，

2tan—

I1-COS—、〃.兀、，“C)=/(——^-)=/(tan专)，易知

=M—^)=/()=/区116)1-tan2—10

1020

0<sin^<^<tan^,所以/(b)</(。)</(。).

8.已知△/3C的内角4瓦。的对边分别为。也C，点。满足sin24・E+sin25.赤+sin2C.云=0,若

a=2,BCOA=6,贝!Jsin/的最大值为.

【答案】二

3

【解析】易知。是△/BC的外心.因为前•刀=前.(刀-就)=刀•次-万•工=；c?-9？=6,

所以/—62=12,又0=2,得12=3/,所以02-〃=3/.由余弦定理，得

cos/=-+cj=3/+3,2-3/=4/+2°2英亚=逑,当且仅当人=2g，c=2^时取

2bc6bc2bc6bc3

等号，所以sin/的最大值为

3

9.过点b(0,g)的直线/与抛物线/=2/交于48两点，则卜川+4忸刊的最小值为.

【答案】|

数学竞赛参考答案第2页(共10页)

11....1....1114\BF\\AF\9

【解析】易知而+的=2,故叫+4|即=](叫+4阿|)(西+网)=5(1+4+.+雨泞

当且仅当\AF\=1\BF\=|时取等号.

10.在直角△/BC中，AB=BC=2,。是△NBC内的动点，则24。+2。+«C。的最小值为

【答案】2V13

【解析】如图，将绕着点C按顺时针旋转90。，再以C点为位

似中心放大到2倍，得到△4CD".2AD+BD+垂CD=

A"D"+BD+DD",根据"两点之间线段最短”可知，当

8,。,。",/"四点共线时，24D+AD+V?CD取得最小值

BA".易知=90。，C4"=4&，过/"作，8c交

8C延长线于//,则△ABCs^aW,因为△/3C是等腰

直角三角形，AB=BC,所以/A4c=/8C4=45。，所以4£4〃C==45。，所以

CH=A"H=4,所以A4"=、62+4?=2万.

11.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯(如右图)，其杯口内径为4cm,深8

cm,现将一半径为rcm的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则r的取

值范围为.

【答案】［。；

【解析】杯口内径为短轴'杯深为长半轴’故可设半椭圆轴截面方程为5+?=1(^。)’设小球球心。(。，，)

,fe(-8,+oo),尸(x,y)为半椭圆轴截面上任一点,

则|尸D「=*+(y-)2=兽/_2)+»+4,其中ye［-8,0］,当函数=与/_2)+4的对

1616

称轴y=£/4-8,即时，函数在［-2,0］递增，当了=-8时，|尸。「取最小，这

时小球可以接触杯底，半径厂="(-8)e，,g.

12.已知函数f(x)=e*e'-a),当xe(0,+oo)时，f(x)>ex,则实数a的取值范围为.

【答案】(-8』

【解析】e'(e-)2ex两边同时取自然对数，得lne'(e—)21nex0X0—a)21+lnx,

xxtax+x

crr,xe-lnx-l人,、xe-lnx-le-(tax+1)

所以a<------------,令g(x)=-------------=-----------------,

XXX

h(x)=ex-x-1,则h\x)=ex-1>0(x>0),

所以〃(x)在(0,+8)单调递增，所以〃(x)240)=0,故eMENlnx+x+l,

数学竞赛参考答案第3页(共10页)

所以g(x)jTnx-l=e｝、-(lnx+l)/nx+2-(1吧+1)=],故口仁.

13.有2024个半径均为1的球密布在正四面体48c。内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切）,

则此正四面体的外接球半径为.

【解析】由题意，第左层有1+2+…+左=处+。个球，设正四面体内共有〃层球，则£绝土12=

2£2

1«1«11111

—£尸+—24=——〃("+1)(277+1)+——〃(〃+1)=—〃(〃+1)(〃+2)=2024,解得”=22.

