2024年广东省高考数学一轮复习第1章第2讲：常用逻辑用语（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第1章第2讲：常用逻辑用

语

【考试要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质

定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对

两种命题进行否定.

・落实主干知识

佚口识梳理】

I.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=则p是q的充分条件，4是P的必要条件

p是q的充分不必要条件paq.且q#p

p是q的必要不充分条件p分q且q=p

p是q的充要条件p0q

p是q的既不充分也不必要条件p4q且q#p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“乂”表

示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“旦表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在Af中的元素x,p(x)成立

简记三不£朋\.(X)

否定非p(x)弋x®M,非Hx)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设。={x|p(x)},B={x|g(x)}.

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(1)若p是q的充分条件，则418：

(2)若p是g的充分不必要条件，则Z休8；

(3)若p是q的必要不充分条件，则B便小

(4)若p是q的充要条件，则4=8.

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题p与p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(l)p是q的充分不必要条件等价于g是p的必要不充分条件.(V)

(2)“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.(V)

(3)已知集合/,B,/U8=Zn8的充要条件是N=8.(V)

(4)命题"sing+cosg=：'是真命题.(X)

【教材改编题】

1.命题“VxGR,的否定是()

A.SxGR>ev—1B.VxGR,ev—IWx

C.3x£R,ev_l<xD.VxER,er—l<x

答案C

解析由题意得命题“WxWR,d一lex"的否定是"mxeR,ex—l<r

2.(多选)下列命题中为真命题的是()

A.VxGR>x2>0B.VxGR>—KsinxWl

C.SxER.2yoD.SxCR,tanx=2

答案BD

解析当x=0时，x2=0,所以A选项错误；

当xGR时，一IWsinxWl,所以B选项正确；

因为2。0,所以C选项错误；

因为函所以D选项正确.

3.若“无>3”是“x>/'的必要不充分条件，则机的取值范围是

答案(3,+8)

解析因为“x>3”是的必要不充分条件，

所以(加，+8)是(3,+8)的真子集，

由图可知机>3.

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3mx

■探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例1(1)(2023•淮北模拟)%>6>0”是“2>1”的()

b

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由心b>0,得3>1,反之不成立，

b

如a=—2,b=-l,满足4>1,但是不满足a>6>0,

b

故“心6>0”是的充分不必要条件.

b

(2)(2021•全国甲卷)等比数列他｝的公比为g,前〃项和为设甲：q>0,乙：｛S,｝是递增数列,

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

l

解析当m<0,q>l时，an=aiq"<0,此时数列｛SJ单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当

数列｛S,｝单调递增时，有S,+I-S产斯+i=aq">0,若0>0,则q">0(〃GN*),即g>0；若m<0,

则qYOSCN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p=q=p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

跟踪训练1(1)(2022・长春模拟)““力=同时’是”与。共线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

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解析因为G〃=|Q||〃COS解b)=\a\\b\,

所以cosQ,b)=1,

因为〈%b)e[0,7t],

所以〈a,b)=0,

所以。与〃共线，

当。与b共线时，〈%b〉=0或〈。，b)=7t,

所以〃•力=|0]〃|cos〈*b)=同臼或〃力=|4||b|cos〈〃，b)=—|a||Z>|,

所以是“。与b共线”的充分不必要条件.

(2)(多选)已知基函数加)=(4〃?-1)日，则下列选项中，能使得火〃)次6)成立的一个充分不必要

条件是()

A.0<^<-B.a2>b2

ah

C.Ina>lnbD.2a>2b

答案AC

解析由题设知4加-1=1,可得机=；,故,/)=4，

所以，要使人。)力S),则仍>扬，即a>b20.

0<L,Oa>b>0,A符合题意；

ab

Ina>lnb<>a>b>0,C符合题意；

B,D选项中a,b均有可能为负数，B,D不符合题意.

题型二充分、必要条件的应用

例2在①NU8=8；②“xWN”是“xWB”的充分条件；③“xWCRA"是"xWCRB"的

必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合N={x|aWxWa+2},5={x|(x+l)(x—3)<0}.

(1)当a=2时，求/C18；

(2)若,求实数a的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)由(x+l)(x—3)<0,

解得一14<3,

所以8={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-l<x<3},

当a=2时，/={x|2Wx<4},

所以/n8={x[2Wx<3}.

ci>一1,

(2)若选①/U8=B,则/£8,所以,解得一l〈a〈l,即°仁(一1,1)；

a+2<3,

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若选②“XG/”是“XG8”的充分条件，则/=&所以•"-1'解得一1V/V1,

a+2<3,

即oG(—1,1)；

若选③“xecR/f'是"xecR8”的必要条件，则ZU8,所以1'解得一1<"1,

U+2<3,

即aG(-l,l).

