2023届陕西省榆林市第三次模拟考试理科数学试题（含答案）

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榆林市2022~2023年度第三次模拟考试

数学试题（理科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数Z=Wi,则（）

(A)z2=2(B)z2=-4(C)Z4=2(D)z4=4

2.已知集合A={x∣0VχV16},β≈{y∣-4<4>∙<16},则AUB=()

(A)(-l,16)(B)(0,4)(C)(-l,4)(D)(-4,16)

3.一个等差数列的前3项之和为12,第4项为0,则第6项为（）

(A)-2(B)-4(C)I(D)2

4.已知两个非零向量Q=（1,x）,Z>=（χ2,4x）,则“优|=2”是ua∕∕bn的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

5.实轴在y轴上的双曲线的离心率为√而，则该双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（）

（A需（BR（C）需（D）⅛

6.某省将从5个A类科技项目、6个B类科技项目、4个C类科技项目中选4个项目重点

发展，其中这3类项目都要有，且A类项目中有1个项目已经被选定.则满足条件的不同

选法共有（）

（A）96(B)144种(C)192种(D)206种

7.如图，正三棱柱ABC—48∣Cl的底面边长是2,侧棱长是2小，M为AlG的中点，N是

侧面8CC∣B∣上一点，且MN〃平面ABc则线段MN的最大值为()

(A)2(B)4(C)6(D)8

/Qa/

I.=0・bW"∣

…IA=AI2I

/g/

［结束］

9.定义在(0,+8)上的函数y(χ),g(χ)的导函数都存在，/。应(；0+/(》)80)<1,且70)=2,

g(l)=l,则/(x)g(x)<x+l的解集为()

(A)(l,2)(B)(2,+∞)(C)(0,1)(D)(l)+∞)

10.现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程.已知第

i(i=l,2,…，16)匹马的日行路程是第i+1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行

路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为(取L05∣7=2.292)()

(A)7750里(B)7752里(C)7754里(D)7756里

11.已知α=log3∙43.5+l啥s3.4,b—logɜʒɜ,6+ɪogɜ,ðɜ.5,C=IOglt3.7,贝!∣()

(A)Λ>⅛>C(B)b>a>c(C)a>c>b(D)b>c>a

12.已知三棱锥A-BCO中，ABLBC9BC-LCDfCD=2AB=2BC=49二面角A-BC一。

为60°,则三棱锥A-BC。外接球的表面积为()

(A)16π(B)24π(C)18π(D)20π

第∏卷

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.己知奇函数<X)=X3+(4-5)x2+αv(χCR),则川)=▲.

14.若不等式ox?—6χ+3>0对χ∈R恒成立，则」的取值范围是▲,a+弋9的最

小值为▲.(本题第一空3分，第二空2分)

15.已知函数段)=tan2x与g(x)=sin(χ-令的图象在区间L兀，兀］上的交点个数为，*，直线

x+y=2与At)的图象在区间［0,汨上的交点的个数为〃，则〃?+”=▲.

16.已知直线y=xf与椭圆C：%2+袅1于A,B两点，则线段AB的中点P的轨迹长度

为▲.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为

必考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)

如图，底面为矩形A8C。的四棱锥尸一ABCD中，PAL底面A8CD

(1)证明：平面PAoj_平面PCD

(2)若PA=Ao=3,AB=↑,E在棱Ao上，若AO=3AE,求PE与平面PB。所成角的

正弦值.

18.（12分）

已知a,b,C分别为AABC的内角A,B,C所对的边，A^∙λζ=4,HatsinB=SsinA.

⑴求A；

⑵求SinAsinBsinC的取值范围.

19.（12分）

已知1个不透明的袋子中装有6个白球和4个黄球(这些球除颜色外无其他差异).甲从

袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球

拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1

个白球拿出，放入1个黄球.再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全

部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球，记袋子中白球的个数为X.

(1)求袋子中球的颜色只有一种的概率；

(2)求X的分布列和期望.

20.(12分)

已知抛物线C：j2=2px(p>0)的焦点为凡A是C上的动点，点P(l,1)不在C上，且

IAFl+1APl的最小值为2.

