2023-2024学年山东省德州市高二年级上册期中考试数学试题（解析版）

2023-2024学年山东省德州市高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1.四面体ABCD中，E为棱的中点，则AD+g(£>3+DC)=()

A.ABB.ACC.AED.DE

【答案】C

【分析】根据向量的加法、数乘运算求解即可.

【详解】如图，

因为E为棱2C的中点，

所以AD+；(aB+DC)=AD+gx2OE=AD+£>E=AE,

故选：C

2.已知直线/的一个法向量为(1,-2),且经过点A(1,O),则直线/的方程为()

A.x-y-l=OB.x+y-1=0C.x-2y-l=0D.x+2y-l=0

【答案】c

【分析】利用直线的点法式方程求解即可.

【详解】直线/的一个法向量为(1,-2),

所以设直线/的方程为：尤-2y+C=0,代入点A(1,O),得

1-O+C=O,C=-l,

故直线/的方程为元-2y-l=o.

故选：C

3.若向量£=(X,T2),b=(—2,2,y),且：〃:，则村=()

A.2B.2aC.y/6D.2瓜

【答案】D

【分析】由向量平行的坐标表示即可求得x=l,y=-4,代入模长公式即可得忖=2庭.

【详解】根据题意由力指可得得=?二，解得x=l,y=-4,

-22y

贝明=7（-2）2+22+（-4）2=2巫.

故选：D

4.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的离心率为（）

A.75B.@C.6或显D.旦或小

222

【答案】B

【分析】由双曲线的标准方程，确定双曲线的渐近线方程，对比y=±fx,y=2x两方程确定£=2,

bb

联立。2=。2+k求£的

a2

22

【详解】由已知设双曲线方程为：々-三=1,（4＞0,。＞0）,双曲线渐近线方程为y=±;尤，

abb

2

结合双曲线的一条渐近线方程为y=2x,有：=2,即。=劝，b2=—

b4

双曲线中有/=。2+廿，将〃=《代入o2="+/2中，得02="+《=空，

444

故选：B

5.数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数2（几＞0且4*1）的

点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,

A（-3,0）,动点M满足卜01Mo得到动点M的轨迹是阿氏圆C.直线/：,=左（工+3）与圆C

恒有公共点，则Z的取值范围是（）

r,「0行[[石右]r“I

A.[-1,1]B.---C.---D.[-2,2]

【答案】A

【分析】设点M（x,y）,求出动点M的轨迹圆C的方程，根据直线与圆的位置关系列出不等式，求解

即可.

【详解】设点•；4（-3,0）,|他4|=忘|MO|,

，0+3）2+y2=2x2+2y2,即（x-3）2+9=18,

所以动点M的轨迹圆C的方程为(x-3>+y2=18,

圆心C(3,0),半径,=3&，

•.•直线/：y=k(x+3)与圆C恒有公共点,

二圆心到直线/的距离dWr,即，可2耳43应,解得一1W左VI,

VF+1

则上的取值范围是

故选：A.

6.三棱锥尸-ABC中，底面ABC为边长为2的等边三角形，ZPAB=ZPAC45°,PA=®，则直

线力与平面ABC所成角的正弦值为()

A.立B.立C.D.立

3322

【答案】B

【分析】根据题意，取8C中点。，连接结合条件可得NR4D为直线出与平面ABC所成

角，再由勾股定理可得是直角三角形，即可得到结果.

【详解】

取3C中点。，连接因为底面ABC为边长为2的等边三角形,

且=4c=45°,则△PAB三△B4C,^PB=PC,

所以P£>，8C,AO，BC,且ADI4O,P£>u平面RW,

所以平面尸AD,且B4u平面PAD,所以PAJL3C,

则AP在平面ABC的投影落在AD上，

所以NPAD为直线E4与平面ABC所成角，

且PA=后，AB=2,ZPAB=45°,由余弦定理可得，

尸C=P3=/2+(可一2X2X0X*=E

则=一I2=1,AD=J方-f=m，

所以AD?=”2+尸》，即/APZ)=90。，

所以sin/PA£>="=3=3.

AD上3

故选：B

2

7.双曲线、r-y2=1的左右焦点分别为"，Fz，点p为双曲线上异于顶点的任意一点，且N耳生=60。,

则S△尸1P尸2=()

A.且B.BC.1D.6

32

【答案】D

【分析】先设两条边为私〃，由双曲线定义和余弦定理求出〃团，再由三角形面积公式求出面积即可.

