向量的数量积-课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2.4向量的数量积

复习回顾如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为：Fs

┓情境引入:在物理中，我们学过力做的功的概念功是一个标量，它由力和位移两个量来确定。受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

，则

叫做向量

与

的夹角，记作

<a,b>.

B1.向量的夹角OABOAB向量与的夹角的取值范围为：BOA注：两个向量只有公共起点时所对应的角才是向量的夹角.A.30° B.60°C.120° D.150°√

已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？例1即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，步步高P11规定:零向量与任一向量的数量积为0.2.向量数量积的定义：已知两个非零向量

与

，它们的夹角为θ，我们把数量叫做

与

的数量积（或内积），记作

，即变形：注：

之间用实心圆点“·

”连接，不能省略,更不能写成“×”。例9已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10解：例10设

，求

与

的夹角

。课本P17-18课本P20练习思考：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？（1）向量的线性运算的结果是向量，（2）向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定。探究1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当

时，

为正；当

时，

为零。当

时，

为负；课本P20练习知识梳理投影投影4.投影向量abABCDA1B1投影向量：投影向量=投影x单位向量课本P19投影:OM1=

探究2显然，

与

共线，于是

下面探讨

与

的关系，进而给出

的明确表达式。如下图，设与

方向相同的单位向量为

，

与

的夹角为

，那么

与

之间有怎样的关系？N当

为钝角时，

与

方向相反，所以当

为锐角时，

与

方向相同，

，所以当

为直角时，

，所以即当

时，

，所以当

时，

，所以从上面的讨论可知，对于任意的

，都有课本P20练习

已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.(1)求a·b；例3a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10.步步高P11(2)求a在b上的投影向量.

已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________.跟踪训练3已知向量a，b的夹角θ＝60°，1步步高P12

已知正△ABC的边长为1，求：例2步步高P11跟踪训练20－16－16步步高P11(2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为_____.1.知识清单：(1)向量的夹角.(2)向量数量积的定义.(3)投影向量.(4)向量数量积的性质.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：向量夹角共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角，a·b<0⇏两向量

夹角为钝角.课堂小结3、当a与b同向时，2、4、设a与b都是非零向量，他们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：1、a·e=e·a=|a|cosθ|a·b|=|a||b|

当a与b反向时，|a·b|=-|a||b|

特别地，a·a＝|a|2

或|a|

=

3.平面向量数量积的运算性质

课本P19

5.数量积的运算律探究：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？(a·b)·c≠a·(b·c)课本P20练习例11：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a2＋2a·b＋b2.＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)

（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·a－a·b－b·b