黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高三年级上册12月期末数学试题(含答案)

齐齐哈尔普高联谊校高三期末考试

数学

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：复数，数列立体几何(含空间向量)占50%；集合，逻辑，不等式，函数，

导数，三角函数，解三角形，平面向量占50%.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1.已知集合4=1卜2+2兀—3<。},集合5={—3,1,2},则AB=()

A.{-3,2}B.{-3,0,1}C.{0}D.0

2.复数z=」一在复平面内对应的点位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在等比数列{4}中，%=2，%=4,则首项4=()

11

A.2B.1C.-D.-

23

4.若平面向量晨b满足同=2,恸=4,且。0=4,则向量。与b夹角的大小是()

71717127r

A.—B.—C.—D.—

3463

5.设函数/(X)=]忖一2兀，则/(九)()

A.是偶函数，且在(1,+8)上单调递增B.是奇函数，且在(-1,1)上单调递减

C.是偶函数，且在(-8,-1)上单调递增D.是奇函数，且在(-8,-1)上单调递减

6.若函数/(x)=sin[ox+V](<y>0)在上单调，则0的取值范围是()

A.(1,+co)B.C.(0,1)D.(0,1]

7.若x=3为函数/⑴二3必—以—31nx的极值点，则函数/(%)的最小值为()

133

A.——B.--C.---31n3D.3-31n3

222

8.圣・索菲亚教堂（英语：SaintSophiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一坐始建于1907年的拜占庭风

格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、

棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算圣•索菲亚教堂的高

度，在教堂的正东方向找到一座建筑物A3,高为（30-106）m,在它们之间的地面上的点M（B,M,

。三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是15。和60。，在楼顶A处测得塔顶。的仰角为30。，则小

明估算圣・索菲亚教堂的高度为由15。=咛3（）

A.30mB.60mC.3oV3mD.60Gm

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设向量@=（2,4）,〃=（—2,1）,贝|（）

A.aLbB.a//bC.|a+Z?|=5D.|a-Z>|=5

10.设公差不为。的等差数列｛4｝的前“项和为S“，若。4+2G=4,则下列结论正确的是（）

A.%=0B.S7最大C.S5=S9D.S13=0

11.已知函数/（x）=3sinxcosx—gsin2x,则下列说法正确的是（）

A.函数/（%）的最小正周期为打

B.函数/（%）的图象关于点-金?对称

C.函数Y（x）|为偶函数

D.若函数/（尤）的图象向左平移0个单位长度后关于y轴对称，则0可以为t

12.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-AUGA中，尸是线段G。上的动点，则下列说法正确的是

A.平面3用尸_1_平面ABCZ)

B.50的最小值为20

C.若直线用尸与3。所成角的余弦值为半，则=；

D.若P是的中点，则A4到平面的距离为一

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(X)=sinx+cosx,则-

14.若数列｛4｝是等比数列，且则441=.

15.已知4(1,—3),。为坐标原点，点3(异于。点)在直线y=2x上，则"半=____.

'7\OB\

16.已知函数/(x)=sin(公「1)(<y>0)图象上相邻两对称轴的距离为万，则函数y=/(%)的图象与函

数(―2<%<6,且xwl)的图象所有交点的横坐标之和为.

x-1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

在递增的等比数列｛4｝中，。「。2=8，。］+。2=6，其中“eN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若d=24+3,求数列也｝的前几项和7；.

18.（12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4———=0.

acosC2b-c

(1)求角A；

(2)若a=2,求6C边上高的最大值.

19.(12分)

如图，在四棱锥P—A6CD中，底面ABCD是矩形，侧棱R41.底面点E是。。的中点，AB=1,

AD=PA=2.

(1)求PC与AE所成角的大小；

(2)求PC与平而ACE所成角的正弦值.