【详解】如图所示,

。2=2,=1,所以=片+/=3

令|尸耳上闻尸闾=〃,

贝U加一〃=2〃=2^2，所以病+»—2mn=8=>1+〃2=8+2mn①，

日/I7DZ7/十加2—|耳阊m2+H2—4C214俎2.2io

且cosZFPF=-------!----=-----------=一,口」付41+n—12=mn

72mn2mn2

将①代入可得8+2zm-12=?m=>?m=4,

所以SA^pF=—mnsinZF,PF=—x4x—=y/3,

△4分2222

故选：D

22

8.已知椭圆C：2+方=1（。>6>0）的左右焦点分别为耳，B，M,N为椭圆上位于龙轴上方的两

点且满足月M〃BN,|耳闾=2|gM=4|gN|，则椭圆C的离心率为（）

A屈BC阿D-

'~15~'25''2

【答案】A

【分析】作出辅助线，根据椭圆定义及各边关系得到优川=三，।耳闾=+，内闾=勺，|KM=+，

由余弦定理得到cos/£工N,cos/吟工，并根据互补得到方程，求出离心率.

【详解】连接耳N,

由椭圆定义可知，|耳M+优M=2a,田N+I玛N|=2a,设图N|=x,

则国叫=4羽同M=2X,故6x=2a,解得x

故由M=优凹=+，⑶N|=2a-优N|=2"W=g<7,

因为耳M〃工N,所以/加£工=/再>,故/片8N+/M£工=兀，

。

422252.282

4(7H-------------------CL4c——Q

住用2+同甘一忸N『

故cosZFFN993

{22|同内M4ac

2x2c--

3~T

4.

一,222

I肛『+闺月2TBM卜a4c+-O

而cosNAf耳&=93

2防"用2x22c16ac

~T~

因为cos/斗8N+cosNM久入=0,

4c2--«24c2+-a2l

所以43+.3=o,解得£=誓,

4〃。16QCa15

故椭圆c的离心率为警.

故选：A

二、多选题

9.已知正方体ABCD-4耳GA,则()

A.BC,±DA,B.BQ±CAt

C.直线8G与平面班QQ所成角为60D.直线BG线与平面ABCD所成的角为45

【答案】ABD

【分析】作图，根据空间线线、线面位置关系和成角大小依次判断即可.

【详解】

如图在正方体中，|AD,,ADt1A,D=^>BCt±,所以A正确；

BCXV\D,BCXLDC,\DDC=DnBQ_L平面ADC,

(招三平面4。(7,所以所以B正确；

设正方体棱长为i,过C[作于//,连接瓦/,

则NG由/即为直线8G与平面B8QD所成角，sinNGBH=*=；nNQBH=30,所以C错误;

nC]Z

对于D,易知NC0C即为直线8G线与平面ABC。所成的角，ZC1BC=45,

所以D正确；

故选：ABD

10.已知直线/:底-y+l=0和圆C:尤2+/+2彳=0,则()

A,直线/的倾斜角为60B.圆C的圆心坐标为(-1,0)

C.直线/平分圆C的周长D.直线/被圆C所截的弦长为白

【答案】AB

【分析】由直线方程可知斜率4=若即可得倾斜角为60,即A正确；将圆的一般方程化为标准方

程可得B正确；易知圆心不在直线/上可得C错误；根据弦长公式计算可得弦长为石万，可知D

错误.

【详解】将直线/的方程变形可得y=氐+1,可知斜率Z=指,

所以直线/的倾斜角为60，可知A正确;

将C：Y+V+2x=0改写成标准方程为(x+厅+V=1,即可得C的圆心坐标为(-1,0)，所以B正确;

易知直线/:氐-y+l=0不过圆心(TO),可知直线/没有平分圆C的周长，即C错误;

易知圆的半径r=1,圆心(TO)到直线/:年-y+1=0的距离为d=卜f=叵口，

y/3+l2

所以弦长为2/六一/=2=亚耳，可得D错误.

故选：AB

11.在四棱锥尸一ABCD中，底面A3CD为矩形，AP2底面ABC。，PA=AB=2AD=12,PM=2MC，

N为尸。的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()

A.M7V=(-8,-1,2)B.PC±BD

C.直线尸。和直线BC所成角的余弦值为ED.点A到平面尸3。的距离为4百

【答案】AC

【分析】根据给定条件，求出相关点的坐标，再利用空间向量逐项计算判断即得.