思维升华求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2(2023•宜昌模拟)已知集合4={x[—2<xW3},5={x|x2-2/„x+w2-1<0}.

(1)若机=2,求集合/ns；

(2)已知p：x&A,q：x®B,是否存在实数机，使p是g的必要不充分条件，若存在实数加,

求出"?的取值范围；若不存在，请说明理由.

解⑴由机=2及*2■—2mx-\-m~一1<0,

得％2—4x+3<0,解得l<x<3,

所以Z?={x|I<x<3},

又Z={x|—2〈xW3},

所以/n8={x|l〈x<3}.

(2)由x2—2mx+m2—1<0,

得[x—(机-1)][x—(w+1)]<0,

所以,

所以B={x|/n—1<x<m+1}.

由p是q的必要不充分条件，

得集合8是集合Z的真子集，

所以，1'=-lW/«W2(两端等号不会同时取得)，

L+1W3

所以"？的取值范围为[—1,2].

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词命题的否定

例3(2022•漳州模拟)命题“VaGR,炉―办+1=0有实数解”的否定是()

A.VaGR,x2-ax+l=0无实数解

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B.SaeR,炉一"+1=0无实数解

C.VaeR,x2-ox+lW0有实数解

D.SaGR,N-ax+l#。有实数解

答案B

解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以“VadR,/一段+1=0有实数解”的否定是》2—公+1=0无实数解”.

命题点2含量词命题真假的判断

例4（多选）（2023,沈阳模拟）下列命题中为真命题的是（）

A.3x6R,—1

2X

B.对于VxeR,neN*JI.n>\,都有加=x

C.VxGR,ln（x-l）2^0

D.Inx^x—1

答案AD

解析当x20时，0<—1,故A项是真命题；

2X

当〃为偶数，且x<0时，亚=-x,故B项是假命题；

当x=l时，ln（x—1）2无意义，故C项是假命题；

当x=l时，lnx^x-1,故D项是真命题.

命题点3含量词命题的应用

_n7t

例5若3j,sinxv加”是假命题，则实数机的最大值为（）

A1口1「必r1也

A.-B.---C.-3—D.------

2222

答案D

_三5

解析因为3_,sinx。”是假命题，

_匹匹

所以“Vx£_3’3_,mWsinx”是真命题，

_n匹

即mWsin1对于_3,3—恒成立，所以加W（sinx）mm,

_7U7T

因为y=sinx在—3,3_上单调递增，

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所以X=-：时，y=sinx最小，其最小值为y=sin[j=-sin；=一

所以—近，所以实数机的最大值为一金.

22

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一

个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求

参数的范围.

跟踪训练3(1)已知命题p：SnGN,〃222〃+5,则非。为()

A.VnGN,〃2》2〃+5

B.层W2〃+5

C.W〃£N,n2<2n+5

D./=2〃+5

答案C

解析由存在量词命题的否定可知，非p为V〃£N,〃2<2〃+5.所以C正确，A,B,D错误.

(2)(多选)下列命题是真命题的是()

A.VxeR,-x2-l<o

B.V〃£Z,3/wnm=tn

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

]3

D.存在实数x,使得

%2—2x+34

答案ABC

解析Vx^R,—/WO,所以一炉一i〈o,故A项是真命题;

当机=0时，=〃7恒成立，故B项是真命题；

任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；

因为%2—2x+3=(x—lp+222,

所以，I,w[3,故D项是假命题.

/-2x+324

(3)若命题X2+(4—l)x+l〈0”的否定是假命题，则实数。的取值范围是

答案(一8,—1)U(3,+8)

解析命题“mxGR,/+5-1)%+1<0”的否定是假命题，

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则命题uR,x*12+*4（a-l）x+1<0是真命题，

即/=（。_］）2_4>0,

解得a>3或a<—1,

故实数〃的取值范围是（一8,-1）U（3,+8）.

课时精练

应基础保分练

1.（2023•上饶模拟）“炉>2021”是“炉>2022”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若析>2022,因为2022>2021,故/>2021,

故”<>2022”可以推出”/>2021”，

取'=2021.5,则满足/>2021,但N>2022不成立，

所以“/>2021”不能推出”小>2022”，

所以“炉>2021”是“炉>2022”的必要不充分条件.

2.已知命题p：mxGQ,使得x史N,则非夕为（）

A.VxCQ,都有x生NB.生Q,使得xGN

C.VxGQ,都有x《ND.SxSQ,使得xCN

答案C

解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以由p：3X6Q,使得x守N,

得非p：VxWQ,都有xdN.