20.(12分)

a-6,〃为奇数,

已知数列｛%｝为等差数列，b„=<n记S“，T”分别为数列｛4｝,也,｝的前几项和,J=32,

2a"，”为偶数，

4=16.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求数列也｝的前几项和

21.(12分)

如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，石。，平面ABC。，FB//ED,AD=ED=2,BF=1,

ZBAD=60°.

(1)若G是的中点，证明：平面OEG,平面ADE；

(2)求二面角A—跖—。的正弦值.

22.(12分)

,,,八/、a(x+\\1

已知函数/(X)=」*』+-X92.

e2

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(―1,/(—1))处的切线方程；

(2)若函数/(九)有两个不同零点苞，%,求实数a的取值范围，并证明：x,+x2>0.

齐齐哈尔普高联谊校高三期末考试-数学

参考答案、提示及评分细则

1.D由％2+2%—3<0,得(X+3)(X-1)<0,-3<x<1,所以A={R-3vxvl},又8={—3,1,2},

所以AiB=0.

2.Az=-!-=/、」+匕,在复平面内对应的点为位于第一象限.

1+i(l+i)(l-i)22(22J

2]

3.C———2，所以q=2,%=。⑼?，所以％————.

生42

n-h417T

4.A设向量。与匕的夹角是夕，贝"cose=^=——二—,又因为。<夕<万，所以e二生.

耶|2x423

5.B

6.D因为0<犬<一,所以一<COXH<—CD-\,因为jf(%)在0,一上单调，所以一CD-\<一,所

36636V3J362

以0VG〈1.

7.Cf\x)=x-a——,因为x=3是函数的极值点，所以/'⑶=3—〃一1二0,所以〃=2,

x

r(x)=x-2--=^-3^X+1\所以函数/(%)在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，所以

XJC

3

〃x)min=/(3)=-万-31n3.

8.B由题意知，NC4M=45°,ZAMC=180°-15°-60°=105°,所以

ZACM=180°-105°-45°=30°,在RtZvWM中，AM=———=—在△ACM中，由正

sinZAAffisin15°

弦定理得，二我CMAMsin45°ABsin45°-「„,

-----，所以CM=----------=-------------,在RtAADCM中，

sin30°sin45°sin30°sin15°-sin30°

CD=CM-sin600='sm45。.sm60。=00岁”米，所以小明估算索菲亚教堂的高

sin150-sin300逐一01

------------------X—

42

度为60米.

9.ACD因为a-Z?=2x(—2)+4xl=0,所以。_Lb,A正确；因为2x1/4义(一2),所以。与b不平行,

B错误；因为a+b=(0,5),所以卜+0=府+52=5,c正确；因为&一匕=(4,3),所以

a-1\—V42+32=5,D正确.

10.AD因为。4+2。8=。6，所以％+3d+2(%+7d)=%+5d,得％+6d=0,即％=0，则A正确;

当q<0时，d>0,则耳，S7最小，故B错误；因为q+6d=0,所以q=—6d,所以

nnd

Sn=-6nd+(~^=,对称轴为〃=£,所以Ss=S8,则C错误；因为S13=13%=0,

所以D正确.

11.ABD因为/(x)=3sinxcosx—6sin2x=Tsin2x+亨cos2x一母=Gsin(2x+W)—所以

/(%)的最小正周期为T=-="，故A正确；当x=-5时，2x—?=0,所以函数/(%)的图象关于点

-”号对称，B正确；易知函数|7(x)|的定义域为R，又

=^3sinf-2x+=^3sinf2x-WA/3sin(2x+,所以函数

不是偶函数，故C错误；函数/(%)的图象向左平移0个单位长度后得到的图象对应的函数为

g(x)=6sin2(%+^)+—....=^sin2x+2(p+—\-----,由题意，函数g(x)的图象关于y轴对

称，所以20+工=左乃+工，kwZ,即0=立+工，k&Z,当左=1时，(p=~+-=—,故D正确.