【详解】依题意，A(0,0,0),B(12,0,0),C(12,6,0),0(0,6,0),P(0,0,12),

17

对于A,PC=(12,6,-12),PD=(0,6,-12),MJV=PN-PM=-PD--PC=(-8,-1,2),A正确；

对于B,PC=(12,6,-12),BD=(-12,6,0),PC-BD=12x(-12)+6x6^0,即PC与3。不垂直，B错

误；

对于C,BC=(0,6,0),PD=(0,6,-12),cos<BC,PD)=W=兆，=@,

\BC\\PD\6x665

因此直线PD和直线3c所成角的余弦值为C正确；

n-PD=6y-12z=0

对于D,设平面正皮）的法向量为〃=（Xy,z）,贝！，令%=1,得〃

n•BD=-12x+6y=0

而AD=（0,6,0）,所以点A到平面PBD的距离1=理*=早=2斯，D错误.

\n\V6

故选：AC

12.抛物线C：V=©,过焦点P的直线/与抛物线C交于A,8两点（点A在第一象限），M（-l,0）,

则（）

A.最小值为4

B.4WB可能为钝角三角形

C.当直线/的倾斜角为60。时，△AfM与，8/^面积之比为3

D.当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，|AB|=4

【答案】ABCD

【分析】A：分斜率存在与否设出直线方程，由弦长公式求出直线方程；B：先用向量的数量积求出

N/WB不是钝角，再结合图像求出结果；C：当直线/的倾斜角为60。时，带入直线方程求出A,2坐

标，再表示出三角形面积即可；D：由直线与抛物线只有一个公共点，得出判别式为零，再求出长

度即可.

【详解】因为抛物线C：y2=4x,焦点/（1,0）,过焦点F的直线/与抛物线C交于A,8两点（点

A在第一象限），

对于A,当直线/的斜率不存在时，|AB|=4；

当斜率为零时，只有一个交点，不符合题意；

当直线/的斜率存在且不为零时，设直线方程y=A&,%）,*%，%），

「y2—4兀

联立0,可得左2/一（2左2+4卜+左2=0,A=16（l+/）＞0,

2k2+4

所以玉+%=---2-，（人工0）,玉,X=1,

K2

Ok2+44

|4同=2+%+%2=三*+2=4+营＞4即弦长的最小值为4,故A正确；

Iy=x—1=

对于B,当％=1时，联立2“解得x=3±20，

ly=4无

所以A（3+2近,2+2后）,8（3-2夜,2-2近），5A=（4血,4乌,5〃=（-4+2夜,2日-2）,

BA^BM八

BA1BM-240+32<O，所以cos?ABM।-----1<0

3AnH叫，

所以AMB为钝角三角形，故B正确;

对于C,当直线/的倾斜角为60。时，直线方程为y=6(x-l),

由选项A的分析可知可知3f_10x+3=0,解得％=3,马=g,

带入直线方程可得血=26,昆卜孚

所以△的与.BPM面积之比为？"斗向=3,故C正确;

对于D,因为点A在第一象限，直线的斜率不可能为零，设直线AM的方程为犬=冲-1,

丫2-4x

联立，可得丁-4,修+4=0,所以A=16机2-16=0=>机=±1,

x=my—1

又因为点A在第一象限，所以“7=1,此时y2_4y+4=0ny=2,所以A。,2),

直线/的斜率不存在时，|AB|=4,故D正确;

故选：ABCD

【点睛】关键点睛：选项A可分斜率是否存在设出直线方程，求出最小值比较；选项B最佳的方法

是举反例论证；选项C将直线方程直接联立解出面积比，选项D设出直线方程为x=my-l,由判别

式为零求出两点坐标，再求出弦长.

三、填空题

13.已知〃=，",一1,@,e=(0,1,0),(a,e)=与，；7?=.

【答案】0

【分析】根据向量的数量积运算求解.

【详解】V<2-e=|tz||e|cos^+4xlxcosg=-gAA??+4,

又〃・£=加乂0+(-1)乂1+百><0=-1,

**•—2+4=-1,解得m=0,

2

故答案为：0.

22

14.若土—上-=1为双曲线，则相的取值范围为__.

mm+1

【答案】m>0或根<一1

【分析】利用方程式双曲线，解出不等式即可.

22

【详解】若^-------=1为双曲线，则根(m+l)>0=相<一1,或机>0,

mm+1

故答案为：机>0或机<-1

15.在直三棱柱ABC-4月£中，胴=2,二面角2-招-£的大小为60。，点5到平面ACC6的

距离为G，点C到平面AB耳4的距离为2百，则直线8G与直线A4所成角的余弦值为.