2«=|2斤=]26

如图，作与底面8co平行且与第1层球Q相切的平面，交棱4D于点M,则球a为这

个小四面体的内切球，所以逅/M=l,解得4M=2遥.

12

记第22层最靠近点。的球心为。2,由对称性可知OXO2DM是平行四边形，所以

"0=002=20x2+2=42,所以4D=/M+A®=2&+42,所以正四面体的外接球半径

为也~AD=3+生屈.故答案为：3+—V6.

14.已知△/3C的内角C的对边分别为a,6,c,且2/+2庐+3/=23,则△4BC面积的最大值为

【答案】-

16

【解析】过点C作。于。.c

当点。落在线段48上时，设CD=〃，BD=m,AD=n,根据题设/

条件有：/h

23=2(〃2+加2)+2(/+/)+3(加+"J=4/?2+2(加之+〃2)+3(加+»)2>_______

4h2+(m+nf+3(m+??)"=4/』+4(m+w)2>?>h[m+n)—\6S,因此

sv里，当且仅当心=巫，〃=巫时取等号.

当点。落在N8或四的延长线上时，设CD=h,BD=m,AD=n,根据题设条件有:

数学竞赛参考答案第4页（共10页）

23=2（〃？+加2）+2（"2+〃2）+3（加—〃）2=4〃2+2（加2+〃2）+3（加_〃）22

4h2+（m-«）2+3（m-«）2=4h2+4（加一〃J>8/z|m-H|=165,因此S工荒，易知等号取不到.

故答案为：223.

16

15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并

列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数〉=H（xeR）称为高斯函数，其中H表示不超过'的

辔2024'+2024斤

最大整数.设S=£「»””,则S除以2023的余数是__________.

左=1（-1）_

【答案】1013

20242,+2024•2t2024”-1+20232+1+2/20242*-1、2/+1

【解析】当斤=2,时,------------+2f+

2023202320232023

202421+2024(2/-1)・202421-1+2023⑵-1)+2/

当无=2f-l时,

-2023-2023

1-202421、，-It1一202421、「2f

-----------------2/+1+-----------------2t--------

2023202320232023

2024"+2024左—学2024?’+2024・2t1012202421+2024(2—1)

因此s=£Z2023+Z

k=\2023(-1)"t=\-2023

朝2024—。「2/+11-202427。1012

+-----------------2t-£(202421)+1

台(2023120232023/=1

=1x1012+1=1013（mod2023）.

二、解答题（本大题共5小题，共110分。解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤。）

16.（20分）

将数列｛2〃-5｝与｛3〃-3｝的公共项从小到大依次排列得数列｛%｝.

（1）求｛%｝的通项公式；

2"

(2)设求数列也J的前"项和S,.

3

【解析】(1)设g=2〃-5,dn=3n-3,由c“=d”,，有2〃-5=3/-3,BPn=—m+\,.................5分

又“，加均为正整数，所以S=2左，左eN*,

所以4“="2k=6"-3,Bpan=6n-3..............................................................................................10分

2"

(2)由(1),bn=y(6«-3)=(2«-1)-2\

所以S“=lx2i+3x22+…+(2月-1)x2"①，

所以2S“=lx22+---+(2n-3)x2"+(2M-1)X2"+1②，

①-②，得-S“=2+(2^+24+…+2向)-(2〃-1>2"+1................................................................15分

数学竞赛参考答案第5页（共10页）

=2+8(1-^-(2n-1)-2"+,=-(2n-3)-2"+,-6,

所以，=(2〃-3>2用+6..................................................................................................................20分

17.(20分)

已知△/BC的内角A,B,C的对边分别为“,6,c,且4a6cosc=3(/一c?).

(1)若/=臼27r，求C；

3

(2)若6c=l,当8最大时，求△/BC的周长.