(1)求C的方程；

(2)若直线A尸与C交于另一点与直线/交于点Q,设或=2/，Q^=μ^PS,且4

+“=4,求直线/的方程.

21.(2023年榆林市三模)(12分)

已知函数7(x)=xlmr.

(1)若直线y=2r+m与曲线y=∕(x)相切，求〃?的值；

1旦

(2)证明：-IW∕U)<讶参考数据：e4>54).

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂

黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系XO)，中，曲线M的方程为y=√1EZ,曲线N的方程为孙=9.以坐

标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若射线/：θ=θo(p^O,0V%<)与曲线M交于点A(均异于极点)，与曲线N交于点

B,且|。AHoBl=12,求仇.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数√(x)=∣x—a—1|+四一2"∣.

(1)证明：存在a∈(0,+8),使得兀v)》l恒成立；

(2)当x∈［2a,4］时，火x)Wx+a,求a的取值范围.

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榆林市2022〜2023年度第三次模拟考试

数学试题解析(理科)

1.【答案】D

【解析】z-y∣2i,Z2=-2,z4=4,故选①).

2.【答案】A

【解析】因为A={x∣0Vx<16},B={>>∣-l<y<4},所以AUB=(-1,16),故选(A).

3.【答案】B

【解析】S3=3S=12,α2=4,而〃4=0，故”6=-4,故选(B).

4.【答案】C

【解析】非零向量。=(1，x)，⅛=(JC2,4x),“〃力=x2=4oLXI=2,故选(C).

5.【答案】A

【解析】因为实轴在y轴上，所以e2=1+5=10,Z:=tana=；,Sina=W晅，故选(A).

KɔIU

6.【答案】C

【解析】满足条件的不同选法共有CCC+cc+CC=I92,故选(C).

7.【答案】A

【解析】取BIC|、BBl的中点。、E,则平面MDE〃平面ABG,所以N在线段。E,MN的

最大值为不序=2√Σ故选(A).

8.【答案】B

【解析】执行程序框图，可得下表:

a_32

~3~2

⅛24结束

故选(B).

9.【答案】D

【解析】令夕(X)=Λx)g(x)—X—1，则P'(x)=∕'(x)g(x)+f(x)g'(x)—1<0,所以矶X)在(O,+∞)

上递减，而。⑴=0,因为/(x)g(x)<x+l,所以夕(x)<p(l),解得：x>l,故选(D).

10.【答案】B

315

【解析】因为第16匹马的日行路程为315里，所以第17匹马的日行路程为慌=300里，

300(1—10517)

则这17匹马的日行路程之和为一7≈7752里，故选(B).

1—1.0?

11.【答案】A

【解析】令e(x)=x+=则o(X)在(1,+8)上递增，因为log3.43.5—Iog3s3.6=博装=

lg23.5-Ig3.41g3.6Ig3.4+lg3.6.Ig343.6。....

e2i22er

1°34?«35~，Ig3∙41g3.6<(^~~寸—)=(^^----)<lg3.5,所以Iog3.43.5>log3.53.6

>1,a="(log3.43.5)>b=矶log3.53.6)>夕(1)=2,C=IOg)t3.7<2,所以a>b>c,故选(A).

12.【答案】D

【解析】解法1：作正方形A8CE,则NOCE=60°,因为CC=2AB=2BC=4,所以。E_L

EC,故3。为三棱锥A—8C。外接球的直径，即87)2=4总=20,所以球。的表面积是4πK

=20兀，故选①).

13.【答案】6

【解析】因为奇函数y(x)=∙r3+(α-5)/+Or(XeR),所以o=5,BP：/1)=6.

14.【答案】(3,+∞),7

【解析】因为不等式Or2—6χ+3>0对XGR恒成立，所以错误!，解得：”>3,〃+错误!=

9

a-l+—r+l≥7,当且仅当。=4时取等号.

a-∖

15.【答案】7

【解析】由图像可得：机=4,〃=3,则机+〃=7.

