2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评六十八

核心素养测评六十八

变量间的相关关系与统计案例

巩固提升练(2。分钟40分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用独立性检验法算得K?的观测值

为5,又已知P(K2》3.841)=0.05,P(K226.635)=0.01,则下列说法正确的是

()

A.有95%的把握认为“X和Y有关系”

B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”

C.有99%的把握认为“X和Y有关系”

D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”

【解析】选A.依题意上的观测值为k=5,且P(223.841)=0.05因此有95%的把

握认为“X和Y有关系”.

2.(2020・许昌模拟)“吸烟有害健康,吸烟会对身体造成伤害”.美国癌症协会

研究表明，开始吸烟年龄X分别为16岁、18岁、20岁和22岁者,其得肺癌的相

对危险度Y依次为15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸烟支数U分别为10,20,30者,

其得肺癌的相对危险度V分别为7.5,9.5和16.6,用r表示变量X与Y之间的线

1

性相关系数,用r表示变量U与V之间的线性相关系数,则下列说法正确的是

2

)

-1-

A.r=rB.r>r>0

1212

C.0<r<rD.r<0<r

1212

【解析】选D.由题意可知，开始吸烟年龄递增时，得肺癌的相对危险度呈递减趋

势，所以吸烟年龄与得肺癌的危险度呈负相关，所以r<0,同理可知，得肺癌的危

1

险度与每天吸烟支数呈正相关，所以r>0,因此可得r<0<r.

212

3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到

如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线厂伊+》近似地刻画其相

关关系,根据图形，以下结论最有可能成立的是（）

八英语成绩,

••••••

•••

•••••

・・・・••••

••••

,n语文成境）

A.线性相关关系较强,彳的值为1.25

B.线性相关关系较强,彳的值为0.83

C.线性相关关系较强,方的值为-0.87

D.线性相关关系太弱,无研究价值

【解析】选B.散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判

断语文成绩和英语成绩之间具有较强的正线性相关关系，且直线斜率小于1.

4.（2020•南昌模拟）某公司在2015~2019年的收入与支出如表所示：

收入x（亿元）2.22.64.05.35.9

支出y（亿元）0.21.52.02.53.8

根据表中数据可得回归方程为y=0.8x+a,依此估计2020年该公司收入为8亿元

时支出为（）

-2-

A.4.2亿元B.4.4亿元

C.5.2亿元D.5.4亿元

【解析】选C.根据表中数据，计算产1义（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4,

q

y=-X（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2,

5

所以户2-0.8X4=-1.2,

所以回归直线方程为产0.8x-1.2,

计算x=8时/0.8X8-1.2=5.2（亿元），

即2020年该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.（2020•长春模拟）某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示,并得到

其回归直线的方程为（:产。.68X+G，计算其相关系数为,相关指数为Rj.经过分

析确定点F为“离群点”，把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回归直

线的方程为/jp^x+0.68,相关系数为r,相关指数为Rj.以下结论中，不正确的

序号是.

尸(6.5)

•£(5.2.8)

・*M4.2.5)

0(321)

5(2.1.5)

刖1.1.1)

①r)0,r/0②R言心

③产0.12©0</0.68

【解析】由图可知两变量呈现正相关，故rJ0,，>0,且r产2,故曾〈彫，

故①正确，②不正确.

又回归直线/：-=0.68x+*必经过样本点的中心（3.5,2.5）,所以『2.5-0.68X

3.5=0.12,③正确.

回归直线（:广炉+0.68必经过样本点的中心（3,2）,所以2株X3+0.68,

所以尸0.44,也可直接根据图象判断0<10.68（比较两直线的倾斜程度），故④正

确.

答案:②

6.某学校社团为调查学生课余学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.

根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日

均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.

蟆事

0.010

0.005

10203（）40506）日均学习围

棋时间，分钟

根据已知条件完成下面的2X2列联表,并据此资料判断（填“能”或“不

能”）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.

非围棋迷围棋迷总计

总计

附：K2=.n(ad-bc),，其中n=a+b+c+d.