【答案】

44

【分析】由条件可得/BAC为二面角2-相-£的平面角，所以ZB4C=60。，在面A3C内过点B作

3£>_LAC于。，可得8O=6,A£>=1,AB=2,由题意点C到直线AB的距离2百，利用面积法可得

AC=4,由余弦定理得BC=2A/L则AB?+sc。=AC。，得NABC=90。，利用向量的运算求得

ABjBq,计算|破|,|3£|,利用空间向量夹角公式即可求解.

【详解】直三棱柱ABC-中，叫，面ABC,

因为AB,ACu面A3C,所以48,44,AC,

所以二54C即为二面角台一招一6的平面角，所以Zfi4C=60。，

•.•面ABC人面ACCA,面ABCc面ACGA=AC,

在面ABC内过点B作QJ_AC于。，则3D1面ACGA，

点B到平面ACQA的距离为BD=6,

又Z5L4C=60。，贝!jAO=1,A3=2,

•・•面ABC1面A54A,面ABCc面A3与A=A3,

因为点C到平面A即A的距离为2A/3,即点C到直线AB的距离2否，

利用面积法可得54.0=34。，3。=34a2石，即若AC=2X2A/L贝I]AC=4,

在中，BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=12,则2。=2力，

贝ljAB?+叱=AC?,ZABC=90°,

AB]-BC；=（BB「BA）〈BB[+B©=（BB「BA）-（BB#BC）

.2.2.2.2

=BB[-BABB.+BBX-BC-BABC=BBX-0+0-0=55]=朋=4，

22

|ABt\=V2+2=2A/2,|BQ|=万+（2厨=4，

所以cos（A耳,BC）=ABJBG=_=也

则直线BQ与直线A4所成角的余弦值为YZ.

4

故答案为：县.

4

四、双空题

16.已知圆G:V+V-4日+2y+1=0与圆C?:尤2+y2+2仔_1=。的公共弦所在直线恒过点P,则点

P坐标为;\PC^+\PC^的最小值为.

【答案】Q,-l]/（O.5,-l）:/0.7

【分析】联立圆的方程，可得公共弦方程及其恒过的定点，利用两点间距离公式可得|PG「+|PC『,

再利用二次函数性质可得最值.

22

【详解】由G：—+y2—4丘+2y+l=。，C2:x+y+2ky-l=0,

可得2kx_）+。-1=0,艮左（2x+,）+（-）-1）=0,

所以点尸（；,-11,

又G（2Z,-1）,。2（。，-左），

^PC^+\PC^=[2k-^+[^+[-\+k^=5e-Ak+^=5[k-^+2-,

o7

所以当左=（时，]PC『+|尸。2「取最小值为、,

2

经检验，当左二y时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意.

故答案为：d』.

五、解答题

17.如图，在平行六面体ABCD—A3'C'£）'中，A5=4,AD=3,AA'=5,

ABAD=ZBAA'=ZDAA=60°,且点尸为8C'与B'C的交点，点E在线段AC'上，且A£=2EC.

D'_____________C'

⑴求AC'的长;

⑵将EP用基向量AB，AD-AA，来进行表示."&.EF=xAB+yAD+zAA',求x,J,z的值.

【答案】⑴47=质

⑵x=:，y=z=一^

36

【分析】(1)根据向量的线性表示可得AC，再利用基底法求得模长；

(2)根据空间向量基本定理直接得解.

【详解】(1)由已知AC=A8+BC+CC，=A3+AO+A/T，

AC=(AB+AD+AA')=AB+AD+AA'+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-AA',

又/BAD=ZBAA=ADAA!=60°,

所以AB-A£>=|ABHADkos/a4D=4x3xg=6,

AB-=|AB|cosZBAA,=4x5x1=10,

AD-AA'=^A^AA'^cosZDAA'=3x5x^=]^-,

.215

则AC=42+32+52+2x6+2xl0+2x—=97,

2

所以|AC'卜历；

(2)由点尸为BC'与EC的交点，得UF=；C'B,

又点E在线段AC上，且AE=2EC',则EC'=；AC'，

所以EF=EC+CF=1AC,+|C,B=1(AB+AD+AA,)-1(AD+AA,)=gAB—：AO-：AA；,

所以X=',y=z=-y.

3o

18.已知直线/|：(〃7+2)x+7町一6=0和直线4：mx+y-3=Q,其中初为实数.