【解析】(1)方法一：由余弦定理得：2(/+/-。2)=3(/一。2),即/=2/>2+/,.....................5分

又。2=/+。2一2bccosA-b2+c2+be所以2〃+T=/+/+be，

7T

即/=A，所以6=c，故C=5=z..........................................................................................10分

6

方法二：由余弦定理得：2面+〃—°2)=3(〃2_02),即2庐=-2—02,

所以段-=°”...-=cosC,所以%=2〃cosC....................................................................5分

2ablab

由正弦定理得：3sin6=2sinZcosC,所以3sin(4+C)=2sin/cosC,

整理得sinZcosC=-3cos^4sinC,所以tan4=-3tanC,所以tanC=——，

3

TT

又Ce(0,7r),故。=三..........................................................10分

6

方法三：H362+4abcosC=3(a+b2-c2)=6abcosC,所以%=2〃cosC...........................5分

由正弦定理得：3sin5=2sinAcosC,所以35抽（/+。）=2$出/＜：05。，

整理得5皿/85。=一385/5111。，所以tanZ=-3tanC，所以tanC=——，

3

又Ce(0,兀)，故C=g...................................................................................................................10分

6

方法四：由正弦定理得：4sinsin5cosC=3(sin2J-sin2C),

Xsin2A-sin2C=(sinA+sinC)(sin/一sinC)=2sin"；。cos'.0•2cos，；。sin'2'

=2sin/；'cos4；0•2sin"2°cos42)=sin(/+C)sin(4-C),

所以4sin4sin5cosC=3sin(/+C)sin(Z—C)...............................................................................5分

因为sinB=sin(Z+C),所以4sin/cosC=3sin(Z-C),

整理得5亩/85。=一385/5111。，所以tanZ=-3tanC,所以tanC=Y^,

3

又Cw(0,兀)，故。=^..........................................................10分

6

数学竞赛参考答案第6页（共10页）

(2)方法一：由(1)知tanZ=—3tanC,所以

tanA+tanCtanC2

所以tan8=-tan（A+C）=-

1-tanAtanC1+3tan2C3，15分

-------F3tanC

tanC

当且仅当taC，时取等号，此时C=5噂//

所以6=c=l,a=6，故△48C的周长为2+6.20分

方法二：由余弦定理得：2(a2+b2-c2)=3(a2-c2),整理得：a2=2b2+c2,

2a2+2,一2〃2+3c2

所以4cos5=a>273，15分

acac

jr

当且仅当a=6时取等号，此时3最大为三，由bc=l,得b=c=l,a=43

6

b2=a2+c2-yl3ac,

故△力3C的周长为2+石.20分

2

方法三：由余弦定理得：2(«2+b2-C2)=3(6Z-c2),整理得:a2=2b2+c2,

b\b-4）+4=^——2-------+4=（£zlXLz2）+4=l（f+2_10）+4>-（2V9-10）+4=3'

2b+1t4t4t4

当且仅当f=3,即人=1时取等号，此时b=c=l,a=C，

故△/8C的周长为2+g,20分

18.（20分）

如图，△NBC内接于0O,/是△ABC的内心，过。作8C的垂线交3C于点交氤于点、N,L

是打的中点，连接NL,过/作于点K.

证明：（1）ANAI=90°；

(2)N、K、/、M四点共圆.

D

数学竞赛参考答案第7页(共10页)

【解析】证明：（1）方法一：延长交。。于点D,则。为8c的中点，

因此/、/、。三点共线.又为直径，故NNAI=NNAD=90。...................5分

方法二：易知N为嬴的中点，因此NN48=3（N3+NC）,

所以N2W=NA^8+N8//=g(N8+NC)+〈N8/C=90。...........................5分

(2)ZUNL中，ZNAL=90°且AKLNL,由射影定理知：LI?=LA1=LK,LN,又NILK=2NLI,

因止匕△£灯s/\£w,故NLIK=NLNI............................................10分

由鸡爪定理知：DI=DC,在△NCD中，ZNCD=90",CM1ND,

由射影定理知：DI2=DC2=DM-DN,

XZMDI=ZIDN,因此△DMs/vow,故ZDIM=ZDNI.......................15分

因此ZMIK+ZMNK=AMIK+ZKNI+AMNI=ZMIK+ZKIA+AMID=180°,

故N、K、I、M四点共圆....................................................20分

19.(25分)

(x—2y>0,4

已知直线4：x-2y=0,，2：x+2歹=0,动点G(x,y)满足/八且到4和4的距离之积为二.