6226263

12.ABD在正方体M。。一44£2中，因为5与1.平面ABC。，BB】u平面BB7,所以平面357，

平面ABCD,故A正确；连接Bq,由平面B4GC,得DQBG，故在RtAqGB中，当点。

与q重合时，3。取最小值20,故B正确；如图，以ZM、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系D—孙z,则5（2,2,0）,4（2,2,2）,A（0,0,2）,设P（0,m,2）,0</n<2,则

4P=（—2,加—2,0）,BDX=（-2,-2,2）,假设存在点P,使直线与P与3。所成角的余弦值为g,则

B{PBD{_|8-2m|J15

cos〈B[P,BD)天一，解得加=—2（舍去），或机=1,此时点尸是

用川叫一2后,4+(加―2)2

CQ中点，2P=1,故C错误；由且A4<z平面3月「，知A4〃平面3耳P,P（0,l,2）,

m,B]P=0,

AB=（0,2,0）,4。=（—2,—1,0）,BB,=（0,0,2）,设平面5片p的法向量为加=（x,y,z）,贝卜

m•BB]=0,

2x+y=0,

即《取x=l则y=—2,Z=O,故加=（1,一2,0）,所以点A到平面3与P的距离为

2z=0,

ABm=拽，即AA1到平面337的距离为述，D正确.

m\55

13.0因为/(x)=sinx+cosx,则/'(x)=cosx-sinx

14.4根据等比数列的性质，有〃1%3=蜡，则。107al3=蜡=8，解得%=2,所以〃3。口=婿=4.

15.±A/5由点A（l,-3）且点5在直线y=2x上，可设5（加,2加），冽00,可得。4=（1,一3）,

OB=（m,2m）,则。=加―6加=—5加，且|。创=百同，所以"半=5^=土

'，1111\OB\J5同

27r

16.4由题知，函数/（%）的最小正周期为2»，—=2^-,所以0=1,则/（x）=sin（x—1）.又

3

/（l）=sinO=O,所以y=/（x）的图象关于点（1,0）中心对称，作出y=/（x）和y（-2<x<6,

X-1

且XW1）的图象如图所示，可知两函数图象共有4个交点，且关于点（1,0）中心对称，故这4个交点的横坐

标之和为2x2=4.

17.解：(1)由%・%=8,〃]+〃2=6，等比数列｛%｝是递增数列，得。i=2,a2=4,

的自=n

因此数列｛4｝的公比q='=2,则an=2,

所以数列｛%｝的通项公式是4=2".

(2)由(1)得，2=24+3=2用+3,

4(1—2")

T=々+%+…+优=-^----^-+3n=2n+2+3n-4.

n1—2

ez、上十廿…ccosAc八,sinCcosAsinC八

18.解：(1)由正弦定理及-------------=0,得ZF--------------------------=0.

acosC2b-csinAcosC2sinB-sinC

因为sinCwO,所以2sin5cosA-sinCcosA-sinAcosC=0,

所以2sinBcosA-sin(A+C)=0,所以2sinBcosA-sin5=0.

171

因为sinBwO,所以cosA=—.因为0vA<»,所以A=—.

23

(2)由(1)及余弦定理得：b1+C1=4+bc>2bc,所以历<4,

所以S3Bc=g8csinA<G，当且仅当Z?=c时等号成立，

设边上的高为鼠又因为S^ABc=；a/=鼠所以无〈8.

即边上高的最大值为由.

19.解：(1)易知ABLAD,又底面ABC。，AD.ABu底面ABC。，PA±AD,故以A为坐

标原点，AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间

则4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),P(0,0,2),£(0,1,1),

所以PC=(1,2,—2),AE=(0,1,1),所以PC.AE=lxO+2xl—2x1=0,

jr

所以PCLAE,即PC与A石所成角的大小为2.

2

(用证明AE，平面PCD得AE，AC参照给分)

(2)由(1)知PC=(1,2,-2),AC=(1,2,0),A£=(O,l,l).

n-AC=0,(x+2y=0,

设平面ACE的一个法向量为n=(%,y,z),则一=>1

n-AE=0,y+z=0.