16.【答案】不适

【解析】解法1：因为履MAB=-2,所以3p=-2,而尸的轨迹经过坐标原点0,故中点尸

的轨迹所在的直线方程为y=一匆,联立错误!可得:X=±错误!,故中点尸的轨迹长度为错误!

醇（普尸攀

解法2：横坐标不变，纵坐标缩短为原来的乎倍，则在新的坐标系中，可得下表:

中点尸的轨迹中点P的轨迹

项目方程直线AB的斜率

所在直线斜率长度

y2

变换前X2+]=11-2I

迫

变换后x2+y2=↑~√22

2

则向：瑞2邛

17.【解析】（1）因为PAJ_底面ABC£）,所以PAJ_CO,又因为C£>1_A£>,ADQPA=A,所

以CoJ_平面力£>,又因为CL>5平面PC£）,所以平面PA£>_L平面PC£>；

(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则8(1,0,0),0(0,3,0),P(0,0,

3),£(0,1,O),Q=(—1,0,3),9=(0,—3,3),港=(0,1,—3),设平面PBD

小课=0-x÷3y=0ʌ..ʌ

的法向量为力=(X，y,z),由可得:-3y+3z=0,令∙y=∣'则rfN=(3,1，1)，

√7∙DP=0

cos<Pi,m>=多卫=—缪，故PE与平面PBO所成角的正弦值为婴.

∖^PE∖∖n∖

18.【解析】⑴因为“csinB=8sinA,所以由正弦定理可得：abc=8a,即：bc—S,而3•正

=Z?CCOSA=8cosA=4,故COSA=/A=]；

⑵解法1：SinASinBSinC=坐SinBSinC=W[cos(8-C)-CoScB+C)]=坐(CoS(28—爷)+；],

因为3∈(0,¾,所以23一—∈(一),ɪ),故SinASinBsinC∈(0,耳X

JJJJO

19.【解析】分别记第i次摸到白球和黄球为事件A”Bi,

(1)记“4次摸球后，袋子中球的颜色只有一种”为事件M,则P(M=P(A»乂34)=得乂£乂

89

Iδ×iδ=0∙3024s

(2)X的可能取值为2,4,6,8,10.

P(X=2)=P(B&&&)=VXXV=O.084；

63454

P(X=4)=P(4B2B3B4)+P(BIA2B384)+P(B∣B2A3B4)+P(B∣B2B3A4)=]^×75×^×f5+^×

54545454563

io×io×iδ÷io×io×io×io÷io×io×io×iδ=01525

P(X=S)=P(B∣A2A3A4)+P(AiB2A3A4)+P(A∣A2B3A4)+P(A∣A2A3B4)=⅛×⅛×⅛×⅛+⅛×

⅛×⅛×⅞+⅜×⅛×⅞×⅛+⅛×⅛×⅛×⅛=0-252s

P(X=Io)=O.3024；

P(X=6)=1—0.084—0.136—0.252—0.3024=0.2096；

X的分布列为:

X2466810

P0.0840.1520.20960.1520.2520.3024

EX=2×0.084+4×0.152+6×0.2096+8×0.252+10×0.3024=7.0736.

20.【解析】(1)当P在C的外部时，O<p<g,∖AF∖+∖AP∖^∖PF∖,此时IPFl<2,不成立;

当尸在C的内部时，设A在C的准线上的投影为M,HR+HPI=IAM+1AP61+多当且

仅当A、P、M共线时取等号，则1+§=2,解得：p=2,故C的方程为y2=4x;

(2)设AaI,y∖)tB(X2,”)，Q(X，y)，直线A尸的斜率不为0,设AP的方程为：x=my+l-

联立方程错误!可得：y2—4/2+4S-4=0,则y+y2=4w,y∣y2=4m-4,因为错误!=2

承，两丽所以“声+方=2+旨+W=2+柒群貂=2-

4〃?(1-y)—2+2y

=4,ER：2m(y-i)=y+2而X=My+1—小，所以2%—y—4=0.

3f

21.【解析】(1)因为Kx)=xlnx,所以八九)=InX+1,令/(x)=2可得：x=e,∕e)=e,