[x+2y>0,5

(1)求G的轨迹「的方程；

（2）已知尺（0,64）,过"（1,4）的动直线/与「交于不同两点尸,0,若线段夕。上有一点N满足

\MP\-\NQ\^PN\-\MQ\,求|丽|的最小值.

【解析】（1）由题意可知，l±_|2d.k112d=!,整理得,2一4/卜4,.......................5分

Ix-2y>0x2o

又因为G（xj）满足：八，可知轨迹:T的方程为土-/=l（x>0）..............10分

[x+2歹〉04

（2）方法一：设尸（W，%）,0（X2，%）,N（X。,%）,由题意可知直线尸。的斜率存在,

丫2

设尸。：y-4=©x—1),与:--/=1联立得(1-4k2)x2+(8k2-32k)x一4二+32左一68=0.

4-

上士丁a/曰32k—8k--4左2+32左一68

由韦达JE理得西+%=—.~—r~©.15分

1—4k~1一叱

因为|砺|・|而|=|而H国I，且M，尸,M0共线,

所以(再-1)(%-%)=(%-X1)(%2T),即2占々-(1+%)区+%)-2%=0②.

—

16左一681%—68y4

由①②整理得即-小居n

而无oNl,所以x：68=%_4,即%-16%-4=0.

10

所以点N(x。,%)在直线/':x-16y-4=0上，.....20分

数学竞赛参考答案第8页（共10页）

所以|而|的最小值即R到直线V的距离d,其中"=矍]=47257,

1A//S/

这时，N(4,0)在双曲线右支内，符合题意.

所以|我叫的最小值为44V.....................................................25分

方法二：由题意，设尸(士,%),0(3,%)，阳％,%),

因为|也?用而1=1的H而回，且尸,M，N,Q共线，

T^MP=AMQ,PN=ANQ,其中几>0,2^1,

由加=2殖，得1=^^,4=AZ^①，

由两=4而，得x°=^±^,JO=2I±A)1②.................................15分

1+A1+X

将①②对应项相乘得：

x,-AXx+AXx2-A2X2%一Ayy,+Ayy,2-A2J2

],/=2--r-----2=-2f4•y=22--2,

01-21+21-rn0l-A1+21-22

而x；=4+4y；,xJ=4+4yj,所以i.%—4x4,=再一_4(.力)=:I—')=4,

1—A1—Z1—A

即X。-16yo-4=0,所以点N(x。,%)在直线/'：X-16k4=0上，....................20分

1028___

所以|西|的最小值即尺到直线厂的距离“，其中豆=4A国'，

这时，N(4,0)在双曲线右支内，符合题意，

所以|秋|的最小值为47^7•....................................................25分

20.(25分)

已知多项式/(x)=x"+a“_]X"TH--1-atx+a0.

(1)若〃=3,且/(x)=。有三个正实数根%,%,无3,证明：阮+27%427%出；

(2)对一般的正整数”24,若。"_|=-5,an_2=U,*=-18,a,,eR(0</<«-4),证明：方程

/(x)=0的根不全是正实数.

%+々+毛=—。2，

【解析】证明：(1)方法一：由韦达定理有：xrx2+xrx3+x2x3=%,5分

=-"o

3

要证的结论：8婕+274<27aleI?u>8(%+x2+x3)+Hxxx2x3>27(项+x2++xxx3+x2x3)

故只需证明2(x：+考+W"xyx2+xfx3+xfx}+xfx3+x^xx+xfx2.

1