取y=1,则％=—2,z=—1.

所以”=(—2,1,—1)是平面ACE的一个法向量.

设尸C与平面ACE所成角为凡

PCH2厂底

则Sin6=COS(PC,H)-v——r-r-r=

'/因对3x76-9'

所以PC与平面ACE所成角的正弦值为亚

9

吐6,"2I获N*,

20.解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,而然=<

2a〃,n=2k,

则4=%_6,b2=2a2=2al+2d,b3=a3—6-al+2d-6,

SA—4a+6d=32,

于是《解得q=5,d-2,见=4+(〃一l)d=2〃+3,

[4=4q+4d-12=16,1〃々IJ

所以数列｛a“｝的通项公式是q=2〃+3.

2n—3,n=2k—l,*

(2)方法1：由(1)知，b=<eN,

n4〃+6,〃=2k,

当〃为偶数时，bn_x+bn=2(〃一1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6zz+l)n327

-------------——=一几十一几,

2222

2ZIZZ2H

当“为奇数时，Tn=Tn+l-bn+l=|(«+1)+!(«+1)-[4(+1)+6]=|+|-5.

+,7〃,〃为偶数，

所以;22

—n+—n—5,〃为奇数.

122

2n-3,n=2k-l,

方法2：由(1)知，b=<壮N*,

n4n+6,n=2k,

当〃为偶数时,

(=3+4+…+2T)+(4+&+•••+〃)

—1+2("-1)-3n14+4”+6n327

--------------------------------------------F=­n+—n

222222

当“为奇数时，若〃23,则北=伯+4+…+4)+他+4+…+4-1)

-1+2〃-3n+114+4(〃—1)+6n-135「

-----+--------------L-----------=-n2+-n-5,

222222

35

显然(=4=—1满足上式，因此当〃为奇数时，7；=|n2+1«-5.

。"+乙,伪偶数，

22

35,,

—a2+一〃-5,〃为奇数.

122

21.(1)证明：连接5。，因为四边形ABC。为菱形，且/刚。=60°,

所以AABD与LBCD为等边三角形.

又中点为G,所以。G_L5C.因为所以。GLAD,

因为田，平面ABC。，£>Gu平面ABC。，所以。GJ_EO.

又ED\AD=D,ED,ADu平面ADE,所以。G，平面ADE.

因为。Gu平面DFG,所以平面。EG，平面ADE.

(2)解：连接AC,BD,设BD,AC交于点。，取所中点H,连接丽,

所以OH〃ED,O",底面ABC。.以。为原点，以。4,OB,。“分别为x轴，y轴，z轴的正方向

建立空间直角坐标系，则A(相,0,0),C(-73,0,0),尸(0,1,1),E(0,-1,2),

所以E4=(g,—1,—1),£A=(V3,l,-2),FC=(-V3,-1,-1),EC=(-V3,l,-2),

设平面£E4的一个法向量为加=(玉，%,zj,

m-FA=0,

则《..=得加=(6」,21

m-EA=0

9分设平面EFC的一个法向量为〃=(%2，%，22),

n•FC=0,+y2+z=0,

则2令马=百，得〃=(6,—1,—2]

n-EC-0,-y2+2z2=0,

3-1-4

所以cos(m,n)=所以二面角A—防—C的正弦值为

V8xV844

yI11丫1

22.解：(1)当a=l时，/(工)=笠+；%2=/(％)=兀—二，易知/(—1)=5，/(-l)=e-l

所以曲线y=/(x)在点(―1"(—1))处的切线方程为：y-1=(e-l)(x+l),

即(e_l)x_y+e-；=0.

/r\

,一心一口\axe-a

(2)由已知可得/(x)=x——-=x，—;—

e<e7

①若a<0,则^^〉0,当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0.

e

即/(九)在