乙i十b）乙:+d）%+c丿力+d）

-4-

P-0.100.050.0250.0100.0050.001

0

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

0

【解析】由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有100X0.25=25

人，

从而2X2列联表如下所示：

非围棋迷围棋迷总计

男301545

女451055

总计7525100

将2X2列联表中的数据代入公式计算，得

K2的观测值k=i0°x白厂二些"3一030,

45X55X75X25RR

因为3.0300.841,所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”

与性别有关.

答案：不能

三、解答题

7.（10分）（2018•全国卷H）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资

额y（单位:亿元）的折线图.

-5-

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了v与时间变量t的两个

线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…，17）

建立模型①:产-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次

为1,2,…，7）建立模型②：尸99+17.5t.

（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.

⑵你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

【命题意图】本题考查线性回归方程的运用和函数模型的拟合选用，重点考查学

生的识图、读图能力和数据分析能力.

【解析】⑴利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

丁-30.4+13.5X19=226.1（亿元）.

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为L99+17.5X

9=256.5（亿元）.

⑵利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

方法一：从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直

线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①

不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基

础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附

近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用

2010年至2016年的数据建立的线性模型「99+17.5t可以较好地描述2010年以

后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.

-6-

方法二：从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型

①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅

比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

综合运用练（15分钟35分）

1.（5分）已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,

他们的数学、物理成绩（单位:分）对应如表：

学生编号12345678

数学成绩6065707580859095

物理成绩7277808488909395

给出散点图如图:

物理成塩‘分

100­•・

90.■

80.•

70**

60

5°506070K090100数学或®分

根据以上信息,判断下列结论：

①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；

②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；

③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩

为60分,则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.

其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】选B.由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与

物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关

-7-

系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲

同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误.综上，正确的个数为1.

2.（5分）通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列

联表：

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

2

由K2=______"丿-______算得，

乙I十匕丿d7十d）&I十c丿力十d）

K?的观测值为卜=11吟2°*3°日02°丿=7.8.

60X50X60X50

附表：

P(Q2k)0.050.0100.001

0

k3.8416.63510.828

0

参照附表，得到的正确结论是（）

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

【解析】选A.根据独立性检验的定义，由k的观测值为k%7.8>6.635,可知我们

在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动

与性别有关”.

-8-

3.（5分）在2019年3月15日那天,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的

一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数

据如表所示：

价格X99.5m10.511

销售量y11n865

由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程

是『=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=.

［解析］婷+9'5+”?+1°“5+11=8+%

11十“十8+6+5

y=6+-.

5

回归直线一定经过样本点的中心（忆歹）,

即6+-=~3.2（8+：）+4。,

冃

即3.2m+n=42.

又因为m+n=20,即戸♦2m+n=42,解得力i=10,

+n=20,⑺=10.

答案：10

4.（10分）已知某企业近3年的前7个月的月禾U润（单位:百万元）如折线图所示:

-9-

（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高？

（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势.

⑶试以第3年的前4个月的数据（如表），用线性回归的拟合模式估计第3年8

月份的利润.

【解析】⑴由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.

⑵第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元）,

第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元）.

第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41（百万元），所以这3年的前7个月

的总利润呈上升趋势.

（3）因为下=2.5,y=5,12+22+32+42=30,1X4+2X4+3X6+4X6=54,

所以戶547X2.5x5=0.8,所以『5-2.5X0.8=3.因此线性回归方程为尸0.8x+3.

30--1X7.

当x=8时，｛.=0,8X8+3=9.4.

所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元.

5.（10分）（2020•珠海模拟）某种仪器随着使用年限的增加,每年的维护费相应增

加.现对一批该仪器进行调查,得到这批仪器自购入使用之日起,前5年平均每

台仪器每年的维护费用大致如表：

-10-

年份x（年）12345

维护费y（万元）0.71.21.62.12.4

⑴根据表中所给数据,试建立V关于X的线性回归方程产M+a.

（2）若该仪器的价格是每台12万元，你认为应该使用满五年换一次仪器,还是应

该使用满八年换一次仪器?并说明理由.