数学组-王绍培-三角函数解法的探讨

三角函数解法的探讨宾川一中王绍培摘要：三角函数局部，由于公式繁多，灵活多变，很多学生都反映这局部知识理解不难，但要能把这么多公式灵活运用就有点难度了，特别是对初学者更是如此。所以，在这里我根据三角函数局部题型的求值、化简、证明的过程和大家分享一种相对有效的方法———“找构找名找角法”、等价转化法。关键词：三角函数等价转化应用解题方法三角函数这一局部的知识在高中数学课程中仍占有极其重要的作用〔历年的数学高考题中有一道简答题就是三角函数的化简，求最值等问题，可见三角函数的重要性〕。高中数学课程中三角函数局部，由于公式繁多，灵活多变，很多学生都反映这局部知识理解不难，但要能把这么多公式灵活运用就有点难度了，特别是对初学者更是如此。所以，在这里我根据三角函数局部题型的求值、化简、证明的习题总结出一种相对有效的方法———“找构找名找角法”、等价转化法。一、找构找名找角法所谓的“找构找名找角法”，就是一找出三角函数的式子结构特点，二找各种类角的函数名的特点，三找函数式中角的特点，很多三角函数化简、求值、证明的题目，大多都是式子结构较为复杂、多个函数名同时存在、角的代换变化多样，要解决好这类问题我们必须本着数学上的根本思想：化归、统一思想。从这个角度出发将“找构找名找角法”归纳如下。1、找三角函数的式子结构当看到数学题后，不要急于下手，首先应仔细观察；分析条件与结论的关系；分析题目隐含着的各种信息；分析它属于数学中哪局部、要用到什么样的数学知识点、公式及方法〔要注意的是同一个公式在解题过程中可能会用到屡次〕等。而对于三角函数题来说，第一步就是要先找式子的结构，找出式子结构再思考要运用哪些公式，此时最好就是能回忆起平时曾经做过的题型，以及化简的方向，在结合实际题型来解题。如看到就联想到要，看到立即就联想到等，看例子：例1分析结构：1)左边比右边较为繁琐，所以应该由繁向简即从左边入手。2〕观察左边是一个分子结构，不同分母的分式化简一般是通分，所以通分得，左边=3〕由1第二步得到也是一个分式，先观察分母，容易看到应该考虑用正弦二倍角公式即，分子从多项式的角度看，可用平方差公式，然后在用可化为到此解决问题。例2：分析：观察结构，等式左右两边都是分式，而且繁简相当，这时可以是移项在通分.原式====0到此解决问题。2找各种类角的函数名世间万事万物皆有名，所谓“物以类聚，人以群分”，因此在解决数学问题时就要使被解决的问题在表现形式上趋于和谐，在数量关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更对称，统一。这就要求我们在解决一个三角函数的化简`求值`证明问题时，如果三角函数的名称、种类太多，应该利用各种关系式转化函数种类，力达统一为目的。经常运用的有“切割化弦”、“弦化切”、“化1”等例3求证：分析：观察题目可见，题目中函数种类有正弦、余弦、正切、余切，这种情况下将切化弦，就极易解决问题：左边====得证。例4分析：由题目条件容易得到利用两角和的正切公式得到，再来观察要求解的全是弦函数，我们利用平方和等于一的关系式求解，必定会遇到开方的麻烦，所以，为了避开这一大麻烦，这里采用“弦化切”的方法，如下：原式=====33找函数式中角的特点仍然本着统一的原那么，如果某些三角函数式子不统一的时候，我们将努力使其角向着和谐统一的方向开展，题目往往就能迎刃而解。例5=分析：观察题目得知：条件中的角分别为，并且等号的左边比右边繁琐，故先从等号左边入手，然后根据等号右边的单角来化简即把，解题如下：左边======得证。再如求的值，很容易得到，本来比拟难处理的问题也就变得明了了。二、等价转化法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不标准、复杂的问题转化为熟悉、标准甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向、从复杂到简单的化归转换过程。例6.求值：ctg10°－4cos10°【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积〕【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝＝〔根本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积〕【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝〔根本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式〕【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的表达。此种题型属于三角变换型。一般对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化。此类题目要求考生对三角函数知识的掌握比拟高，且具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用例7设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，z1=2z2，求λ的取值范围此题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用解法一∵z1=2z2，∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－)2－当sinθ=时λ取最小值－，当sinθ=－1时，λ取最大值2解法二∵z1=2z2∴∴,∴=1∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,那么0≤t≤4,令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,那么或f(0)·f(4)≤0∴∴－≤λ≤0或0≤λ≤2∴λ的取值范围是［－，2］美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯穿时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。以上是我对三角函