(1)^4J-4，求根的值；

⑵若点尸(1,2m)在直线4上，直线/过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直

线/的方程.

【答案】(1)根=一3或0

⑵2尤-y=0或x-y+l=0.

【分析】（1）根据垂直得到方程，求出力的值；

（2）将P（l,2m）代入乙中，解得加=1,设直线I的方程,根据两截距相等得到方程,求出％=2或笈=1,

得到直线/的方程.

【详解】（1）由题意得机（机+2）+〃?=。，解得机=-3或0；

（2）由P（L2处）在直线4上，得m+23=0,解得加=1,可得尸（1,2）,

显然直线I的斜率一定存在且不为0,设直线I的方程为y-2=k（x-\）,

令x=0,可得y=2*再令y=0,可得％=二一，

k

所以一=-（2-%）,解得％=2或左=1,

所以直线/的方程为＞-2=2（X-1）或y-2=x-1,

即2%-丁=。或%-,+1=0.

19.已知圆C的圆心在直线2元-y-2=0上，且与直线/：3x+4y-28=0相切于点P（4,4）.

（1）求圆C的方程；

⑵求过点Q（T,1）与圆C相切的直线方程.

【答案】（1）（X-1）2+/=25

⑵x=T■或12元-5y+53=0

【分析】（1）先根据题意求出过尸（4,4）与直线/垂直的直线，再与直线2x-y-2=0联立可求出圆心

C的坐标，再求出|CP|就是圆的半径，从而可求出圆的方程,

（2）分过点Q（=M）的直线斜率不存在和存在两种情况求解即可

【详解】（1）过点尸（4,4）与直线/：3x+4y-28=0垂直的直线机的斜率为左=g,

4

所以直线机的方程为＞一4=§"一4）,gp4x-3y-4=0.

J4x—3y—4=0

由］2x-y_2=0解得c（i,o）.

所以r=,J（4-l）2+（4-0）2=5.

故圆C的方程为：（%-l）2+y2=25.

（2）①若过点Q（~M）的直线斜率不存在，即直线是x=T,与圆相切，符合题意；

②若过点。（T1）的直线斜率存在，设直线方程为卜1=左（尤+4）,即辰-y+妹+1=。,

若直线与圆C相切，则有］/=5,解得％=当

yjk2+l5

此时直线的方程为12x-5y+53=0.

综上，切线的方程为x=-4或12x-5y+53=0.

20.如图，两个等腰直角AR4c和AC=BC,PA=PC,平面PAC,平面ABC,M为斜边

A3的中点.

（1）求证：AC1PM-,

（2）求二面角尸-CM-3的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）-3

3

【分析】（1）取AC中点D,可证得MD_LAC,PDVAC,从而得AC_L平面尸MD,进而得结论；

（2）建立空间直角坐标系，计算平面PC0与平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公

式计算可得结果.

【详解】（1）取AC中点。，连接MD,PD,如图，

又M为A3的中点，C.MDHBC,由AC13C,则

又△PAC为等腰直角三角形，PA1PC,PA=PC,：.PD±AC,

又MDcPD=D,也,尸。＜=平面「河0,

AC_L平面PMD,又PMu平面PMD,AC_LPM.

（2）由（1）知，PDLAC,又平面PACJ_平面ABC,AC是交线，PDu平面PAC,

所以2D，平面A3C,即尸D,AC,DM两两互相垂直,

故以D为原点，ZM，DM，DP为％、>、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图,

设AC=2,则4(1,0,0),5(-1,2,0),C(-l,0,0),P(0,0,l),M(0,1,0),

CP=(1,0,1),CM=(1,1,0),

设〃=(尤,y,z)为平面PCM的一个法向量,

CP-n=x+z=0

则,令z=l,即"=(-1,1,1),

CM-n=x+y=0

平面BCM的一个法向量为m=(0,0,1),

由图可知，二面角尸-CM-B的平面角是钝角，

则二面角尸-。1-3的余弦值为-也.

3

21.已知抛物线C：/=2^x(0<p<10),尸为抛物线的焦点，。(8,%)为抛物线上一点，点E为点

。在x轴上的投影，且|£>同=3。司.

⑴求C的方程；

(2)若直线/与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点，OA±OB,求证：过定点.

【答案】⑴y?=8x

(2)证明见解析

【分析】(1)根据抛物线的定义结合题意可得关于。的方程，解出即可；

(2)设直线/的方程为：X=,ny+n,联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理可得〃的值，进而可

得结果.

【详解】⑴由题可知|%|=46，。同=4)