3.已知命题：“VxGR,方程》2+以+。=0有解”是真命题，则实数。的取值范围是（）

A.a<4B.°W4

C.a>4D.a24

答案B

解析“VxGR,方程/+4》+。=0有解”是真命题，

故/=16—4°20,解得aW4.

4.（2023・武汉模拟）已知“，b是两条不重合的直线，a为一个平面，且则“b，a”是

ua//b''的（）

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A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当6_La时，结合a_La,可得。〃6,充分性满足；

当a〃方时，结合a_L%可得Z>_La,必要性满足.

故“bJLa”是ua//bn的充要条件.

5.命题“VlWxW2,x2-“W0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.ae4B.

C.aW4D.aW5

答案B

解析因为命题“VlWxW2,x2—aWO”是真命题，

所以VlWxW2,恒成立，

所以024,

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是

6.（多选）下列命题是真命题的是（）

A.所有的素数都是奇数

B.有一个实数x,使N+2X+3=0

C.“a=£”是“sina=sin£”成立的充分不必要条件

D.命题“mxdR,x+2W0”的否定是“VxGR,x+2>0”

答案CD

解析2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；

对于方程/+入+3=0,其中/=22-4X3=-8<0,

所以不存在实数，使得x2+2x+3=0成立，所以B是假命题；

由a="=>sina=sin"，但由sina=sin£不能得到&="，故"a=夕'是"sina=sin””成立的

充分不必要条件，所以C是真命题；

根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“mxGR,x+2W0”的否定是“V

xGR,x+2>0",所以D是真命题.

7.（多选）若“mxG（0,2）,使得2x2—&+1<0成立”是假命题，则实数2可能的值是（）

A.1B.2/C.3D.33

答案AB

解析由题意可知，命题“VxG（0,2）,2%2—b+1>0成立”是真命题，

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所以AxW2x2+l,可得■-，

x

当x£（0,2）时，由基本不等式可得

2x+-^2yp-=2y12,

当且仅当时，等号成立，

所以2W2也.

8.南北朝时期的伟大科学家祖唯在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖昭原理：“基

势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个

平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为匕，V2,被平行于这两个平面

的任意平面截得的两个截面面积分别为S,S2,则“S,8不总相等”是匕不相等”

的（）

答案B

解析命题：如果“Si,S2不总相等”，那么“力，力不相等”的等价命题是：如果“％,

%相等”，那么“S,52总相等”.

根据祖迪原理，当两个截面的面积S,S2总相等时，这两个几何体的体积以，匕相等，所以

逆命题为真，故是必要条件；

当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，

故是不充分条件，所以“与，S2不总相等”是忆不相等”的必要不充分条件.

9.命题“Vxe(0'Isinxvcosx”的否定是

「0,矶

答案Jsinx^cosx

解析因为"sinxvcosx"的否定是"sinxBcosx”，

所以"VxeP'4）,sinxvcosx"的否定是"三工仁3'Jsinx2cosx”，

10.使得“2均4"成立的一个充分条件是.

答案=一1（答案不唯一）

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解析由于4*=2Z,故2»2然等价于x>2x,

解得x<0,

使得“2小平”成立的一个充分条件只需为集合{x|x〈O}的子集即可.

11.已知命题“mxG{x|-24<3},使得等式2x一机=0成立”是假命题，则实数皿的取值范

围是

答案(一8,—4]U[6,+°°)

解析若原命题为真命题，贝Imxd{x|-2<x<3},

使得〃?=2x成立，则一4<m<6；

故若原命题为假命题,

则实数”的取值范围为（一8,-4]U[6,+8）.

12.已知a：x<2m~1^x>~m,夕：x<2或x24,若a是4的必要条件，则实数机的取值范围

是.

答案G+T

解析设/={小＜2加-1或x＞一〃?},8={小＜2或124},

若a是夕的必要条件，则8a4

当2m—1>一〃?，即〃时，此时Z=R,BGA成立;

2〃?一122,,

当2〃?一1W一〃?，即加时，若8G4,此时无解.

3一〃?＜4,

综上，加"■.

3

0综合提升练

13.（多选）若“Vx£M,|冲""为真命题，为假命题，则集合M可以是（）

A.(-8,-5)B.(-3,-1]

C.(3,+8)D.[0,3]

答案AB

解析x>3为假命题,

:、xGM,xW3为真命题,

可得MG(—8,3],

又Vx£A/,|x|>x为真命题,

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可得MU(—8,o),

；.〃仁(—8,0).

14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪

犯在乙、丙、丁